第67讲、圆锥曲线离心率题型全归纳（学生版）

第67讲圆锥曲线离心率题型全归纳知识梳理求离心率范围的方法一、建立不等式法：1、利用曲线的范围建立不等关系．2、利用线段长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．3、利用角度长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为．4、利用题目不等关系建立不等关系．5、利用判别式建立不等关系．6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．7、利用基本不等式，建立不等关系．二、函数法：1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；2、通过确定函数的定义域；3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围．三、坐标法：由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系．必考题型全归纳题型一：建立关于和的一次或二次方程与不等式例1．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆与双曲线共焦点，双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．例2．（2024·湖南·高三校联考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，为坐标原点，且，则椭圆的离心率为.例3．（2024·海南海口·高三统考期中）已知双曲线的左顶点为A，右焦点为，过点A的直线l与圆相切，与C交于另一点B，且，则C的离心率为（

）A．3 B． C．2 D．变式1．（2024·贵州·校联考模拟预测）已知右焦点为的椭圆：上的三点，，满足直线过坐标原点，若于点，且，则的离心率是（

）A． B． C． D．变式2．（2024·福建龙岩·福建省龙岩第一中学校考模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，过分别作的两条渐近线的平行线与交于，两点，若，则的离心率为变式3．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）双曲线的左焦点为F，直线与双曲线C的右支交于点D，A，B为线段的两个三等分点，且（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为.变式4．（2024·河南开封·统考模拟预测）已知是双曲线的右顶点，点在上，为的左焦点，若的面积为，则的离心率为．变式5．（2024·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）如图，在底面半径为1，高为6的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切.一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆.则该椭圆的离心率为.

变式6．（2024·陕西西安·校考三模）已知双曲线：的左焦点为，过的直线与圆相切于点，与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为.变式7．（2024·河北·高三校联考期末）双曲线：的左焦点为，右顶点为，过且垂直于轴的直线交的渐近线于点，恰为的角平分线，则的离心率为．题型二：圆锥曲线第一定义例4．（2024·湖南株洲·高三校考阶段练习）已知分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线与交于两点（点A在第一象限），延长交于点，若，则双曲线的离心率为．例5．（2024·山西大同·高三统考开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上关于坐标原点对称的两点，且，且四边形的面积为，则的离心率为．例6．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的上、下焦点分别为、，焦距为，与坐标轴不垂直的直线过且与椭圆交于、两点，点为线段的中点，若，则椭圆的离心率为．变式8．（2024·全国·高三专题练习），是椭圆E：的左，右焦点，点M为椭圆E上一点，点N在x轴上，满足，，则椭圆E的离心率为.变式9．（2024·四川巴中·高三统考开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，过斜率为的直线与的右支交于点，若线段恰被轴平分，则的离心率为（

）A． B． C．2 D．3变式10．（2024·内蒙古赤峰·高三统考开学考试）已知，分别为双曲线Ε：的左、右焦点，过原点O的直线l与E交于A，B两点（点A在第一象限），延长交E于点C，若，，则双曲线E的离心率为（

）A． B．2 C． D．变式11．（2024·广东·高三校联考阶段练习）已知双曲线C：（，），斜率为的直线l过原点O且与双曲线C交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆经过双曲线的一个焦点，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．变式12．（2024·河南·统考模拟预测）已知双曲线的上焦点为，点P在双曲线的下支上，若，且的最小值为7，则双曲线E的离心率为（

）A．2或 B．3或 C．2 D．3变式13．（2024·全国·高三专题练习）双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左､右焦点分别为，从发出的光线经过图中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，则E的离心率为（

）

A． B． C． D．变式14．（2024·甘肃酒泉·统考三模）已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．变式15．（2024·山西吕梁·统考二模）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，直线与交于，两点，，且的面积为，则的离心率是（

）A． B． C．2 D．3题型三：圆锥曲线第二定义例7．（2024·全国·高三专题练习）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.则方程表示的圆锥曲线的离心率等于（

）A． B． C． D．5例8．（2024·北京石景山·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，为左支上一点，到左准线的距离为，若、、成等比数列，则其离心率的取值范围是（

）A．， B．， C．， D．，例9．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．题型四：圆锥曲线第三定义（斜率之积）例10．（2024·云南曲靖·高三校联考阶段练习）已知双曲线：虚轴的一个顶点为，直线与交于，两点，若的垂心在的一条渐近线上，则的离心率为.例11．（2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知椭圆C：的焦距为2c，左焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，点P是线段AB的中点，P的横坐标为．若直线l与直线PF的斜率之积等于，则C的离心率为．例12．（2024·山东济南·高三统考开学考试）已知椭圆：的上顶点为，两个焦点为，，线段的垂直平分线过点，则椭圆的离心率为．变式16．（2024·山东青岛·高三统考期末）已知双曲线与直线相交于，两点，点为双曲线上的一个动点，记直线，的斜率分别为，，若，且双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离为1，则双曲线的离心率为．变式17．（2024·山东·高三校联考开学考试）如图，A，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于A，两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为（

）

A． B． C． D．题型五：利用数形结合求解例13．（2024·广西·模拟预测）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左､右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的两点反射后，分别经过点和，且，，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．例14．（2024·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）已知是椭圆的两个焦点，点在上，若的离心率，则使为直角三角形的点有（

）个A．2 B．4 C．6 D．8例15．（2024·湖北武汉·高三武汉市第六中学校联考阶段练习）过双曲线的左焦点F作的一条切线，设切点为T，该切线与双曲线E在第一象限交于点A，若，则双曲线E的离心率为（

）A． B． C． D．变式18．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知点是椭圆上的一点，是的两个焦点，若，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．题型六：利用正弦定理例16．（2024·全国·高三专题练习）已知，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为（

）A． B． C． D．例17．（2024·全国·高三专题练习）过椭圆的左、右焦点，作倾斜角分别为和的两条直线，．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（

）A． B．C． D．例18．（2024·江苏·扬州中学高三开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点（异于长轴的端点），使得，则该椭圆离心率的取值范围是______．变式19．（2024·广西南宁·南宁市武鸣区武鸣高级中学校考二模）设、分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在点M，，，使得离心率，则e取值范围为．变式20．（2024·江西吉安·高三吉安一中校考开学考试）点P是双曲线：（，）和圆：的一个交点，且，其中，是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为．变式21．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆与双曲线共焦点，F1、F2分别为左、右焦点，曲线与在第一象限交点为，且离心率之积为1.若，则该双曲线的离心率为.题型七：利用余弦定理例19．（2024·福建福州·高三福建省福州第八中学校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，P是C右支上一点，线段与C的左支交于点M．若，且，则的离心率为．例20．（2024·江苏淮安·高三统考开学考试）椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，直线与椭圆C交于另一点B，若，则椭圆C的离心率为．例21．（2024·河北唐山·模拟预测）已知是椭圆的左，右焦点，上两点满足，则的离心率为．变式22．（2024·广东湛江·高三校联考阶段练习）已知双曲线的离心率为2，左、右顶点分别为，右焦点为，点在的右支上，且满足，则（

）A． B．1 C． D．2变式23．（2024·河南·校联考二模）已知双曲线的左、右焦点分别是，，P是双曲线C上的一点，且，，，则双曲线C的离心率是（

）A．7 B． C． D．变式24．（2024·浙江·高三校联考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且，直线与交于另一点，与轴交于点，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．变式25．（2024·江西抚州·高三黎川县第二中学校考开学考试）已知双曲线C：的右焦点F的坐标为，点P在第一象限且在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，，则双曲线C的离心率为（

）A． B．2 C． D．3变式26．（2024·广西百色·高三贵港市高级中学校联考阶段练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在C上，若，，则C的离心率为．变式27．（2024·广东深圳·高三校联考期中）设，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点，点M在x轴上，，平分，则C的离心率为（

）A． B．C． D．变式28．（2024·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，且，则C的离心率为（

）A． B．2 C． D．题型八：内切圆问题例22．（2024·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）双曲线其左、右焦点分别为，倾斜角为的直线与双曲线H在第一象限交于点P，设内切圆半径为r，若，则双曲线H的离心率的取值范围为.例23．（2024·全国·高三对口高考）椭圆的四个顶点构成菱形的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率．例24．（2024·广东深圳·校考二模）已知椭圆的左､右焦点分别为､，P为椭圆上一点（异于左右顶点），的内切圆半径为r，若r的最大值为，则椭圆的离心率为.变式29．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）双曲线的左，右焦点分别为，，右支上有一点M，满足，的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为．变式30．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是上一点，点是直线与轴的交点，的内切圆与相切于点，若，则椭圆的离心率．变式31．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆：的左、右焦点分别是，，斜率为的直线经过左焦点且交C于A，B两点（点A在第一象限），设的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则椭圆的离心率．变式32．（2024·福建泉州·高三校考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为的直线经过左焦点且交于，两点（点在第一象限），设的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则椭圆的离心率．变式33．（2024·山东聊城·统考一模）是椭圆的两个焦点，是椭圆上异于顶点的一点，是的内切圆圆心，若的面积等于的面积的3倍，则椭圆的离心率为.题型九：椭圆与双曲线共焦点例25．（2024·全国·高三专题练习）椭圆与双曲线共焦点，，它们在第一象限的交点为，设，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则（

）A． B．C． D．例26．（2024·全国·高三专题练习）椭圆与双曲线共焦点，，它们的交点对两公共焦点，张的角为.椭圆与双曲线的离心率分别为，，则A． B．C． D．例27．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且共焦点的离心率分别为，则下列结论不正确的是（

）A． B．若，则C．若，则的最小值为2 D．变式34．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）如图，是椭圆与双曲线（）在第一象限的交点，且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（

）A．B．若，则C．若，则的最小值为2D．变式35．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）如图，是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（

）A． B．若，则C．若，则的最小值为2 D．变式36．（2024·新疆·统考三模）在中，，，，椭圆和双曲线以A，B为公共焦点且都经过点C，则与的离心率之和为．题型十：利用最大顶角例28．（2024·全国·高二课时练习）已知椭圆：，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B．C． D．例29．（2024·全国·高二专题练习）设A，B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则椭圆C的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．例30．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆，点是上任意一点，若圆上存在点、，使得，则的离心率的取值范围是(

)A． B． C． D．变式37．（2024·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．题型十一：基本不等式例31．（2024·全国·高三专题练习）设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对你，且满足，，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．例32．（2024·江苏南京·高三阶段练习）设、分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆准线上一点，的最大值为60°，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．例33．（2024·山西运城·高三期末）已知点为椭圆的左顶点，为坐标原点，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足，则椭圆离心率的最大值______________.题型十二：已知范围例34．（2024·四川省南充市白塔中学高三开学考试）已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，为上顶点，若在线段上（不含端点）存在不同的两点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．例35．（2024·全国·高二专题练习）已知，是椭圆：的左右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．例36．（2024·全国·高三开学考试）设，分别是椭圆的左､右焦点，若椭圆E上存在点P满足，则椭圆E离心率的取值范围（

）A． B． C． D．题型十三：例37．（2024·江苏·海安县实验中学高二阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．例38．（2024·浙江湖州·高二期中）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得，则该离心率e的取值范围是（

）A． B． C． D．例39．（2024·全国·高二课时练习）已知椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．题型十四：中点弦例40．（2024·全国·高三开学考试）已知双曲线与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则C的离心率（

）A． B． C． D．例41．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆：的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．例42．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆()的右焦点为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点为，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．1题型十五：已知焦点三角形两底角例43．（2024·广西·江南中学高二阶段练习）已知，分别是椭圆：的左右两个焦点，若在上存在点使，且满足，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．例44．（多选题）（2024·湖南·高二期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线上存在点（点不与左、右顶点重合），使得，则双曲线的离心率的可能取值为（

）A． B． C． D．2例45．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线右支上的一点，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．题型十六：利用渐近线的斜率例46．（2024·云南红河·高三开远市第一中学校校考开学考试）已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率是．例47．（2024·四川内江·高三期末）已知双曲线的左右焦点分别为、，过点的直线与双曲线的渐近线交于两点，点在第一象限，两点到轴的距离之和为，若以为直径的圆过线段的中点，则双曲线的离心率的平方为．例48．（2024·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，则双曲线的离心率为.变式38．（2024·全国·镇海中学校联考模拟预测）已知是双曲线的左焦点，是的右顶点，过点作轴的垂线交双曲线的一条渐近线于点，连接交另一条渐近线于点.若，则双曲线的离心率为.变式39．（2024·四川成都·校考模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，点是的一条渐近线上的两点，且（为坐标原点），．若为的左顶点，且，则双曲线的离心率为变式40．（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于两点.若，则C的离心率为.变式41．（2024·山东菏泽·高三统考期末）已知为原点，双曲线上有一点，过作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为，平行四边形的面积为1，则双曲线的离心率为．变式42．（2024·全国·高三专题练习）已知F是椭圆：（）的右焦点，A为椭圆的下顶点，双曲线：（，）与椭圆共焦点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，，的离心率分别为，，则的最小值为．变式43．（2024·安徽安庆·安庆一中校考三模）过双曲线：的右焦点作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，且与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率是（

）A． B．或 C． D．变式44．（2024·江西九江·统考一模）已知双曲线()，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，过点作轴的垂线交于点，若与的面积相等(为坐标原点)，则的离心率为（

）A． B． C． D．变式45．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知为双曲线的一个焦点，过平行于的一条渐近线的直线交于点，（为坐标原点），则双曲线的离心率为.题型十七：坐标法例49．（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）双曲线：的左､右焦点分别为，，过作的垂线，交双曲线于，两点，是双曲线的右顶点，连接，，并延长分别交轴于点，.若点在以为直径的圆上，则双曲线的离心率为.例50．（2024·安徽·高三校联考阶段练习）如图，椭圆：()的右焦点为F，离心率为e，点P是椭圆上第一象限内任意一点且，，．若，则离心率e的最小值是．

例51．（2024·山东·高三校联考阶段练习）已知双曲线（，），直线的斜率为，且过点，直线与轴交于点，点在的右支上，且满足，则的离心率为（

）A． B．2C． D．变式46．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆：的右焦点为，过点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，弦的垂直平分线交轴于点P，若，则椭圆的离心率．变式47．（2024·湖南永州·统考一模）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上位于第一象限的一点，且与轴平行，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．变式48．（2024·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知双曲线的左右焦点点关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率是（

）A． B． C．2 D．3变式49．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考开学考试）设分别为椭圆的左右焦点，M为椭圆上一点，直线分别交椭圆于点A，B，若，则椭圆离心率为（

）A． B． C． D．变式50．（2024·安徽·高三宿城一中校联考阶段练习）已知椭圆C：（）的左焦点为，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于A，B两点，且，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．变式51．（2024·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知为双曲线：的右焦点，平行于轴的直线分别交的渐近线和右支于点，，且，，则的离心率为（

）A． B． C． D．变式52．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）设椭圆的左焦点为，为坐标原点，过且斜率为的直线交椭圆于，两点（在轴上方）.关于轴的对称点为，连接并延长交轴于点，若，，成等比数列，则椭圆的离心率的值为（

）A． B． C． D．变式53．（2024·陕西商洛·