(四)整式的乘法与因式分解

期末整体复习提优专题复习提优(四)整式的乘法与因式分解

一、幂的运算例1.下列计算正确的是(

C

)A.

a4÷

a5＝

a9B.

a3·

a4＝

a12C.

(－

a2)4＝

a8D.

(－2

a2)3＝－6

a6

正确识别各个选项的幂的运算类别，然后根据相应运算法则进行计算判

断.C二、整式的运算及求值例2.已知(2

x2＋

mx

－

n

)(

x

－1)展开的结果中，不含

x2和

x

项.(

m

，

n

为常数)(1)求

m

，

n

的值；解：(1)原式＝2

x3－2

x2＋

mx2－

mx

－

nx

＋

n

＝2

x3＋(

m

－2)

x2－(

m

＋

n

)

x

＋

n

.∵(2

x2＋

mx

－

n

)(

x

－1)展开的结果中，不含

x2和

x

项，∴

m

－2＝0，

m

＋

n

＝0，∴

m

＝2，

n

＝－2.(2)在(1)的条件下，求(

m

－

n

)(

m2＋

mn

＋

n2)的值.解：(2)(

m

－

n

)(

m2＋

mn

＋

n2)＝

m3＋

m2

n

＋

mn2－

m2

n

－

mn2－

n3＝

m3－

n3.把

m

＝2，

n

＝－2代入，得原式＝23－(－2)3＝8－(－8)＝16.

(1)先根据多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项，然后根据题意

得出关于

m

，

n

的方程，解之即可求解；(2)先根据多项式乘多项式运算法则化简后，再代入

m

，

n

值计算即可.三、乘法公式例3.(2024运城盐池期末)化简：(2

x

＋3)2－(2

x

＋3)(2

x

－3).解：原式＝(2

x

＋3)2－(4

x2－9)＝4

x2＋12

x

＋9－4

x2＋9＝12

x

＋18.

正确利用完全平方公式和平方差公式计算即可.四、因式分解例4.(1)(2023常州中考)分解因式：

x2

y

－4

y

＝

⁠.(2)(2023怀化中考)分解因式：2

x2－4

x

＋2＝

⁠.

先提公因式，再运用公式法分解因式，注意分解要彻底.y

(

x

＋2)(

x

－2)

2(

x

－1)2

一、选择题1.

下列计算正确的是(

B

)A.

3

x3·2

x2

y

＝6

x5B.

2

a2·3

a3＝6

a5C.

(－2

x

)·(－5

x2

y

)＝－10

x3

y

D.

(－2

xy

)·(－3

x2

y

)＝6

x3

y

B123456789101112131415161718192.

下列因式分解正确的是(

D

)A.

x2－4＝(

x

＋4)(

x

－4)B.

x2＋2

x

＋1＝

x

(

x

＋2)＋1C.

3

mx

－6

my

＝3

m

(

x

－6

y

)D.

x2

y

－

y3＝

y

(

x

＋

y

)(

x

－

y

)D123456789101112131415161718193.

(2024南昌期末)若

x2＋

kx

＋25是完全平方式，则

k

的值是(

D

)A.

－10B.

10C.

5D.

10或－10D123456789101112131415161718194.

计算

a2(

a

＋1)－

a

(

a2－2

a

－1)的结果为(

C

)A.

－

a2－

a

B.

2

a2＋

a

＋1C.

3

a2＋

a

D.

3

a2－

a

C123456789101112131415161718195.

如图，方形网格能验证下列哪个选项中的等式成立(

D

)A.

(

a

＋

b

＋

c

)2＝

a2＋

b2＋

c2B.

(

a

＋

b

＋

c

)2＝

a2＋

b2＋

c2＋2

abc

C.

(

a

＋

b

＋

c

)2＝

a2＋

b2＋

c2＋

ab

＋

bc

＋

ac

D.

(

a

＋

b

＋

c

)2＝

a2＋

b2＋

c2＋2

ab

＋2

bc

＋2

ac

D12345678910111213141516171819

A.

6B.

12C.

36D.

72C123456789101112131415161718197.

若

a

＋

b

＝3，

x

＋

y

＝1，则

a2＋2

ab

＋

b2－

x

－

y

＋2

023的值是(

D

)A.

0B.

2

023C.

2

027D.

2

031D123456789101112131415161718198.

如图，点

C

是线段

BG

上的一点，以

BC

，

CG

为边向两边作正方形，面积分别是

S1和

S2，两正方形的面积和

S1＋

S2＝40.已知

BG

＝8，则图中阴影部分的面积为

(

A

)A.

6B.

8C.

10D.

12A12345678910111213141516171819二、填空题9.

(2024珠海金湾区期末)计算：－12＋(π－3.14)0＝

⁠.10.

多项式

x2＋

mx

＋6因式分解得(

x

－2)(

x

＋

n

)，则

m

＝

⁠.11.

已知(

x2＋

mx

－3)(2

x

＋

n

)的展开式中不含

x

的一次项，常数项是－6，则

mn

的

值为

⁠.0

－5

6

12345678910111213141516171819

±3或1

16

25

20

12345678910111213141516171819三、解答题16.

(1)计算：3

a3

b2÷

a2＋

b

·(

a2

b

－3

ab

)；解：原式＝3

ab2＋

a2

b2－3

ab2＝

a2

b2.

1234567891011121314151617181917.

(1)若

a

＝

b

＋2，求代数式

a2－2

ab

＋

b2的值；解：∵

a

＝

b

＋2，∴

a

－

b

＝2，∴

a2－2

ab

＋

b2＝(

a

－

b

)2＝22＝4.(2)已知

a

，

b

满足

ab

＝3，

a

－

b

＝2，求

a2

b3－

a3

b2的值；解：∵

ab

＝3，

a

－

b

＝2，∴

a2

b3－

a3

b2＝

a2

b2(

b

－

a

)＝－(

a

－

b

)·(

ab

)2＝－2×32＝－18.(3)长和宽分别为

a

，

b

的长方形的周长为14，面积为10，求

a2

b

＋

ab2的值.解：∵长和宽分别为

a

，

b

的长方形的周长为14，面积为10，∴2(

a

＋

b

)＝14，

ab

＝10，∴

a

＋

b

＝7，∴

a2

b

＋

ab2＝

ab

(

a

＋

b

)＝10×7＝70.1234567891011121314151617181918.

(1)如图1，若大正方形的边长为

a

，小正方形的边长为

b

，则阴影部分的面积

是

；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个长方形，则

它的长为

，宽为

，面积为

⁠；(2)由(1)可以得到一个公式：

⁠；a2－

b2

a

＋

b

a

－

b

(

a

＋

b

)(

a

－

b

)

(

a

＋

b

)(

a

－

b

)＝

a2－

b2

12345678910111213141516171819(3)利用你得到的公式计算：2

0222－2

024×2

020.解：2

0222－2

024×2

020＝2

0222－(2

022＋2)(2

022－2)＝2

0222－(2

0222－4)＝2

0222－2

0222＋4＝4.1234567891011121314151617181919.

提供示例支架【问题情境】我们知道形如

a2±2

ab

＋

b2的式子称为完

全平方式.对于一些不是完全平方式的多项式，我们可做如下变形：先添加一个适

当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方

法叫做配方法.配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不

能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最

小值等问题.12345678910111213141516171819例如：分解因式

x2－2

x

－3.解：原式＝

x2－2

x

＋1－1－3＝(

x2－2

x

＋1)－4＝(

x

－1)2－4＝(

x

－1＋2)(

x

－1－2)

＝(

x

＋1)(

x

－3).例如：求

x2＋4

x

＋6的最小值.解：原式＝

x2＋4

x

＋4－4＋6＝(

x2＋4

x

＋4)＋2＝(

x

＋2)2＋2.∵(

x

＋2)2≥0，∴当

x

＝－2时，

x2＋4

x

＋6有最小值2.12345678910111213141516171819【解决问