人教版八年级数学上册教案第十三章轴对称

人教版八年级数学上册教案第十三章轴对称一、单元学习主题本单元是“图形与几何”领域“图形的变化”主题中的“轴对称”.1.课标分析《标准2022》指出初中阶段图形与几何领域包括“图形的性质”“图形的变化”和“图形与坐标”三个主题,学生将进一步学习点、线、面、角、三角形、多边形和圆等几何图形,从演绎证明、运动变化、量化分析三个方面研究这些图形的基本性质和相互关系.“图形的变化”的教学应当通过信息技术的演示或者实物的操作,让学生感悟图形轴对称、平移、旋转变化的基本特征,知道变化的感知是需要参照物的,可以借助参照物述说变化的基本特征;知道这三类变化有一个基本性质,即图形中任意两点间的距离保持不变,夹角也保持不变.这样的教学活动不仅有助于学生理解几何学的本质,还培养了学生用图形的运动认识、理解和表达现实世界中相应的现象;理解几何图形的对称性,感悟现实世界中的对称美,感悟图形由规律变化产生的美,会用几何知识表达物体简单的运动规律,增强对数学学习的兴趣.感悟数学论证的逻辑,体会数学的严谨性,形成初步的推理能力和重事实、讲道理的科学精神.图形的变化是图形与几何领域的主要内容,它在义务教育阶段的数学课程中占有重要地位,本单元的学习内容“轴对称”是强调从运动变化的观点来研究图形.理解轴对称的变化规律和变化中的不变量.在轴对称概念的基础上生长发展,通过对比轴对称和轴对称图形理解轴对称变换的本质.应用轴对称、平移解决实际问题也是一种极为重要的数学思想方法.“图形的性质”强调通过实验探究、直观发现、推理论证来研究图形,在用几何直观理解几何基本事实的基础上,从基本事实出发推导图形的几何性质和定理,感悟具有传递性的数学逻辑,形成几何直观和推理能力;理解和掌握尺规作图的基本原理和方法,经历尺规作图的过程,增强动手能力,能想象出通过尺规作图的操作所形成的图形,发展空间观念和空间想象力.本单元图形性质(垂直平分线和等腰三角形)的教学要引导学生感悟几何体系基本框架,组织学生经历图形分析与比较的过程,会用准确的语言描述概念,提升抽象能力,会用数学的眼光观察现实世界;通过生活中和数学中的现实情境,引导学生感悟基本事实的意义,经历几何命题发现和证明的过程,增强推理能力,会用数学的思维思考现实世界;引导学生经历针对图形性质、关系、变化确立几何命题的过程,感悟数学表达的准确性和严谨性,会借助图形分析问题,形成解决问题的思路,发展模型观念,会用数学的语言表达现实世界.《标准2022》指出“图形与坐标”包括“图形的位置与坐标”和“图形的运动与坐标”,本单元是“图形的运动与坐标”.通过图形与坐标培养学生的数形结合能力,会用代数的方法研究图形,发展推理能力和运算能力;会用坐标表达图形的变化、简单图形的性质,发展几何直观;会用坐标分析、解决实际问题,培养学生观察问题、研究问题、解决问题的能力,增强应用意识和创新意识.2.本单元教学内容分析人教版教材数学八年级上册第十三章“轴对称”,本章包括四个小节:13.1轴对称;13.2画轴对称图形;13.3等腰三角形;13.4课题学习最短路径问题.(1)注意联系实际本章内容有丰富的实际背景,在现实生活中有广泛的应用.轴对称现象在生活中很常见,本章头图选用了故宫的鸟瞰图,也列举了自然景观、建筑物、艺术品等实际例子,让学生感受对称现象无处不在,通过观察图形,引出轴对称概念,培养学生抽象能力和模型观念.实际问题抽象出轴对称内容,又应用轴对称的观点解释现实生活中的有关现象,解决最短路径问题是利用轴对称和平移两种变换把问题转化为“两点之间线段最短”,渗透“转化”的数学思想.利用轴对称设计图案,体现学生对所学知识的应用,培养学生的应用意识和创新意识.(2)注意知识间的联系,有机整合相关内容本章的内容较多,《标准2022》中“图形的性质、图形的变化、图形与坐标”各个部分的内容在本章都有涉及,在本章编写时我们要注意把握各个部分内容之间的联系,将它们有机地进行整合.教材在“画轴对称图形”一节中,从数的角度刻画了轴对称的内容,包括关于坐标轴对称的点的坐标的关系.这里的关键是要让学生感受图形轴对称之后点的坐标的变化,把“形”和“数”紧密地结合在一起,把坐标思想和图形变换的思想联系起来.等腰三角形是一种轴对称图形,教材将等腰三角形的相关内容安排在轴对称之后,就是要利用轴对称研究等腰三角形的有关性质,并进一步利用三角形的全等证明这些性质.将图形的变化与图形的性质有机整合,利用图形的变化得到图形的性质,再通过推理证明这些结论.建立空间观念、培养空间想象力,同时培养学生的推理意识和推理能力.(3)注意让学生经历观察、实验、归纳、论证的过程在内容处理上,教材加强了实验几何的成分,将实验几何与论证几何有机结合.推理论证在培养逻辑思维能力方面起着重要作用,而几何实验则是发现几何命题和定理的有效途径,在培养人的直觉思维和创造性思维方面起着很大的作用.对于本章中的一些概念、性质、公理和定理,教材大多是通过留空、设问、设置“思考”“探究”“归纳”以及“数学活动”等栏目,让学生通过画图、折纸、剪纸、测量等活动,探索发现几何结论,经历知识的“再发现”过程,在探究活动的过程中发展创新思维能力,改变学生的学习方式.在发现结论的基础上,再经过推理证明这些结论,使得推理证明成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续,使图形的认识与图形的证明有机整合.本单元的学习深入贯彻实施《标准2022》的素养理念的渠道,促进学生思考、激发学生思维探究、教会学生学习方法、挖掘学生的学习潜力、有效提高初中数学教学质量和学生学业质量.三、单元学情分析本单元内容是人教版教材数学八年级上册第十三章轴对称,学生在前面已经学习了平移变换,初步积累了一定的图形变换的数学活动经验,掌握了平移的变化规律和变化中的不变量,为运用类比的数学思想探究轴对称奠定了基础,前一章的“全等变换”也为研究轴对称的性质作铺垫.学生虽然积累了一定的图形变化的数学活动经验,但是从直线变换——平移,过渡到曲线变换——轴对称,在探究轴对称的性质的过程中对学生的观察能力、动手能力、交流归纳能力以及对数学方法的掌握能力要求较高,对学生来说还是有一定困难的.四、单元学习目标1.通过具体实例认识轴对称、轴对称图形,探索轴对称的基本性质,理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质,发展学生抽象思维能力和培养学生直观想象的核心素养.2.探索简单图形之间的轴对称关系,学会画线段的垂直平分线,能够画出轴对称图形和对称轴,按照要求画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴对称的图形;会用坐标表示轴对称;认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形,初步形成空间观念和几何直观.3.理解线段垂直平分线的概念,探索并证明线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;反之,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.培养学生的探究能力,增强推理意识,发展推理能力.4.了解等腰三角形的概念,探索并证明等腰三角形的性质定理;探索并掌握等腰三角形的判定定理;探索并掌握等边三角形的性质定理及等边三角形的判定定理.体会从一般到特殊的推理方法,增强推理意识,发展推理能力.5.能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题,在观察、操作、想象、论证、交流的过程中,发展空间观念,激发学生的学习兴趣.培养学生的模型观念、应用意识和创新意识.

五、单元学习内容及学习方法概览13.1.1轴对称课时目标1.了解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念,知道它们的区别和联系,培养学生抽象能力.2.探索成轴对称的两个图形的性质和轴对称的性质,体会由具体到抽象的认识过程,感悟类比方法在研究数学中的作用,培养空间观念和几何直观的核心素养.3.了解线段垂直平分线的概念,培养抽象能力.4.经历观察生活中的轴对称现象,探索轴对称现象共同特征等活动,培养学生类比迁移能力、归纳能力、合作交流能力,进一步发展空间观念.5.体会轴对称在现实生活中的广泛运用和它丰富的文化价值,感悟数学的魅力,提高学生学习数学的积极性,增强应用意识.学习重点理解轴对称的概念和识别轴对称.学习难点理解并掌握轴对称的性质.课时活动设计新知引入动手操作:学生跟着老师,把一张纸对折,剪出一个喜字(折痕处不要完全剪断),再打开这张对折的纸,得到一个美丽的窗花.设计意图:让学生亲自动手剪纸,体验乐趣,感受传统文化“剪纸”的魅力,增强民族自豪感,初步感受轴对称图形的特点,体验几何直观性.探究新知探究1轴对称图形问题:欣赏窗花,你能发现它们有什么共同的特点吗?学生交流探究发现:这些窗花沿一条直线对折,直线两旁的部分能够互相重合.教师归纳总结:如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.追问:你能举出一些轴对称图形的例子吗?学生自主交流.设计意图:结合大量的现实图片,给学生视觉上的强烈冲击,使其产生强烈的求知欲.让学生感悟数学来源于生活并应用于生活的辩证思想,初步感受轴对称图形的概念.通过观察,学生进一步思考共同特点:图形沿折痕折叠,两旁的部分能够互相重合.归纳出这样的图形叫做轴对称图形,折痕所在直线是它的对称轴.从直观感受到深度思考,再到师生共同归纳概念,培养学生的抽象能力.设置开放性的问题,培养学生的思维能力.探究新知探究2两个图形成轴对称问题:下面的每对图形有什么共同特点?每一对图形沿虚线折叠,左边的图形能与右边的图形重合.小组合作交流,类比轴对称图形的名称和概念,总结出这两个图形的名称和概念.总结:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.追问:你能举出一些两个图形成轴对称的例子吗?学生自主交流.设计意图:进一步让学生观察具体实例,类比轴对称图形概念的学习,发现两个图形成轴对称的特征,进而概括出两个图形成轴对称的概念,培养抽象能力.锻炼学生的语言表达能力,学会用数学语言表达世界.设置开放性的问题,给学生提供深度思考的空间,鼓励学生从自己的生活经验出发,列举符合对称特征的物体,并进行广泛交流,学生打开思维可以举例生活图形,也可以举例数学图形,通过举例有助于对两个图形成轴对称的本质特征进行再认识.探究新知探究3轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系你能结合具体图形说明两个图形成轴对称和轴对称图形有什么区别和联系吗?学生独立思考后,进行交流,然后学生代表发言,畅谈两个概念的区别和联系,从而进一步体会和明确概念的本质.设计意图:让学生知道轴对称图形和两个图形成轴对称本质是一致的,但也有区别,轴对称图形指的是对折后两部分重合,而两个图形成轴对称是两个图形的位置关系.探究新知探究4轴对称与轴对称图形的性质问题1:如图,△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称,点A',B',C'分别是点A,B,C的对称点,线段AA',BB',CC'与直线MN有什么关系?请说明理由.学生先独立思考,利用工具量一量或者折一折纸片,猜想结论,并且小组交流想法,组内派代表发言.解:MN垂直于线段AA',BB',CC',并且平分线段AA',BB',CC'.追问:上图中三角形变为四边形、五边形、多边形,以上结论还成立吗?总结垂直平分线定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.由此可得,成轴对称的两个图形的性质:如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.即对称点所连线段被对称轴垂直平分;对称轴垂直平分对称点所连线段.问题2:如图是一个轴对称图形,类比成轴对称的两个图形的性质,你能发现什么结论,能说明理由吗?学生先独立思考,尝试表达,集体纠正.总结:轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.追问:你能用数学语言概括结论吗?解:如图,直线l垂直平分AA',直线l垂直平分BB'.设计意图:从特例出发,让学生经历发现结论和说明结论的过程,体会概念在探索性质中的重要作用,培养学生动手能力、合作意识和语言表达能力.将特殊问题一般化,让学生经历由特殊到一般的探索问题的过程,体会研究问题的一般化方法和类比方法.锻炼学生的语言表达能力,培养抽象概括能力,加强学生对成轴对称的两个图形的性质的认识.

巩固训练下面这些图形是不是轴对称图形?如果是,指出它的对称轴.解:图形①②③是轴对称图形,对称轴如图所示.设计意图:通过巩固训练,学生巩固轴对称的概念,再次认识轴对称图形的本质特征.课堂小结1.什么是轴对称图形?什么样的图形是成轴对称的两个图形?2.轴对称图形和图形的轴对称的区别和联系是什么?3.成轴对称的两个图形有什么性质?4.轴对称图形有什么性质?设计意图:引导学生总结自己的收获,把握本节课的核心内容,回顾由具体到抽象的过程,体会类比方法在研究数学问题中的重要作用.课堂8分钟.1.教材第64,65页习题13.1第1,2,4题.2.七彩作业.13.1.1轴对称1.轴对称图形.2.两个图形成轴对称.3.垂直平分线.4.成轴对称的两个图形的性质.教学反思

13.1.2线段的垂直平分线的性质第1课时线段垂直平分线的性质和判定课时目标1.理解线段垂直平分线的性质和判定,掌握文字语言、图形语言和符号语言的转化,培养学生表达能力和推理意识.2.掌握证明线段垂直平分线的性质和判定的方法,培养学生类比能力和归纳能力.3.经历探索、猜测、证明的过程,进一步发展学生的推理证明意识和能力.4.使学生在数学活动中体会到获得成功的体验,建立学习的自信心,培养应用意识.学习重点理解并掌握线段的垂直平分线的性质与判定和线段的垂直平分线的画法.学习难点线段的垂直平分线的性质与判定的运用.课时活动设计复习回顾提问:线段的垂直平分线的定义?经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.设计意图:让学生通过复习线段的垂直平分线的定义,回顾本质——过中点、垂直这两个条件.并在此基础上引出今天所学课题:线段垂直平分线的性质定理.符合学生的认知规律和知识的形成过程,可以培养学生认识事物的思维方法.

探究新知探究1垂直平分线的性质问题:如图,直线l是线段AB的垂直平分线,在直线l上任取一点P,试猜想点P到点A与点B的距离之间的数量关系.再换个位置取点,猜想还成立吗?请用手中的工具验证.请用自己的话说出猜想,并验证你的猜想是否正确.学生用手中的工具进行验证,师生共同讨论.猜想:“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.”即如果点P在线段垂直平分线上,那么点P到这条线段两个端点A,B的距离相等.已知:如图,直线l⊥AB,垂足为C,AC=CB,点P在l上.求证:PA=PB.证明:∵l⊥AB,∴∠PCA=∠PCB.又∵AC=CB,PC=PC,∴△PCA≌△PCB(SAS).∴PA=PB.归纳总结:线段的垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.符号语言:∵CA=CB,l⊥AB,∴PA=PB.设计意图:通过研究点的特点进而研究垂直平分线的性质,培养学生的集合观念和轨迹意识.设置这样的开放性问题,让学生用手中的工具进行验证,给学生提供思考空间,师生共同完成已知求证,降低学生证明命题的难度,最终应用三角形全等的方法证明线段的垂直平分线的性质定理,培养学生分析问题、解决问题的能力.典例精讲例如图,AD⊥BC,BD=DC,点C在AE的垂直平分线上.AB,AC,CE的长度有什么关系?AB+BD与DE有什么关系?解:∵AD⊥BC,BD=DC,∴AD是BC的垂直平分线,∴AB=AC.∵点C在AE的垂直平分线上,∴AC=CE.∴AB=AC=CE.∵AB=CE,BD=DC,∴AB+BD=CD+CE,即AB+BD=DE.设计意图:通过例题,帮助学生进一步加深对线段垂直平分线定义和性质定理的认识,培养学生的推理能力和应用意识.探究新知探究2线段垂直平分线的判定问题:反过来,如果点P到线段两端点A、B的距离相等,那么点P在线段AB的垂直平分线上.这个命题是否成立?如何证明我们的猜想是正确的呢?学生先独立思考,再小组交流.师生共同讨论后总结如下:已知:如图,PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.证明(方法1作垂直,证中点):过点P作线段AB的垂线PC,垂足为C.则∠PCA=∠PCB=90°.在Rt△PCA和Rt△PCB中,PA∴Rt△PCA≌Rt△PCB(HL).∴AC=BC.又∵PC⊥AB,∴点P在线段AB的垂直平分线上.(方法2:取中点,证垂直;方法3:利用角平分线证明.可以课下完成)追问:你能再找一些到线段AB两端点的距离相等的点吗?能找到多少个到线段AB两端点距离相等的点?解:能.线段AB两端点的距离相等的点有无数个.总结:在线段AB的垂直平分线l上的点与A,B的距离都相等;反过来,与A,B的距离相等的点都在垂直平分线l上,所以垂直平分线l可以看成与两点A,B的距离相等的所有点的集合.设计意图:我们以前学过的平行线性质和判定,三角形全等的性质和判定都是“互逆命题”,在此经验基础上研究学习线段垂直平分线的逆命题符合学生的认知规律.培养学生形成独立研究问题的习惯和提升互逆思维的能力.让学生经历和体会由特殊到一般的研究思路和方法,培养归纳意识和能力.归纳总结线段垂直平分线的判定定理:与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.符号语言:∵PA=PB,∴点P在AB的垂直平分线上.设计意图:通过归纳总结.帮助学生梳理所学知识,有利用巩固课堂效果.典例精讲例如图,AB=AC,MB=MC.直线AM是线段BC的垂直平分线吗?请说明理由.解:直线AM是线段BC的垂直平分线.理由:∵AB=AC,∴点A在BC的垂直平分线上.∵MB=MC,∴点M在BC的垂直平分线上.∴直线AM是线段BC的垂直平分线.设计意图:通过练习,进一步加深学生对线段垂直平分线判定定理的理解,并且培养学生从多角度解决问题的能力和增强学生的应用意识.探究新知探究3过一点作已知直线的垂线尺规作图:经过已知直线外一点作这条直线的垂线.已知:直线AB和AB外一点C.求作:AB的垂线,使它经过点C.解:作法:(1)取任意一点K,使点K和点C在AB的两旁;(2)以点C为圆心,CK长为半径作弧,交AB于点D和E;(3)分别以点D和点E为圆心,大于12DE的长为半径作弧,两弧相交于点F(4)作直线CF.直线CF就是所求作的垂线.请同学们自主交流、探究过直线上一点作已知垂线的作法.设计意图:通过讲解使学生规范作图,并让学生自主探究另一种作图方法,培养学生分析问题、解决问题的能力.

巩固训练如图所示,△ABC中,BC=10,边BC的垂直平分线分别交AB,BC于点E,D,BE=6,求△BCE的周长.解:∵直线ED垂直平分BC,∴CE=BE=6,∴△BCE的周长=CE+BE+BC=6+6+10=22.设计意图:进一步巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.课堂小结1.垂直平分线的性质定理是什么?2.垂直平分线的判定定理是什么?3.我们是怎样研究这些性质的?设计意图:引导学生从知识内容、学习过程和学习方法等多个方面总结自己的收获,把握本节课的核心知识,回顾由特殊到一般的探究过程,体会类比方法在研究数学问题中的重要作用.课堂8分钟.1.教材第65页习题13.1第6题.2.七彩作业.

第1课时线段的垂直平分线的性质和判定1.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.2.与线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.3.过一点作已知直线的垂线.教学反思

第2课时作轴对称图形的对称轴课时目标1.通过回顾垂直平分线的性质,感悟用尺规作已知线段的垂直平分线,培养学生的类比和动手及推理能力.2.通过分析、观察发现“过一点作已知直线的垂线”可以转化为作线段垂直平分线,培养学生的类比迁移能力和创新能力.3.能够运用尺规作图的方法解决简单的作轴对称图形的对称轴的问题,培养学生的应用意识和解决问题的能力.4.经历探索、猜测、证明的过程,进一步发展学生的推理证明意识和能力.5.在数学活动中体会获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,帮助学生建立学习的自信心,培养应用意识.学习重点能用尺规作轴对称图形的对称轴.学习难点能用尺规过一点作已知直线的垂线.课时活动设计情境引入同学们,走进人民大会堂,一颗巨大的五角星熠熠生辉.这颗最闪亮的星是轴对称图形吗?回忆一下轴对称图形的性质?如何找到它的一条对称轴?(引出课题)设计意图:在现实世界中寻找适宜的数学题材,让教学贴近生活,培养学生发现问题的能力,让学生学会用数学眼光看世界,同时也培养了学生的爱国情感.通过回忆轴对称图形的性质引出作对称轴的本质和要探究的第一个问题,培养学生透过表象看问题本质的分析问题的方法,同时帮助学生养成利用概念和性质分析问题的习惯.探究新知思考:如何能用尺规作已知线段的垂直平分线呢?垂直平分线是一条直线,要确定一条直线需要找两个点,依据是两点确定一条直线.

问题1:如图,已知CA=CB,EA=EB,直线CE是线段AB的垂直平分线吗?为什么?学生经过交流探究得出直线CE是线段AB的垂直平分线,因为与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.问题2:如图,点A和点B关于某条直线成轴对称,你能作出这条直线吗?教师提示:由成轴对称的两个图形的性质可知,对称轴是对应点所连线段的垂直平分线,即对称轴为线段AB的垂直平分线.要作线段AB的垂直平分线,关键是找出到线段AB两个端点距离相等的两点.解:如图,(1)分别以点A和点B为圆心,大于12AB的长为半径作弧,两弧相交于C,D两点(2)作直线CD.CD就是所求作的直线.思考:在作法中为什么要以大于12AB的长为半径作弧解:两弧相交的条件,要保证半径足够大.师生归纳:这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图方法,我们也可以用这种方法确定线段的中点.设计意图:让学生理解作垂直平分线的本质就是找到距离线段两个端点距离相等的点.数学课堂是学生活动的课堂、学生思考的课堂,学生参与的广度、深度取决于教师设置问题的价值度.让学生在经历动手画图的过程中能直观感悟知识的形成过程,不同情形的出现加深学生对知识的理解深度,同时也让学生体会到用尺规找到线段中点的方法,培养学生运用数学的能力和动手能力.典例精讲如图,五角星是一个轴对称图形,五角星共有几条对称轴?请你结合对应点A,A',作出五角星的其中一条对称轴.(不写作法,保留作图痕迹)解:有5条对称轴,对称轴如图所示.设计意图:利用垂直平分线的作法解决问题——作轴对称图形的对称轴,体现提出问题、分析问题和解决问题的整体性,培养学生的应用意识,在解决问题的过程中提高学生学习数学的积极性.

巩固训练1.如图,A,B是路边两个新建小区,要在公路边增设一个公共汽车站,使两个小区到车站的路程一样长,该公共汽车站应建在什么地方?(不写作法,保留作图痕迹)解:如图,点P即为所求.第1题图2.在∠AOB内部找一点P,使点P到角两边的距离相等,且使PC=PD,在图上标出点P的位置.(不写作法,保留作图痕迹)解:点P即为所求.第2题图设计意图:通过两个作图题,巩固本节所学的作图,让学生认识到解决题目的关键:两条线确定一个点.培养学生分析问题的能力和动手作图的能力,培养学生的空间观念.课堂小结1.本节课学习了什么基本作图?2.这两种基本作图有什么关系?3.我们还学过哪几种基本作图?4.本节用到了哪些研究方法?在初中阶段,我们学习了五种基本作图:(学生总结)(1)作一条线段等于已知线段;(2)作一个角等于已知角;(3)作已知角的角平分线;(4)过一点作已知直线的垂线;(5)作已知线段的垂直平分线(中点).设计意图:引导学生从知识内容、学习过程和学习方法等多个方面总结自己的收获,把握本节课的核心内容,回顾研究问题的过程,体会类比、转化方法在研究数学问题中的重要作用.课堂8分钟.1.教材第64,65页练习第1,2,3题.2.七彩作业.教学反思

第1课时画轴对称图形课时目标1.通过回顾轴对称的性质,感悟画轴对称图形的方法,培养学生的推理意识和应用能力.2.掌握画出给定对称轴的简单图形的轴对称图形的方法,培养几何直观和空间观念.3.经历观察、动手操作、类比迁移、设计方案的过程,培养学生的模型意识和创新意识.4.让学生在活动中体验到成功的喜悦,体验合作交流的重要性,感受数学美,会用数学的语言表达现实世界.学习重点画出给定对称轴的简单图形的轴对称图形.学习难点利用轴对称设计图案.课时活动设计回顾引入你能说出什么是两个图形关于一条直线成轴对称吗?轴对称的性质是什么?设计意图:通过回忆旧知,让学生在思考的过程中产生知识风暴,为本节课学习新知识作铺垫.回忆对称点——折叠后重合的点,为学生发现本节课作图的本质奠定基础;回忆性质“对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线”,为本节课作图方法的得出奠定基础;回忆“轴对称的图形全等”为求线段和角度做准备,培养学生知识的迁移能力.

探究新知问题1:拿出印有左脚印的半透明纸片,你能画出右脚印吗?动手试一试.学生自己动手操作,通过对折后描图画出右脚印.追问:观察思考所画右脚印和左脚印有什么关系,你还能发现什么结论?小组交流一下.学生通过探讨交流得到:右脚印和左脚印成轴对称,折痕所在直线就是它们的对称轴,并且连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.请学生再画一个图形做一做,小组交流探讨,看看能否得到相同的结论.教师总结:由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形,这个图形与原图形的形状、大小完全相同;新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点;连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.问题串:根据轴对称的性质,如何画出一个点关于已知直线的对称点?如何画出一条线段关于已知直线的对称线段?如果有一个图形和一条直线,如何作出这个图形关于这条直线对称的图形呢?学生自主交流探究.如图,已知△ABC和直线l,画出与△ABC关于直线l对称的图形.解:画法:(1)如图,过点A画直线l的垂线,垂足为O,在垂线上截取OA'=OA,A'就是点A关于直线l的对称点;(2)同理,分别画出点B,C关于直线l的对称点B',C';(3)连接A'B',B'C',C'A'.△A'B'C'即为所求.归纳总结:几何图形都可以看作由点组成.对于某些图形,只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点,连接这些对称点,就可以得到原图形的轴对称图形.你能画出任意多边形关于已知直线的对称图形吗?请说说看.请学生叙述即可.设计意图:情境设置成画脚丫,通过画学生的身体部位激发学生的兴趣,培养美育,同时开阔学生的思维并让学生体会到教学方法的多样性.可以通过描图、扎眼、印墨迹、剪纸、画图等方式,培养学生的创新意识和动手能力.从最简的几何图形入手,研究思路:点——直线——图形,作点的对称点是其他作图方法的基础,学生在刚才描图等方法的基础上对画轴对称图形有了初步认知,结合对称轴是对应点连线的垂直平分线的特性引导学生研究作法:做垂线——截取等长,培养学生的推理能力和动手能力.锻炼学生的语言表达能力,提升归纳和总结能力,体会知识的迁移性.典例精讲例画出图形关于对称轴的对称图形.解:如图所示.设计意图:通过例题巩固新知,让学生更好地掌握所学内容.巩固训练1.下面是四名同学作的△ABC关于直线MN的轴对称图形,其中正确的是(B)2.如图,把下列图形补成关于直线l的对称图形.设计意图:通过一组练习巩固做轴对称图形,掌握作图方法,进一步理解轴对称图形的本质.课堂小结1.轴对称性质.2.作图的原理和一般方法.3.作图的步骤.4.不同的对称轴对应不同的轴对称图形.设计意图:引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获,把握本节课的核心知识,回顾由特殊到一般的过程,体会类比方法在研究数学问题中的重要作用.课堂8分钟.1.教材第71页习题13.2第1题.2.七彩作业.

教学反思

第2课时用坐标表示轴对称课时目标1.掌握在平面直角坐标系中关于x轴和y轴对称的点的坐标特点.培养学生数形结合的意识.2.能利用坐标特点在平面直角坐标系中画出一些简单的关于x轴和y轴的对称图形,学会用代数的方法研究几何问题,发展想象思维.3.能根据坐标系中轴对称的坐标特点解决简单的问题,增强学生的应用意识,提升学生的应用能力.4.经历作图、观察、发现的过程得出坐标的变换规律,培养学生勇于探索的精神和总结归纳的能力.学习重点利用坐标特点画关于坐标轴的对称图形.学习难点能根据坐标系中轴对称点的坐标特点解决简单的问题.课时活动设计情境引入出示北京城示意图,你能根据东直门的坐标,写出西直门的坐标吗?设计意图:以首都北京城的布局特点为背景,引出坐标系中轴对称坐标的问题,激发学生的求知欲望并引出本节课的研究内容.让学生从实际情景中发现数学问题、提出问题并研究解决问题,培养学生用数学思维思考现实世界的能力.探究新知类比做一点关于一条直线的对称点,说说在平面直角坐标系中,要作一个点关于x轴、y轴的对称点该怎么做?试一试并完成教材第69页表格.小组交流方法和结果.问题1:根据写出的关于x轴对称的点的坐标特点,你发现了什么规律?小组说说想法.得出结论:关于x轴对称的点的坐标的特点:横坐标相等,纵坐标互为相反数(简称:横同纵反).问题2:根据写出的关于y轴对称的点的坐标特点,你发现了什么规律?小组说说想法.得出结论:关于y轴对称的点的坐标的特点:横坐标互为相反数,纵坐标相同(简称:横反纵同).归纳总结:点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y);点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y).设计意图:学生自主探究关于x轴、y轴的对称点,并通过作图,写出对称点的坐标.在巩固旧知的同时为对称点坐标规律的总结做了准备,让学生体会知识的生成过程,经历动手作图的过程,为后面规律的理解做准备,培养学生数形结合的能力.典例精讲例如图,四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-5,1),B(-2,1),C(-2,5),D(-5,4),分别画出与四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形.解:如图所示,四边形ABCD关于x轴对称的图形为四边形A'B'C'D',关于y轴对称的图形为四边形A″B″C″D″.设计意图:学生上节课已经学过作关于直线的轴对称图形,本题目的是让学生通过关于y轴和x轴对称的点的坐标特点,先写出对称点坐标然后描点连线,归纳坐标系中作图的基本步骤(一找二描三连),体现数形结合思想,为函数部分画图作铺垫.教学中要善于归纳总结,提升大单元观,培养学生知识迁移能力.扩展应用已知点A(2a-b,5+a),B(2b-1,-a+b).(1)若点A,B关于x轴对称,求a,b的值;(2)若点A,B关于y轴对称,求(4a+b)2016的值.学生独立思考自主完成.解:(1)∵点A(2a-b,5+a)与点B(2b-1,-a+b)关于x轴对称,∴2a-∴a,b的值分别为-2,-1.(2)∵点A,B关于y轴对称,∴2a-∴(4a+b)2016=(-1)2016=1.设计意图:本题重点是抓住关于坐标轴对称的点的坐标特点,建立等量关系,列方程组求解,培养学生模型意识和观念.在利用解方程组、幂运算培养学生的运算能力的同时,提升学生知识的应用意识.课堂小结谈谈今天的收获:(1)P(x,y)关于x轴对称的点的坐标的x值不变,y值互为相反数,即(x,-y).

(2)P(x,y)关于y轴对称的点的坐标的y值不变,x值互为相反数,即(-x,y).

(3)在平面直角坐标系中作一个与图形关于x轴或y轴对称的图形的步骤:①找出原图形中的关键点;②根据关于x轴或y轴对称的点的坐标特征,作出每个关键点的对称点;③将每个点顺次连接起来.

(4)本节课你学到了哪些方法?设计意图:引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获,把握本节课的核心内容,掌握数形结合研究问题的方法,掌握建立不等式方程(组)解决问题的方法,提升学生的知识转化和迁移能力.课堂8分钟.1.教材第70,71页练习第1,2,3题.2.七彩作业.教学反思

13.3.1等腰三角形第1课时等腰三角形的性质课时目标1.探索并证明等腰三角形的两个性质,培养学生的探究精神和推理能力.2.会应用等腰三角形概念和性质解决问题,培养应用意识.3.经历观察实验、猜想证明,发展合情推理能力和演绎推理能力.4.结合等腰三角形的性质的探索和证明过程,体会轴对称在研究几何问题中的作用,培养学生对知识的迁移能力.学习重点探索并证明等腰三角形的性质.学习难点性质1中辅助线的添加和对性质2的理解.课时活动设计情境引入学校开展实践活动,八年级的两位同学将一块等腰三角板放在国旗台上,在三角板顶点放一根绑着石块的绳子,他们发现绳子过三角板底边中点,就说国旗台是水平的.你知道为什么吗?设计意图:从学生身边熟悉的国旗台是否水平的实践活动出发,利用等腰三角板工具,引出课题,进一步让学生感知数学来源于生活,也能解决很多生活问题,培养学生应用数学思维思考现实世界的能力,培养科学态度和理性精神.探究新知通过剪纸,得到等腰三角形,认识边(腰和底)、角(底角和顶角),归纳等腰三角形的概念.问题1:利用长方形纸片和剪刀,你能按照上图的方式剪出一个三角形吗?你能说明剪出的图形有什么特征吗?师生活动,学生动手操作,然后小组交流.解:上述过程中,剪刀剪过的两条边是相等的,即AB=AC,所以剪出来的三角形是等腰三角形.问题2:仔细观察自己剪出的等腰三角形纸片,你能发现哪些角重合?哪些边重合?等腰三角形是轴对称图形吗?是的话,对称轴是什么?小组合作交流.分析:学生在教师设置的问题的启发下得出证明思路,只需证明两个三角形全等即可,即可以作出底边上的中线即可.解:已知△ABC为等腰三角形,AB=AC,作底边BC的中线AD,在△ABD和△ACD中,∵AB∴△ABD≌△ACD(SSS)∴∠BAD=∠CAD,∠ABD=∠ACD,∠ADB=∠ADC,AB=AC,BD=CD.所以∠BAD与∠CAD重合,∠ABD与∠ACD重合,∠ADB与∠ADC重合,AB与AC重合,BD和CD重合,等腰三角形是轴对称图形,对称轴是角平分线,是底边上的高,是底边上的中线.问题3:学生剪下的等腰三角形纸片大小不同,形状各异,是否都具有上述所概括的特征?小组交流讨论.解:都具有上述所概括的特征.问题4:在练习本上任意画一个等腰三角形,把它剪下来,折一折,上面得出的结论仍然成立吗?由此你能概括出等腰三角形的性质吗?师生活动,学生动手操作,相互比较,互动交流,师生共同归纳.分析:教师通过上述问题,和学生归纳出性质的简写形式,并着重引导学生分析“三线合一”的含义.归纳:等腰三角形的性质.性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”);性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简写成“三线合一”).性质2可分解为:(1)等腰三角形的顶角平分线也是底边上的中线和高;(2)等腰三角形底边上的中线也是底边上的高和顶角平分线;(3)等腰三角形底边上的高也是顶角平分线和底边上的中线.设计意图:数学学习是螺旋式上升的,学生小学时已经对等腰三角形有了初步的认识,现在让学生通过动手操作,在反复比较的过程中归纳总结等腰三角形的性质,体会认识事物的一般方法——由特殊到一般,进一步培养学生的抽象概括能力,让学生真正理解“三线合一”的含义,不仅培养学生的动手能力,还能培养学生的抽象概括能力和几何直观能力.例题精讲例如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.分析:本题共三个等腰三角形(△ABC,△DAB和△BCD),设∠A=x,可以利用等腰三角形的性质1和三角形的外角性质,将∠BDC用2x表示;利用等腰三角形的性质1,可知∠C=∠BDC,即∠C也可用2x表示;再利用等腰三角形的性质1,可知∠ABC=∠C,即∠ABC也可用2x表示:由三角形内角和定理即可求出△ABC各角的度数.解:∵AB=AC,BD=BC=AD,∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD(等边对等角).设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.于是在△ABC中,有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°.解得x=36°.所以在△ABC中,∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.设计意图:让学生进一步理解等腰三角形的性质的意义,熟练运用等腰三角形的性质进行简单的求解,启发学生建立知识之间的普遍联系,培养学生的逻辑推理能力和方程思想.巩固训练1.(1)在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠B=35°,则∠A=110°.

(2)等腰三角形的一个内角是100°,则这个三角形的底角的度数是40°.

(3)等腰三角形的一个内角是50°,则这个三角形的底角的度数是65°或50°.

2.如下图所示,△ABC是等腰直角三角形(AB=AC,∠BAC=90°),AD是底边BC上的高.求∠B,∠C,∠BAD,∠DAC的度数,并写出图中所有相等的线段.解:∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠C=45°.∵△ABC是等腰直角三角形,AD是△ABC底边上的高,∴AD是∠BAC的角平分线,是BC边上的中线.∴∠BAD=∠DAC=45°,BD=CD.∴∠B=∠BAD=45°,∠C=∠DAC=45°.∴AD=BD=CD.∴相等的线段:AD=BD=CD,AB=AC.3.已知点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC.(1)如图1,若AD=AE,求证:BD=CE;(2)如图2,若BD=CE,F为DE的中点,求证:AF⊥BC.证明:(1)∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.∴∠B=∠C.∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED.∴∠ADB=∠AEC.在△ABD与△ACE中,∠∴△ABD≌△ACE(AAS).∴BD=CE.(2)∵F为DE的中点,∴DF=EF.∵BD=CE,∴BD+DF=CE+EF.∴BF=CF.∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.∴AF为△ABC的中线,也是高线.∴AF⊥BC.设计意图:在解题过程中学生可能会出现两种方法,需要进行对比,让学生体会三线合一的重要性.在等腰三角形有关计算或证明中,有时需要添加辅助线,其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线.通过练习,有利于培养学生应用知识的能力,让学生体会知识的转化.

课堂小结1.回顾引入中的问题,你能应用本节课的知识解决一下吗?2.教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容,并请学生回答以下问题:(1)本节课学习了哪些主要内容?(2)我们是怎么探究等腰三角形的性质的?(3)“三线合一”的含义是什么?请举例说明.(4)本节课你学到了哪些证明线段相等或角相等的方法?设计意图:通过小结,使学生梳理本节课所学内容和研究方法,把握本节课的重点——等腰三角形的性质,体会轴对称在研究几何问题中的重要作用.引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获,把握本节课的核心内容,掌握数形结合研究问题和建立不等式方程(组)解决问题的方法,提升知识转化和迁移能力.课堂8分钟.1.教材第81,82页习题13.3第1,2,4题.2.七彩作业.教学反思

第2课时等腰三角形的判定课时目标1.通过对等腰三角形判定定理的证明,发展学生的归纳猜想能力,培养学生的推理能力.2.应用等腰三角形判定定理解决问题,培养学生应用意识和创新能力.3.提高学生证明文字命题的能力,培养举一反三、灵活变换的能力,培养数学文字语言向符号语言的转化能力.4.体会数学源于实际,运用于实际的应用价值,领悟数学中的转化思想,欣赏数学的几何美、对称美.学习重点等腰三角形判定定理及应用.学习难点等腰三角形性质和判定的互逆关系.课时活动设计回顾旧知1.上节课我们学习了等腰三角形,现在大家来回忆一下,等腰三角形的定义和等腰三角形有哪些性质?老师指定学生回答.解:等腰三角形的定义:有两条边相等的三角形是等腰三角形;等腰三角形的性质:(1)等腰三角形的两个底角相等(等边对等角);(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一).2.如图,已知AC=BD,是否能根据上节课所学的等边对等角得到这两条边所对的角∠ABC=∠DAB呢?如果不可以,那是为什么呢?解:不能根据等边对等角得到这两条边所对的角∠ABC=∠DAB,因为AC和BD不在同一个三角形内,等边对等角是指在同一个三角形内的边角关系.设计意图:前面学习的全等知识是两个图形之间的关系,而等边对等角是同一个三角形内的边角关系,这也是本节判定要强调的.学生在学习时既要注意知识的迁移性又要重视知识间相互联系的特性,培养学生掌握对比的学习方法.情境引入如图,位于海上B,C两处的两艘救生船都接到A处遇险船只的报警,当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发,能不能同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)?设计意图:数学来源于生活,数学教学中要善于培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力,学生凭借上节课的知识可能会猜测答案,但究其原因可能不是太清楚.教师通过设置悬念激起学生学习本节课的兴趣,提高学习效率.探究新知等腰三角形的判定问题:如图,在△ABO中,∠B=∠A,那么它们所对的边OA和OB有什么数量关系?学生猜想:相等.追问1:如何验证你的猜想?小组交流,展示方法.解:方法一:作∠O的平分线OT交AB于点T,证明△OAT≌△OBT(AAS),∴OA=OB(全等三角形对应边相等)方法二:过O点作OD⊥AB,垂足为点D,证明△AOD≌△BOD(AAS),∴OA=OB(全等三角形对应边相等).追问2:做AB的中线OD,能证明OA=OB吗?尝试一下.分析:等腰三角形性质有“三线合一”,方法一和二分别做角平分线和一边上的高,因此,学生很自然会想到做中线是否可以?经过尝试,SSA不能证明全等,所以得不到结论.追问3:根据以上分析你能总结出什么结论?归纳如下:1.等腰三角形的判定方法:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).2.符号语言:在△ABC中,∵∠B=∠C,(已知)∴AC=AB.(等角对等边)即△ABC为等腰三角形.设计意图:学生通过多种方法证明、归纳结论,培养学生抽象概括能力,助于学生知识体系和学习方法的培养,文字语言向符号语言的转化,锻炼学生语言表达能力.探究新知你还有其他判定方法吗?问题:已知:三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边.求证:这个三角形是等腰三角形.小组合作,教师找小组代表回答.已知:∠CAE是△ABC的外角,∠1=∠2,AD∥BC.求证:AB=AC.分析:要证明AB=AC,可先证明∠B=∠C.因为∠1=∠2,所以可设法找出∠B,∠C与∠1,∠2的关系.证明:∵AD∥BC,∴∠1=∠B(两直线平行,同位角相等),∠2=∠C(两直线平行,内错角相等).已知∠1=∠2,所以∠B=∠C.∴AB=AC(等角对等边).设计意图:探索多种方法证明,加深学生对判定定理的理解与灵活应用.探究新知已知等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为h,求作这个等腰三角形.BC=a,底边上的高为h.方法一:本题逆用等腰三角形的性质2(三线合一),已知底边和高,同时也是中线,所以可以考虑做底边的垂直平分线,然后截取高h;方法二:已知底边,做等腰三角形就是要找到顶点,即找点到线段AB的端点距离相等,所以想到做底边的垂直平分线.作法:(1)作线段AB=a.(2)作线段AB的垂直平分线MN,与AB相交于点D.(3)在MN上取一点C,使DC=h.(4)连接AC,BC,则△ABC就是所求作的等腰三角形.设计意图:条条大道通罗马,不同的理解方法用到的知识点不同,要给学生足够的思考空间,多角度展现学生的想法,这样的课堂对学生思维的训练和培养才是真正有效的.

典例精讲例在△ABC中,AB=AC,倘若不留神,它的一部分被墨水涂没了,只留下一条底边BC和一个底角∠C,请问,有没有办法把原来的等腰三角形画出来?解:方法1:量出∠C度数,画出∠B=∠C,∠B与∠C的边相交得到顶点A.方法2:作BC边上的垂直平分线,与∠C的一边相交得到顶点A.方法3:对折.设计意图:一题多解、拓宽思路、开阔视野,及时巩固本节课所学内容.巩固训练1.如图,∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°.(1)∠1=72°,∠2=36°;

(2)图中的等腰三角形分别是△ABD,△ABC,△BCD.

第1题图第2题图2.如图,已知OC平分∠AOB,CD∥OB,若OD=3cm,则CD等于3cm.

3.已知:如图,AD∥BC,BD平分∠ABC.求证:AB=AD.证明:∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.∴∠ADB=∠ABD.∴AB=AD.如图,把一张长方形的纸沿着对角线折叠,重合部分是一个等腰三角形吗?为什么?解:是等腰三角形.理由如下:由折叠性质可知∠EBD=∠CBD.∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD.∴∠EBD=∠ADB.∴EB=ED.即△EBD为等腰三角形.设计意图:巩固本节课知识的同时,使学生从思维上、能力上、方法上都得到训练,培养学生几何直观和推理能力.课堂小结1.谈谈今天的收获.2.教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容,并请学生回答以下问题:(1)本节课学习了哪些主要内容?(2)我们是怎么探究等腰三角形的判定的?(3)本节课你学到了哪些方法?设计意图:通过小结,使学生梳理本节课所学内容和研究方法,把握本节课的核心内容,引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获,掌握几何直观和模型观念,提升知识转化和迁移能力.课堂8分钟.1.教材第82页习题13.3第5,7题.2.七彩作业.教学反思

13.3.2等边三角形第1课时等边三角形的性质和判定课时目标1.掌握等边三角形定义,理解等边三角形和等腰三角形的关系,培养学生的抽象概括能力.2.经历类比过程,探索等边三角形的性质和判定,培养学生的推理能力和模型观念.3.能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明,培养学生的推理、运算能力和应用意识.4.培养学生参与数学学习活动的积极性,增强对数学的好奇心和求知欲.学习重点理解并掌握等边三角形的概念、性质和判定.学习难点理解并掌握等边三角形判定定理的探究与证明,灵活的运用等边三角形的性质与判定方法解决相关问题.课时活动设计回顾旧知1.等腰三角形的性质和判定?2.三角形按边的关系怎么分类?解:分类为设计意图:本节课研究的等边三角形是特殊的等腰三角形,回忆等腰三角形的性质和判定以及三角形的分类,有助于类比研究本节内容,忆旧知导新课,帮助学生明确研究方向和内容,培养学生用类比思想研究问题,锻炼数学思维.探究新知等边三角形的性质1.你能归纳等边三角形的定义并结合图形写出符号语言吗?解:文字语言:三边都相等的三角形叫做等边三角形(正三角形).符号语言:∵AB=AC=BC,∴△ABC是等边三角形.2.类比等腰三角形的性质,你能得到等边三角形什么性质?解:(1)三条边相等;(2)三个角相等,都是60°.3.等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边三角形有几条对称轴?学生动手作图,找学生回答问题.解:等边三角形每条边上的中线、高和所对角的角平分线都“三线合一”,等边三角形有3条对称轴.4.你能运用类比的方法探索等腰三角形与等边三角形的联系与区别吗?解:等腰三角形和等边三角形边、角、对角线的联系与区别.名称图形边角重要线段对称性等腰三角形两腰相等两个底角相等顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合轴对称图形,有一条对称轴等边三角形三条边相等三个角相等,且都为60°每条边上的中线、高和它所对角的角平分线都互相重合轴对称图形,有三条对称轴设计意图:学生动手折叠或者作图验证猜想,得出等边三角形满足“三线合一”,有3条对称轴.熟练掌握等腰三角形与等边三角形的联系与区别,经历猜想、验证、归纳的过程,让学生体验研究的方法和思路,培养严谨的科学态度和模型观念.

典例精讲例1如图,在等边△ABC中,BC=10,BD⊥AC于点D,则(1)AC=10;

(2)∠A=60°;

(3)∠ABD=30°;

(4)AD=5.

例2如图,△ABC是等边三角形,E是AC上一点,D是BC延长线上一点,连接BE,DE,若∠ABE=40°,BE=DE,求∠CED的度数.分析:利用等边三角形三个角都是60°可得∠ACD是120°,再通过等腰△EBD的性质就可得出答案.学生独立完成,小组内交流.解:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°.∵∠ABE=40°,∴∠EBC=60°-40°=20°.∵BE=DE,∴∠EBD=∠D=20°.∵∠ACD=180°-60°=120°,∴∠CED=180°-120°-20°=40°.设计意图:本环节设计的2个例题,巩固等边三角形边、角、三线合一的性质,选题有梯度,分层设置.第2小题强调等边三角形每个角都是60°这个隐含条件以及三角形内角和定理和外角定理的综合应用,巩固性质,培养学生运用数学的能力,提升推理能力和运算能力.探究新知等边三角形的判定1.类比等腰三角形的判定方法,你能得出等边三角形的判定方法吗?图形等腰三角形等边三角形判定从边看:两条边相等的三角形是等腰三角形三条边都相等的三角形是等边三角形从角看:两个角相等的三角形是等腰三角形三个角都相等的三角形是等边三角形2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗?你能证明你的结论吗?学生讨论得出:一共有两种情况,等腰三角形的顶角是60°或等腰三角形的一个底角是60°.分别用三角形的内角和及等腰三角形两底角相等求出另外两个角从而得出三个内角都是60°,验证是等边三角形.设计意图:用类比的方法探究等边三角形的判定,使学生在掌握知识的同时更好地把握住了研究问题的方法,培养了学生方法的掌握和知识体系的形成,注重对学生能力的培养.

典例精讲例1根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.解:图形(2)(3)(5)(6)是等边三角形,图形(1)不是等边三角形,图形(4)不一定是等边三角形.例2如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E.求证:△ADE是等边三角形.证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°.∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ABC是等边三角形.变式训练(1)如图1,若点D,E在边AB,AC的延长线上(如图1),且DE∥BC,结论还成立吗?(2)如图2,若点D,E在边AB,AC的反向延长线上(如图2),且DE∥BC,结论依然成立吗?(3)题(1)中,若将条件DE∥BC改为AD=AE,△ADE还是等边三角形吗?试说明理由.解:(1)结论仍成立.(2)结论仍成立.(3)△ADE还是等边三角形.理由如下:∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°.∴∠EAD=60°.∵AD=AE,∴∠AED=∠ADE=60°.∴△ADE还是等边三角形.设计意图:根据图形结构和题设条件多方位进行变式,达到一题多练的目的,培养学生几何直观和空间观念,使学生抓住图形的本质,发展模型观念.巩固训练1.△ABC为等边三角形,点M是BC边上任意一点,点N是CA边上任意一点,且BM=CN,BN与AM相交于Q点,求∠BQM的度数.解:∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC=BC,∠ABC=∠C=∠BAC=60°.在△AMB与△BNC中,AB∴△AMB≌△BNC.∴∠BAM=∠CBN.∵∠BQM是△ABQ的外角,∴∠BQM=∠BAM+∠ABQ.∵∠BAM=∠CBN.∴∠BQM=∠CBN+∠ABQ=∠ABC.∵∠ABC=60°,∴∠BQM=60°.2.在等边△ABC中,点P在△ABC内,点Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,问△APQ是什么形状的三角形?试证明你的结论.解:△APQ是等边三角形.证明:∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°.∵∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,∴△ABP≌△ACQ.∴AP=AQ,∠BAP=∠CAQ.∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°,∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°.∴△APQ是等边三角形.设计意图:本题组设计两个题目,分别是等边三角形性质和全等的综合应用、等边三角形判定和全等的综合应用.利用三角形全等转化边和角相等是几何常考知识点,也是初中阶段的重点,选题具有典型性,培养学生综合分析问题的能力,进一步培养推理意识和能力.课堂小结1.谈谈今天的收获.2.教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容,并请学生回答以下问题:(1)本节课学习了哪些主要内容?(2)我们是怎么探究等边三角形的性质和判定的?(3)本节课你学到了哪些方法?设计意图:通过小结,引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获,掌握几何直观和模型观念,提升知识转化和迁移能力.课堂8分钟.1.教材第80页练习第1,2题.2.七彩作业.教学反思

第2课时含30°角的直角三角形的性质课时目标1.掌握含30°角的直角三角形的性质,培养学生抽象概括能力.2.会运用含30°角的直角三角形的性质进行简单计算和证明,培养运算能力和应用意识.3.经历探索含30°角的直角三角形的性质的过程,“探索——发现——猜想——证明”,让学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系.学习重点含30°角的直角三角形性质定理的发现与证明.学习难点含30°角的直角三角形性质定理的探索与应用.课时活动设计回顾旧知等边三角形的性质和判定?设计意图:本节知识是在等边三角形的基础上结合“三线合一”探究的,复习旧知体现知识的延续性,为本节课的探究做准备,培养学生研究问题的方法和几何直观性.探究新知1.将两个含有30°角的三角尺摆放在一起.你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?学生自主探究分析:学生在得出结论的过程中可能会用到测量、观察、推理等多种方式,让学生经历观察、猜想、验证的过程,体会知识的形成原理,培养学生勇于探究的精神.结论:将两个含30°角的三角尺拼在一起,得到一个等边三角形,再利用这个图形的轴对称性,得出BC=122.你能证明你的发现吗?有哪些方法?学生经过探究共有三种方法证明:证法一:∵∠BAC=∠CAD=30°,∴∠BAD=60°.又∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB=60°.∴△BAD是等边三角形,线段AB=AD=BD.又∵线段BC=CD,∴线段AB=AD=BD=2BC=2CD.可以得出BC=12证法二:延长BC到D,使BD=AB,连接AD.在△ABC中,∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠B=60°.∴△ABD是等边三角形.又∵AC⊥BD,∴BC=12∴BC=12点拨:倍长法就是延长得到的线段是原线段的正整数倍,即1倍、2倍等.证法三:在BA上截取BE=BC,连接EC.∵∠B=60°,BE=BC,∴△BCE是等边三角形.∴∠BEC=60°,BE=EC.∵∠A=30°,∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°=30°.∴AE=EC.∴AE=BE=BC.∴AB=AE+BE=2BC.∴BC=12点拨:在证明中,在较长的线段上截取一条线段等于较短的线段的方法就是截半法.设计意图:通过开放性问题的设置给学生提供足够的思考空间,拓宽学生的思路,体会多种方法证明的过程,开阔学生视野,培养学生发散性思维,提升学生的能力.归纳总结含30°角的直角三角形的性质:文字语言:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.符号语言:如图,∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∴BC=12AB即设计意图:通过证明验证结论,归纳概括为定理,培养学生抽象能力.本环节通过文字语言、符号语言、图形语言三种形式表述定理,培养学生三种语言的相互转化能力和用数学语言表达问题的能力.典例精讲例1如图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC,DE垂直于横梁AC,AB=7.4m,∠A=30°.立柱BC,DE要多长?分析:找到两个基本条件(直角三角形,30°角)是根本.解:∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°,∴BC=12AB,DE=1∴BC=12×7.4=3.7(m)又∵点D是AB的中点,∴AD=12AB=12×7.4=3.∴DE=12AD=12×3.7=1.故立柱BC长3.7m,DE长1.85m.例2已知等腰三角形的底角为15°,腰长为2a.求腰上的高.分析:通过三角形的外角和定理找到30°角.解:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=15°.∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=30°.∵CD是腰AB上的高,∴△ACD是直角三角形.∴在Rt△ACD中,AC=2a,∠DAC=30°,∴CD=12AC=设计意图:使学生熟练掌握等腰三角形的性质,在解题过程中根据文字语言写图形语言和符号语言,培养几何转化能力.巩固训练1.在△ABC中,AB=AC,∠C=30°,DA⊥BA于点A,BD=6cm,则AD=3cm.

第1题图第2题图第3题图2.如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA交OB于点C,PD⊥OA于点D,若PC=3,则PD等于(C)A.3B.2C.1.5D.13.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,D是BC的中点,DE⊥AC.则ABAE=41.

4.(双垂直结构)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD⊥AB,AB=4.则BC=2,BD=1.

5.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=2∠A,∠B和∠A各是多少度?边AB与BC之间有什么关系?解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=2∠A,∴∠B=60°,∠A=30°.∴BC=126.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,EF为AB的垂直平分线,EF交BC于点F,交AB于点E,BF=5cm,求CF的长.解:∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°.∵EF为AB的垂直平分线∴∠B=∠BAF=30°.∴BF=AF=5,∠AFC=60°.∴∠FAC=90°.∴AF=12∴CF=2AF=2BF=2×5=10(cm).设计意图:通过巩固训练,培养学生知识体系的形成,提升学生学数学、用数学的能力,增强其应用意识和创新意识.课堂小结1.谈谈今天的收获.2.教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容,并请学生回答以下问题:(1)本节课学习了哪些主要内容?(2)我们是怎么探究含30°的直角三角形的性质的?(3)含30°的直角三角形的性质的作用?(4)本节课你学到了哪些方法?设计意图:通过小结,引导学生从知识内容和学习过程及研究方法多方面总结自己的收获,掌握几何直观和模型观念,提升知识转化和迁移能力.课堂8分钟.1.教材第83页习题13.3第14,15题.2.七彩作业.

教学反思

课时目标1.能利用轴对称和平移解决简单的最短路径问题,培养学生从实际问题抽象出熟悉模型的能力,增强应用意识.2.体会图形的变换在解决最值问题中的作用,培养学生几何直观和模型观念.3.通过解决问题感悟转化思想,进一步获得数学活动的经验,增强数学的应用意识.学习重点1.利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题.2.利用轴对称和平移将造桥选址问题转化为“两点之间,线段最短”问题.学习难点最短路径问题的解决思路及证明方法.课时活动设计情境引入1.如图,连接A,B两点的所有线中,哪条最短?为什么?解:②最短,因为两点之间,线段最短.2.如图,点P是直线l外一点,点P与该直线l上各点连接的所有线段中,哪条最短?为什么?解:PC最短,因为垂线段最短.3.以前还学习过哪些有关线段大小的结论?解:三角形三边关系:两边之和大于第三边;斜边大于直角边