广东省2024高考数学学业水平合格考试总复习学业达标集训解三角形含解析

PAGE解三角形一、选择题1．在△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，下列等式中总能成立的是()A．asinA＝bsinB B．bsinC＝csinAC．absinC＝bcsinB D．asinC＝csinAD[由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得asinC＝csinA．]2．在△ABC中，已知a＝2，则bcosC＋ccosB等于()A．1 B．eq\r(2)C．2 D．4C[bcosC＋ccosB＝b·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＋c·eq\f(c2＋a2－b2,2ca)＝eq\f(2a2,2a)＝a＝2.]3．在△ABC中，A＞B，则下列不等式中不肯定正确的是()A．sinA＞sinB B．cosA＜cosBC．sin2A＞sin2B D．cos2AC[A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB，A正确．由于(0，π)上，y＝cosx单调递减，∴cosA＜cosB，B正确．∵sinA＞sinB＞0，∴sin2A＞sin2B,1－2sin2A<1－2sin2∴cos2A＜cos2B，D正确．4．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形态为()A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．不确定A[∵bcosC＋ccosB＝asinA，∴sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)＝sinA＝sin2A∵sinA≠0，∴sinA＝1，A＝eq\f(π,2)，故△ABC为直角三角形，故选A．]5．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cosBA．eq\f(1,4) B．eq\f(3,4)C．eq\f(\r(2),4) D．eq\f(\r(2),3)B[∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，∴cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋4a2－2a2,2a·2a)＝eq\f(3,4).]6．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶3，则cosC的值为()A．eq\f(1,3) B．－eq\f(2,3)C．eq\f(1,4) D．－eq\f(1,4)A[∵在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶3，∴a∶b∶c＝3∶2∶3，设a＝3k，b＝2k，c＝3k，则cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(9k2＋4k2－9k2,12k2)＝eq\f(1,3).]7．已知△ABC的面积S＝a2－(b2＋c2)，则cosA等于()A．－4 B．eq\f(\r(17),17)C．±eq\f(\r(17),17) D．－eq\f(\r(17),17)D[∵cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，面积S＝eq\f(1,2)bcsinA＝a2－(b2＋c2)，∴eq\f(1,2)bcsinA＝－2bccosA，∴sinA＝－4cosA，又sin2A＋cos2A＝1，联立解得cosA＝－eq\f(\r(17),17).]8．已知甲、乙两地距丙地的距离均为100km，且甲地在丙地的北偏东20°处，乙地在丙地的南偏东40°处，则甲乙两地的距离为()A．100km B．200kmC．100eq\r(2)km D．100eq\r(3)kmD[由题意，如图所示，OA＝OB＝100km，∠AOB＝120°，∴甲乙两地的距离为AB＝eq\r(1002＋1002－2×100×100×cos120°)＝100eq\r(3)km，故选D．]9．在△ABC中，B＝30°，AB＝2eq\r(3)，AC＝2，那么△ABC的面积是()A．2eq\r(3) B．eq\r(3)C．2eq\r(3)或4eq\r(3) D．eq\r(3)或2eq\r(3)D[由c＝AB＝2eq\r(3)，b＝AC＝2，B＝30°，依据正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得sinC＝eq\f(csinB,b)＝eq\f(2\r(3)×\f(1,2),2)＝eq\f(\r(3),2).∵∠C为三角形的内角，∴∠C＝60°或120°，∴∠A＝90°或30°.在△ABC中，由c＝2eq\r(3)，b＝2，∠A＝90°或30°，则△ABC面积S＝eq\f(1,2)bcsinA＝2eq\r(3)或eq\r(3).故选D．]10．在△ABC中，cos2eq\f(B,2)＝eq\f(a＋c,2c)，则△ABC是()A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形B[∵cos2eq\f(B,2)＝eq\f(a＋c,2c)，∴eq\f(cosB＋1,2)＝eq\f(a＋c,2c)，∴cosB＝eq\f(a,c)，∴eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a,c)，∴a2＋c2－b2＝2a2，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．11．一角槽的横断面如图所示，四边形ADEB是矩形，且α＝50°，β＝70°，AC＝90mm，BC＝150mm，则DE的长等于()A．210mm B．200mmC．198mm D．171mmA[∠ACB＝70°＋50°＝120°，AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos∠ACB＝902＋1502－2×90×150×cos120°＝44100，AB＝210，即DE＝210mm.]12．在△ABC中，B＝eq\f(π,4)，BC边上的高等于eq\f(1,3)BC，则sinA＝()A．eq\f(3,10) B．eq\f(\r(10),10)C．eq\f(\r(5),5) D．eq\f(3\r(10),10)D[利用勾股定理及三角形的面积公式求解．如图，AD为△ABC中BC边上的高．设BC＝a，由题意知AD＝eq\f(1,3)BC＝eq\f(1,3)a，B＝eq\f(π,4)，易知BD＝AD＝eq\f(1,3)a，DC＝eq\f(2,3)a.在Rt△ABD中，由勾股定理得，AB＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a))eq\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a))eq\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),3)a.同理，在Rt△ACD中，AC＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a))eq\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a))eq\s\up12(2))＝eq\f(\r(5),3)a.∵S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC·sin∠BAC＝eq\f(1,2)BC·AD，∴eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),3)a×eq\f(\r(5),3)a·sin∠BAC＝eq\f(1,2)a·eq\f(1,3)a，∴sin∠BAC＝eq\f(3,\r(10))＝eq\f(3\r(10),10).]13．已知在△ABC中，sinA＋sinB＝sinC(cosA＋cosB)，则△ABC的形态是()A．锐角三角形 B．钝角三角形C．等腰三角形 D．直角三角形D[由正弦定理和余弦定理得a＋b＝ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b2＋c2－a2,2bc)＋\f(a2＋c2－b2,2ac)))，即2a2b＋2ab2＝ab2＋ac2－a3＋a2b＋bc2－b3，∴a2b＋ab2＋a3＋b3＝ac2＋bc2，∴(a＋b)(a2＋b2)＝(a＋b)c2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形，故选D．]14．在△ABC中，A∶B＝1∶2，∠ACB的平分线CD把△ABC的面积分成3∶2两部分，则cosA等于()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,4) D．0C[∵CD为∠ACB的平分线，∴D到AC与D到BC的距离相等，∴△ACD中AC边上的高与△BCD中BC边上的高相等．∵S△ACD∶S△BCD＝3∶2，∴eq\f(AC,BC)＝eq\f(3,2).由正弦定理eq\f(sinB,sinA)＝eq\f(3,2)，又∵B＝2A，∴eq\f(sin2A,sinA)＝eq\f(3,2)，即eq\f(2sinAcosA,sinA)＝eq\f(3,2)，∴cosA＝eq\f(3,4).]15.如图，在坡度肯定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B后，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cosθ＝()A．2eq\r(3)＋1 B．2eq\r(3)－1C．eq\r(3)－1 D．eq\r(3)＋1C[在△ABC中，BC＝eq\f(ABsin∠BAC,sin∠ACB)＝eq\f(100sin15°,sin45°－15°)＝50(eq\r(6)－eq\r(2))，在△BCD中，sin∠BDC＝eq\f(BCsin∠CBD,CD)＝eq\f(50\r(6)－\r(2)sin45°,50)＝eq\r(3)－1，又∵cosθ＝sin∠BDC，∴cosθ＝eq\r(3)－1.]二、填空题16．在△ABC中，A＝eq\f(2π,3)，a＝eq\r(3)c，则eq\f(b,c)＝.1[在△ABC中，A＝eq\f(2π,3)，a＝eq\r(3)c，由正弦定理可得：eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，eq\f(\r(3)c,sin\f(2π,3))＝eq\f(c,sinC)，sinC＝eq\f(1,2)，由于c<a，且C∈(0，π)．故C＝eq\f(π,6)，则B＝π－eq\f(2π,3)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,6).三角形是等腰三角形，B＝C，则b＝c，则eq\f(b,c)＝1.]17．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝eq\f(π,3)，则△ABC的面积是．eq\f(3\r(3),2)[由c2＝(a－b)2＋6，可得c2＝a2＋b2－2ab＋6，由余弦定理：c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab，所以：a2＋b2－2ab＋6＝a2＋b2－ab，所以ab＝6；所以S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×6×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2).]18.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝eq\r(6)，c＝3，则A＝.75°[由正弦定理，得sinB＝eq\f(bsinC,c)＝eq\f(\r(6)×\f(\r(3),2),3)＝eq\f(\r(2),2)，结合b<c可得B＝45°，则A＝180°－B－C＝75°.]19．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且acosB－bcosA＝eq\f(3,5)c，则eq\f(tanA,tanB)的值为．4[由acosB－bcosA＝eq\f(3,5)c及正弦定理可得sinAcosB－sinBcosA＝eq\f(3,5)sinC，即sinAcosB－sinBcosA＝eq\f(3,5)sin(A＋B)，即5(sinAcosB－sinBcosA)＝3(sinAcosB＋sinBcosA)，即sinAcosB＝4sinBcosA，因此tanA＝4tanB，所以eq\f(tanA,tanB)＝4.]三、解答题20．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq\f(sinA,a)＝eq\f(\r(3)cosC,c).(1)求C的大小；(2)假如a＋b＝6，eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝4，求c的值．[解](1)由正弦定理，eq\f(sinA,a)＝eq\f(\r(3)cosC,c)可化为eq\f(sinA,2RsinA)＝eq\f(\r(3)cosC,2RsinC)，即tanC＝eq\r(3).又∵C∈(0，π)，∴C＝eq\f(π,3).(2)eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝|eq\o(CA,\s\up6(→))||eq\o(CB,\s\up6(→))|cosC＝abcosC＝4，且cosC＝coseq\f(π,3)