高考数学大一轮复习核心考点精讲精练(新高考专用)专题3.4幂函数【原卷版+解析】

专题3.4幂函数【核心素养】1.以常见幂函数为载体，考查函数的奇偶性与周期性，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．2.与不等式、方程等相结合考查函数的图象、单调性、奇偶性，凸显分类讨论思想、数形结合思想的应用及数学运算的核心素养．3.与函数、不等式结合，考查函数性质的综合应用，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．知识点一知识点一幂函数的定义幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.知识点二知识点二常见的5种幂函数的图象常见的5种幂函数的图象知识点三知识点三常见的5种幂函数的性质常见的5种幂函数的性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\s\up6(\f(1,2))y＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇常考题型剖析常考题型剖析题型一：幂函数的概念【典例分析】例1-1.（2023秋·河北邯郸·高三统考期末）已知幂函数满足，则的值为（

）A．2 B． C． D．例1-2.（2022秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）已知幂函数的图象过点，则___________.【知识拓展】1.形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1均不是幂函数，再者注意与指数函数的区别，例如：y＝x2是幂函数，y＝2x是指数函数．2.幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，往往利用待定系数法，求幂指数，得到函数解析式，进一步解题.【变式训练】变式1-1.（2023·河北·高三学业考试）已知幂函数的图象过点，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．9变式1-2.（2023·上海黄浦·统考二模）若函数的图像经过点与，则m的值为____________．题型二：幂函数的图象例2-1.（2023·全国·高三专题练习）函数的图像大致为（

）A．B．C．D．例2-2.（2023·全国·高三对口高考）给定一组函数解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（

）

A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①例2-3.（2023·新疆阿勒泰·统考三模）已知函数则函数，则函数的图象大致是（

）A． B．C． D．例2-4.（2023·陕西榆林·校考模拟预测）直线：与，轴的交点分别是，，与函数，的图像的交点分别为，，若，是线段的三等分点，则的值为________.【规律方法】函数y＝xα的形式的图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可．【变式训练】变式2-1.（2011·陕西·高考真题）函数的图象是()A．B．C． D．变式2-2.（2023春·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）设，若幂函数定义域为R，且其图像关于y轴成轴对称，则m的值可以为（

）A．1 B．4 C．7 D．10变式2-3.（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（

）A．p，q均为奇数，且B．q为偶数，p为奇数，且C．q为奇数，p为偶数，且D．q为奇数，p为偶数，且变式2-4.（2023·宁夏银川·银川一中校考一模）函数，和的图像都通过同一个点，则该点坐标为________．题型三：幂函数的性质【典例分析】例3-1.（1993·全国·高考真题）函数y=在[－1,1]上是()A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数例3-2．（2007·山东·高考真题）设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为（）A． B． C． D．例3-3．（2023·浙江·高三专题练习）已知，则（

）A． B．C． D．例3-4．（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知幂函数，若，则a的取值范围是__________.【方法技巧】1.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.【变式训练】变式3-1.（2020·全国·高三对口高考）下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为（

）．A． B． C． D．变式3-2.（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（

）A． B．是减函数C．是奇函数 D．是偶函数变式3-3.【多选题】（2023·江苏·校联考模拟预测）若函数，且，则（

）A． B．C． D．变式3-4.（2023春·上海·高三校联考阶段练习）已知函数，则关于的表达式的解集为__________.题型四：幂函数综合问题【典例分析】例4-1.（2023·山东聊城·统考三模）设，，则（）A． B．C． D．例4-2．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）函数与在均单调递减的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．例4-3．（江苏省高考真题）在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y＝(x>0)图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为________．例4-4．（2023·高三课时练习）已知幂函数（m为正整数）的图像关于y轴对称，且在上是严格减函数，求满足的实数a的取值范围．【变式训练】变式4-1.（2023·广东佛山·校联考模拟预测）设，，，则（

）A． B．C． D．变式4-2.（2023·陕西·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）已知函数，，其中，，，若点，，，满足，则（

）A． B．C． D．变式4-3.（2023·高三课时练习）已知，若函数满足：当时，恒成立，则的取值为______．（写出满足条件的所有取值）变式4-4.（2020秋·江西上饶·高三校考阶段练习）已知幂函数为偶函数.(1)求的解析式；(2)若在上不是单调函数，求实数的取值范围.一、单选题1．（2023·辽宁·校联考一模）下列函数中，是偶函数，且在区间单调递增的为（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．3．（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）若幂函数在区间上单调递增，则（

）A． B．3 C．或3 D．1或4．（2023·海南·统考模拟预测）已知为幂函数，则（

）．A．在上单调递增 B．在上单调递减C．在上单调递增 D．在上单调递减5．（2023秋·山东德州·高三统考期末）函数同时满足①对于定义域内的任意实数x，都有；②在上是减函数，则的值为（

）A．8 B．4 C．2 D．16．（2023·江苏·高三统考学业考试）已知函数是偶函数，且在区间上单调递增，则下列实数可作为值的是（

）A．-2 B． C．2 D．37.（2023·全国·高三对口高考）若，且，当时，则一定有（

）A． B．C． D．8．（2012·山东·高考真题）设函数，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是A．当时，B．当时，C．当时，D．当时，二、填空题9.（2020·江苏·统考高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，，则f(-8)的值是____.10．（2014·上海·高考真题）若，则满足的取值范围是_____.11.（2023春·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知幂函数的图像过点，则的值为___________．12．（2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）已知幂函数的图像过点，则函数的零点为________．

专题3.4幂函数【核心素养】1.以常见幂函数为载体，考查函数的奇偶性与周期性，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．2.与不等式、方程等相结合考查函数的图象、单调性、奇偶性，凸显分类讨论思想、数形结合思想的应用及数学运算的核心素养．3.与函数、不等式结合，考查函数性质的综合应用，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．知识点一知识点一幂函数的定义幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.知识点二知识点二常见的5种幂函数的图象常见的5种幂函数的图象知识点三知识点三常见的5种幂函数的性质常见的5种幂函数的性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\s\up6(\f(1,2))y＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇常考题型剖析常考题型剖析题型一：幂函数的概念【典例分析】例1-1.（2023秋·河北邯郸·高三统考期末）已知幂函数满足，则的值为（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】设出幂函数的解析式，根据已知，求出参数的关系式，即可计算作答.【详解】依题意，设，则，所以.故选：B例1-2.（2022秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）已知幂函数的图象过点，则___________.【答案】/【分析】根据幂函数过点，求出函数解析式，将数值代入即可计算.【详解】因为幂函数的图象过点，所以，解得：，所以，则，故答案为：.【知识拓展】1.形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1均不是幂函数，再者注意与指数函数的区别，例如：y＝x2是幂函数，y＝2x是指数函数．2.幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，往往利用待定系数法，求幂指数，得到函数解析式，进一步解题.【变式训练】变式1-1.（2023·河北·高三学业考试）已知幂函数的图象过点，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．9【答案】B【分析】设幂函数为，代入点计算得到，计算得到答案.【详解】设幂函数为，图象过点，故，故，，.故选：B变式1-2.（2023·上海黄浦·统考二模）若函数的图像经过点与，则m的值为____________．【答案】81【分析】根据函数图象过的点求得参数，可得函数解析式，再代入求值即得答案.【详解】由题意函数的图像经过点与，则，则故，故答案为：81题型二：幂函数的图象例2-1.（2023·全国·高三专题练习）函数的图像大致为（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用特殊值法逐项进行排除即可求解.【详解】由，排除A，D．当时，，所以，排除C．故选：B．例2-2.（2023·全国·高三对口高考）给定一组函数解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（

）

A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①【答案】C【分析】根据幂函数的图象的性质判断各图象对应解析式的形式，即可得答案.【详解】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；图象（2）关于轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；图象（4）关于轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故满足；图象（5）关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故满足；图象（6）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递减，故满足；图象（7）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递增，故满足；故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤.故选：C例2-3.（2023·新疆阿勒泰·统考三模）已知函数则函数，则函数的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由可知图像与的图像关于轴对称，由的图像即可得出结果.【详解】因为，所以图像与的图像关于轴对称，由解析式，作出的图像如图从而可得图像为B选项.故选：B.例2-4.（2023·陕西榆林·校考模拟预测）直线：与，轴的交点分别是，，与函数，的图像的交点分别为，，若，是线段的三等分点，则的值为________.【答案】【分析】求出点、的坐标，代入相应的幂函数解析式，求出、的值，即可得解.【详解】直线与、轴的交点分别是、，因为，是线段的三等分点，可得，，且与函数、的图像交点分别是、，其中，所以，解得，所以，.故答案为：.【规律方法】函数y＝xα的形式的图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可．【变式训练】变式2-1.（2011·陕西·高考真题）函数的图象是()A．B．C． D．【答案】B【详解】试题分析：先找出函数图象上的特殊点（1，1），（8，2），（，），再判断函数的走向，结合图形，选出正确的答案．解：函数图象上的特殊点（1，1），故排除A，D；由特殊点（8，2），（），可排除C．故选B．变式2-2.（2023春·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）设，若幂函数定义域为R，且其图像关于y轴成轴对称，则m的值可以为（

）A．1 B．4 C．7 D．10【答案】C【分析】根据幂函数的定义域和幂函数的奇偶性可以确定m的值.【详解】解：由题意知，因为其图像关于y轴成轴对称，则.故选：C．变式2-3.（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（

）A．p，q均为奇数，且B．q为偶数，p为奇数，且C．q为奇数，p为偶数，且D．q为奇数，p为偶数，且【答案】D【分析】根据函数的单调性可判断出；根据函数的奇偶性及，互质可判断出为偶数，为奇数.【详解】因为函数的定义域为，且在上单调递减，所以0，因为函数的图象关于y轴对称，所以函数为偶函数，即p为偶数，又p、q互质，所以q为奇数，所以选项D正确，故选：D.变式2-4.（2023·宁夏银川·银川一中校考一模）函数，和的图像都通过同一个点，则该点坐标为________．【答案】【分析】根据幂函数的性质既可以求得.【详解】根据三个函数可得定义域为：，则根据幂函数的性质可知这三个函数都经过点.故答案为：题型三：幂函数的性质【典例分析】例3-1.（1993·全国·高考真题）函数y=在[－1,1]上是()A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数【答案】A【详解】考查幂函数.∵>0，根据幂函数的图象与性质可得在[−1,1]上的单调增函数，是奇函数．故选A.点睛：对于形如的幂函数，研究函数性质时，可以将函数化简为，可知定义域及函数奇偶性，幂函数的单调性可以只研究第一象限，再结合奇偶性即可得结论.例3-2．（2007·山东·高考真题）设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】时，函数定义域不是R,不合题意；时，函数的定义域为R且为奇函数，合题意，故选A.例3-3．（2023·浙江·高三专题练习）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用中间值比较a,b的大小，再让b，c与中间值比较，判断b,c的大小，即可得解.【详解】，又因为通过计算知，所以，即，又，所以，所以.故选：B例3-4．（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知幂函数，若，则a的取值范围是__________.【答案】【分析】根据题意得到幂函数的定义域和单调性，得到不等式的等价不等式组，即可求解.【详解】由幂函数，可得函数的定义域为，且是递减函数，因为，可得，解得，即实数的取值范围为.故答案为：.【方法技巧】1.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.【变式训练】变式3-1.（2020·全国·高三对口高考）下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数的奇偶性和单调性性质即可求解.【详解】A：一次函数的性质知在上是减函数，不合题意．B：定义域为R且，为非奇非偶且是减函数，不合题意；C：定义域为R且，为偶函数且在R上不单调，不合题意．D：定义域为R且，为奇函数且在上是增函数，符合题意.故选：D．变式3-2.（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（

）A． B．是减函数C．是奇函数 D．是偶函数【答案】C【分析】根据幂函数的定义及单调性可判断AB，再由奇函数的定义判断CD.【详解】函数为幂函数，则，解得或.当时，在区间上单调递增，不满足条件，排除A；当时，在区间上单调递减，满足题意.函数在和上单调递减，但不是减函数，排除B；因为函数定义域关于原点对称，且，所以函数是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误.故选：C.变式3-3.【多选题】（2023·江苏·校联考模拟预测）若函数，且，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用幂函数的性质及函数的单调性的性质，结合特殊值法及构造函数法即可求解.【详解】由幂函数的性质知，在上单调递增.因为,所以，即，，所以．故A正确；令，则，故B错误；令，则由函数单调性的性质知，在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，因为，所以，即，于是有，故C正确；令，则，所以因为，故D错误．故选：AC.变式3-4.（2023春·上海·高三校联考阶段练习）已知函数，则关于的表达式的解集为__________.【答案】【分析】利用幂函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解.【详解】由题意可知，的定义域为，所以，所以函数是奇函数，由幂函数的性质知，函数在函数上单调递增，由，得，即，所以，即，解得，所以关于的表达式的解集为.故答案为：.题型四：幂函数综合问题【典例分析】例4-1.（2023·山东聊城·统考三模）设，，则（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据指对幂函数的单调性以及中间值进行比较即可.【详解】由单调递减可知：.由单调递增可知：，所以，即，且.由单调递减可知：，所以.故选：D例4-2．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）函数与在均单调递减的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别求出函数与在均单调递减时，a的取值区间结合选项可得答案.【详解】函数在均单调递减可得即；函数在均单调递减可得，解得，若函数与均单调递减，可得，由题可得所求区间真包含于，结合选项，函数与均单调递减的一个充分不必要条件是C故选：C例4-3．（江苏省高考真题）在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y＝(x>0)图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为________．【答案】－1或【解析】设点，则令令（1）当时，时取得最小值，，解得（2）当时，在区间上单调递增，所以当时，取得最小值，解得综上可知：或所以答案应填：-1或.例4-4．（2023·高三课时练习）已知幂函数（m为正整数）的图像关于y轴对称，且在上是严格减函数，求满足的实数a的取值范围．【答案】【分析】根据函数为幂函数以及函数的性质，可确定参数m的取值，结合幂函数的单调性，分类讨论求解不等式，可得答案.【详解】因为函数在上是严格减函数，所以，解得．由m为正整数，则或,又函数的图像关于y轴对称，得是偶函数，而当时，，为奇函数，不符题意，当时，，为偶函数，于是．因为为奇函数，在与上均为严格减函数，所以等价于或或，解得或，即.【变式训练】变式4-1.（2023·广东佛山·校联考模拟预测）设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分别由指数、对数、幂函数的性质可得，，，即可得出答案.【详解】由题知，，，，所以.故选：A.变式4-2.（2023·陕西·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）已知函数，，其中，，，若点，，，满足，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由且横坐标对应相等，知纵坐标差的绝对值对应相等，化简即得.【详解】因为，且，，故.故，则.故选：D.变式4-3.（2023·高三课时练习）已知，若函数满足：当时，恒成立，则的取值为______．（写出满足条件的所有取值）【答案】、、0或【分析】根据幂函数的性质，结合题意，根据函数值的正负情况，一一判断的取值是否符合题意，可得答案.【详解】因为，所以，要使则在区间上应大于0，所以时在区间可取到负值，不合题意；当时，，在区间上恒有成立，符合题意；当时，，当时，，当时，，即在区间上有成立，不合题意；当时，，当时，为递增函数，，则；当时，为递减函数，，则，故在区间上有恒成立，符合题意；当时，，由，及，知恒成立，符合题意；当时，，由及，知恒成立，符合题意，综上所述，的取值为、、0或，故答案为：、、0或变式4-4.（2020秋·江西上饶·高三校考阶段练习）已知幂函数为偶函数.(1)求的解析式；(2)若在上不是单调函数，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据幂函数的定义和函数的奇偶性求出的值,求出函数的解析式即可;(2)求出函数的对称轴,根据函数的单调性求出的范围即可.【详解】（1）由题意,解得:或3,若是偶函数,则，故;（2）,的对称轴是,若在上不是单调函数,则,解得:.所以实数的取值范围为.一、单选题1．（2023·辽宁·校联考一模）下列函数中，是偶函数，且在区间单调递增的为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别分析函数的奇偶性和单调性即可选出结果.【详解】解：为奇函数，，为偶函数，但在单调递增，所以在单调递减，而为偶函数且在单调递增.故选：A2．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用函数的奇偶性及幂函数的性质进行排除可得答案.【详解】因为，所以为偶函数，排除A,B选项；易知当时，为增函数，且增加幅度较为缓和，所以D不正确.故选：C.3．（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）若幂函数在区间上单调递增，则（

）A． B．3 C．或3 D．1或【答案】A【分析】根据幂函数的概念和单调性可求出结果.【详解】因为函数为幂函数，且在区间上单调递增，所以且，由，得或，当时，，满足题意；当时，足，不符合题意.综上.故选：A.4．（2023·海南·统考模拟预测）已知为幂函数，则（

）．A．在上单调递增 B．在上单调递减C．在上单调递增 D．在上单调递减【答案】B【分析】首先根据幂函数的定义求出参数的值，即可得到函数解析式，再分析其性质.【详解】因为是幂函数，所以，解得或，所以或，对于，函数在上单调递增，在上单调递减；对于，函数在上单调递减，且为奇函数，故在上单调递减；故只有B选项“在上单调递减”符合这两个函数的性质．故选：B5．（2023秋·山东德州·高三统考期末）函数同时满足①对于定义域内的任意实数x，都有；②在上是减函数