第61讲、圆中的范围与最值（教师版）

第61讲圆中的范围与最值知识梳理1、涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：（1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．（2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题.2、解决圆中的范围与最值问题常用的策略：（1）数形结合（2）多与圆心联系（3）参数方程（4）代数角度转化成函数值域问题必考题型全归纳题型一：斜率型例1．（2024·江苏·高二专题练习）已知点在圆上运动，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】看作圆上的点到点的直线的斜率的相反数.当经过点的直线与上半圆相切时，切线斜率最小，设切线方程为，所以圆心到切线的距离等于半径，故，解得故当时，切线斜率最小，此时最大，最大值为，故选：C例2．（多选题）（2024·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）已知点在圆上运动，则下列选项正确的是（

）A．的最大值为，最小值为B．的最大值为，最小值为；C．的最大值为，最小值为；D．的最大值为，最小值为；【答案】BC【解析】（1）设，整理得，则表示点与点连线的斜率．当该直线与圆相切时，取得最大值与最小值，所以，解得，所以的最大值为，最小值为；（2）设，整理得，则表示直线在轴上的截距．当该直线与圆相切时，取得最大值与最小值，所以，解得，的最大值为，最小值为．故选：BC.例3．（2024·全国·高三专题练习）已知为圆：上任意一点，则的最大值为.【答案】【解析】由于，故表示和连线的斜率，设，如图所示，当与圆相切时，取得最大值，设此时，即，又圆心，半径为1，故，解得，故的最大值为.故答案为：.变式1．（2024·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）已知为圆C：上任意一点，且点．（1）求的最大值和最小值．（2）求的最大值和最小值．（3）求的最大值和最小值．【解析】（1）圆C：，如图所示，连接QC交圆C于AB两点，当M与A重合时取得最小值，即，与B重合时取得最大值即，故最大值为，最小值为；（2）易知，由图形知当与圆C相切时取得最值，如图所示.可设，则C到其距离为，解得，故最大值为，最小值为（3）设，如图所示，即过点M的直线的截距，如图所示，当该直线与圆相切时截距取得最值.圆心C到该直线的距离为，所以或9，故最大值为9，最小值为1.题型二：直线型例4．（2024·全国·高三专题练习）点是圆上的动点，则的最大值是.【答案】【解析】由，则，当且仅当时等号成立，∴的最大值是.故答案为：.例5．（2024·江西吉安·宁冈中学校考一模）已知点是圆上的动点，则的最大值为（

）A． B． C．6 D．5【答案】A【解析】由，令，则，所以当时，的最大值为.故选：A例6．（2024·全国·高三专题练习）已知点是圆：上的一动点，若圆经过点，则的最大值与最小值之和为（

）A．4 B． C． D．【答案】C【解析】因为圆：经过点，．又，所以，可看成是直线在轴上的截距.如图所示，当直线与圆相切时，纵截距取得最大值或最小值，此时，解得，所以的最大值为，最小值为，故的最大值与最小值之和为.故选：C．题型三：距离型例7．（2024·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两个定点,的距离之比为（，且），那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．若平面内两定点,间的距离为，动点满足，则的最大值为【答案】/【解析】由题可知,不妨设：所以有，因为得，整理得，得，显然，得，解得：有=因为，所以当时，有最大值为故答案为：例8．（2024·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知为圆上任意一点，且．(1)求的最大值和最小值；(2)若，求的最大值和最小值；(3)若，求的最大值和最小值．【解析】（1）因为，即在圆外，圆的圆心，半径，，因为，即，所以的最大值为，最小值为；（2）圆的圆心，半径，令可得，即圆和直线总有公共点求的最大值和最小值，即，解得，所以的最大值为，最小值为；（3），令，当即时，此时点在圆外，所以，求的最大值和最小值转化为求圆与圆总有公共点求的最大值和最小值，而两圆心的距离为，当两圆外切时，解得，此时，当两圆内切时，两圆心的距离，所以只能圆在圆的内部，所以，解得，此时，所以的最大值为，最小值为．例9．（2024·高一课时练习）已知点在直线上运动，求的最小值及取得最小值时点的坐标．【解析】因为，可看作定点与直线上任意一点距离的平方，所以距离最小值即是点到直线的距离，由点到直线的距离公式可得最小值为；此时直线与直线垂直，所以直线的方程为，即，由得，即.故的最小值为，此时点P的坐标为.变式2．（2024·高二课时练习）已知点在直线上运动，则取得最小值时点的坐标为．【答案】【解析】转化为直线上的点到点的距离的平方，又点到直线的距离最小，过点且与直线垂直的直线为因此两直线联立，，解得故点的坐标为变式3．（2024·全国·高二专题练习）已知为圆上任意一点．则的最大值为【答案】/【解析】圆即，故圆心，半径为，又表示圆C上的点M到点的距离，故其最大值为，故答案为：变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知平面向量，，，满足，，，则的最小值为（

）A．1 B． C．3 D．【答案】A【解析】因为，，所以，所以对任意都恒成立，所以.不妨设又.当，设，所以，所以，所以，所以对应的点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，所以可以看成是到的距离，所以的最小值为.当时，同理可得的最小值为1.故选：A变式5．（2024·广东东莞·高一东莞高级中学校考阶段练习）已知点，点在圆上运动，则的最大值为（

）A．22 B．26 C．30 D．32【答案】C【解析】设点,点在圆上运动,满足,且,当时,取得最大值是;故选:.题型四：周长面积型例10．（2024·江苏·高二假期作业）已知两点，，点是圆上任意一点，则面积的最大值为，最小值为.【答案】【解析】因为两点，，所以直线的方程为：，即，，圆，其圆心为，半径，圆心到直线的距离，点到直线的距离最大值为，距离最小值为，所以面积的最大值；面积的最小值.故答案为：；.例11．（2024·全国·高二专题练习）已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则四边形周长的最小值为（

）A．8 B． C． D．【答案】A【解析】圆的圆心坐标为，半径为，因为过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，所以有，，因此有，要想四边形周长最小，只需最小，即当时，此时，此时，即最小值为，故选：A例12．（2024·全国·模拟预测）已知直线：与圆：相交于不同两点，，位于直线异侧两点，都在圆上运动，则四边形面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】圆：可以化为标准方程，则其圆心为，半径，则直线与圆心的距离，故由勾股定理可得半弦长为，所以.又，两点位于直线异侧且都在圆上运动，所以四边形的面积可以看作是和的面积之和，则当为弦的垂直平分线（即为圆的直径）时，两三角形的面积之和最大，即四边形的面积最大，最大面积.故选：A.变式6．（2024·甘肃庆阳·高二校考期末）已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线、，、为切点，则四边形的面积的最小值为【答案】【解析】由圆，得到圆心，半径由题意可得：，，，，在中，由勾股定理可得：，当最小时，最小，此时所求的面积也最小，点是直线上的动点，当时，有最小值，此时，所求四边形的面积的最小值为；故答案为：变式7．（2024·高二课时练习）已知，，点为圆上任意一点，则面积的最大值为（

）A．5 B． C． D．【答案】D【解析】圆的圆心，半径，直线的方程为：，于是点到直线：的距离，而点在圆上，因此点到直线距离的最大值为，又，所以面积的最大值为.故选：D题型五：数量积型例13．（2024·河南南阳·高二统考阶段练习）已知点为椭圆上任意一点，是圆上两点，且，则的最大值是.【答案】24【解析】设圆的圆心为，则，椭圆的右焦点坐标也为，且是圆的一条直径，因此，因为点是椭圆的右焦点，点在椭圆上，所以，所以，即，所以的最大值为24.故答案为：24.例14．（2024·全国·高三专题练习）已知直线与圆相切于点，设直线与轴的交点为，点为圆上的动点，则的最大值为．【答案】【解析】圆的圆心的为，因为直线与圆相切于点则所以得，所以，，所以直线方程为，圆的方程为，所以，，的中点，则因为，所以故，所以的最大值为故答案为：例15．（2024·江苏南京·高一校考期中）已知点，点为圆上的动点，则的最大值为.【答案】【解析】圆的标准方程为：，圆心为，半径为，，当点动到点时，取得最大值，即为在上的投影，.故答案为：.变式8．（2024·全国·高一专题练习）在边长为4的正方形中，动圆Q的半径为1、圆心在线段（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则的取值范围是（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，由数量积的几何意义可知：等于与在上的投影的乘积，故当在上的投影最大时，数量积最大，此时点在以为圆心的圆的最上端处，此时投影为，故数量积为，故当在上的投影最小时，数量积最小，此时点在以为圆心的圆的最下端处，此时投影为，故数量积为,故，故选：A变式9．（2024·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考阶段练习）在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆的半径为1、圆心在线段CD（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则的取值范围是（

）A．. B． C． D．【答案】A【解析】由，可得为与在方向上的投影之积.正六边形ABCDEF中，以D为圆心的圆与DE交于M，过M作于，设以C为圆心的圆与垂直的切线与圆切于点N与延长线交点为，则在方向上的投影最小值为，最大值为,又，，则，则的取值范围是.故选：A变式10．（2024·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】记圆心为，则，因为互为相反向量，所以，因为正六边形ABCDEF的边长为2，为正六边形的中心，所以当与正六边形顶点重合时，有最大值2，当在正六边形边上的中点处时，有最小值，此时.所以.故选：B题型六：坐标与角度型例16．（2024·浙江丽水·高二校联考开学考试）已知点P在圆M：上，点，，则最小和最大时分别为（

）A．0°和60° B．15°和75° C．30°和90° D．45°和135°【答案】B【解析】如图所示，当与圆相切时对应的最大和最小，设最小时切于，最大时切于，由，可得，所以，同理得由点，，可知，所以，.故选：B.例17．（2024·高二单元测试）已知圆C：(x﹣1)2+y2=1，点P(x0，y0)在直线x﹣y+1=0上运动.若C上存在点Q，使∠CPQ=30°，则x0的取值范围是.【答案】【解析】如图圆，在直线上，若圆存在点，使得，当在直线上运动，极端情况，与圆相切，.在中，，所以.所以以为圆心，为半径的圆与直线交于，两点.符合条件的点在线段之间.所以或.故的取值范围为.故答案为：例18．（2024·全国·高三专题练习）已知，满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】点在圆上，,则，如图，当与圆相切时，取得最小值，所以，此时点.故选：C变式11．（2024·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）若圆）与圆交于A、B两点，则tan∠ANB的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】可化为，故圆N的圆心为，半径为，由题意可知：AB为圆M与圆N的公共弦，且圆M的半径为1，所以且，故，当的坐标为时，，在△NAB中，，又，在上单调递减，故为锐角，且当时，最大，又在上单调递增，所以当最大时，取得最大值，且最大值为，故选：D变式12．（2024·全国·高三专题练习）动圆M经过坐标原点，且半径为1，则圆心M的横纵坐标之和的最大值为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【解析】设动圆圆心，半径为1，动圆M经过坐标原点，可得,即，，当且仅当时取等号，即，则圆心M的横纵坐标之和的最大值为故选：C变式13．（2024·全国·模拟预测）已知圆，圆是以圆上任意一点为圆心，1为半径的圆．圆与圆交于，两点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在中，．如图所示：当公共弦最大，即为圆的直径时，最大，又可得为锐角，即取得最大值．此时，则．故选：D题型七：长度型例19．（2024·全国·高三专题练习）已知圆及点，点P、Q分别是直线和圆C上的动点，则的最小值为.【答案】3【解析】作出点A关于直线的对称点，如图：设点，则有，解得，即，而C(2，0)由圆的性质知：圆外点P与圆C上点Q距离满足(当且仅当Q是线段PC与圆C的交点时取“=”)，连接交直线于点O，P为直线上任意一点，连(线段PC交圆C于点Q)，则，当且仅当点P在线段上，即与点O重合时取“=”，所以的最小值为3.故答案为：3例20．（2024·湖北·高二沙市中学校联考期中）已知直线与圆交于两点，且，则的最大值为.【答案】/【解析】的几何意义为点到直线的距离之和，其最大值是的中点到直线的距离的2倍.由题可知，为等边三角形，则，∴AB中点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，故点到直线的最大距离为，∴的最大值为，∴的最大值为＝.故答案为：.例21．（2024·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期末）已知为圆上的两点，且，设为弦的中点，则的最大值为.【答案】15【解析】注意到，则，又，则，又由垂径定理可知，，则.故P点轨迹是以M为圆心，半径为1的圆.注意到，表示P到直线距离的5倍，又圆上一点到距离的最大值为：，则的最大值为15.故答案为：15变式14．（2024·上海静安·高二校考期末）已知实数满足，，则的最大值为.【答案】/【解析】设圆，直线，，，则，都在圆上，∵，，∴△MON是等边三角形，∴．表示和到直线的距离和，由图形得只有当、都在直线的下方时，该距离之和才会取得最大值．取、的中点，过作，垂足为，则，∵为等边三角形，为的中点，∴，则在圆上运动，则当MN∥l时，到直线距离的最大值为，∴的最大值为．故答案为：变式15．（2024·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A、B，动点P满足（其中是正常数，且），则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点，P是圆上的动点，则的最小值为【答案】【解析】如图，在轴上取点，，，，，（当且仅当为与圆交点时取等号），.故答案为：.变式16．（2024·全国·高二期中）已知圆是以点和点为直径的圆，点为圆上的动点，若点，点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题设，知：且，即圆的半径为4，∴圆：，如上图，坐标系中则，∴，即△△，故，∴，在△中，∴要使最大，共线且最大值为的长度.∴.故选：A变式17．（2024·四川成都·高二成都七中校考开学考试）已知，是曲线上两个不同的点，，则的最大值与最小值的比值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】化简得，由，得.因为，所以或.当时，；当时，.所以方程表示的曲线为圆的左半部分和圆的右半部分.根据圆的性质知：当A，B分别与图中的M，N重合时，取得最大值，且最大值为6；当A，B为图中E，F，G，H四点中的某两点时，取得最小值，且最小值为.故的最大值与最小值的比值是.故选：B.变式18．（2024·全国·高三专题练习）在中，，，点在内部，，则的最小值为．【答案】2【解析】因为，，所以.在中，由正弦定理得：（R为的外接圆半径），所以，解得：.如图所示：设的外接圆的圆心为O，建立如图示的坐标系.设E为AC的中点，所以，.所以点M的轨迹为：，可写出（为参数）.因为点在内部，所以（其中满足，）.所以因为满足，，所以，所以当时最小.故答案为：2变式19．（2024·河南许昌·高二禹州市高级中学校考阶段练习）已知点P在直线上运动，点E是圆上的动点，点F是圆上的动点，则的最大值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【解析】如图所示，圆的圆心为，半径为3，圆关于直线的对称圆为圆B，其中设圆心B坐标为，则，解得：，故圆B的圆心为，半径