2020-2024年五年高考数学真题分类汇编专题08 直线、圆与圆锥曲线（解析版）

2020-2024年五年高考真题分类汇编PAGEPAGE1专题08直线、圆与圆锥曲线考点五年考情（2020-2024）命题趋势考点1点到直线的距离（5年1考）2024天津卷：求点到直线的距离由标准方程确定圆心和半径根据抛物线方程求焦点或准线；1.直线在高考的考查主要包含了，直线的方程，点到直线的距离等。2.圆在高考的考查主要包含了，圆的方程，圆的弦长，切线问题等。3.圆锥曲线在高考的考查主要包含了，椭圆、双曲线与抛物线的标准方程，椭圆与双曲线的离心率，以及圆锥曲线的综合问题。考点2直线与圆弦长问题（5年4考）2023天津卷：由直线与圆的位置关系求参数求直线与抛物线相交所得弦的弦长；2022天津卷：已知圆的弦长求方程或参数；2021天津卷：切线长已知切线求参数；2020天津卷：已知圆的弦长求方程或参数；考点3双曲线标准方程（5年3考）2024天津卷：根据a、b、c求双曲线的标准方程；2023天津卷：求点到直线的距离根据a、b、c求双曲线的标准方程根据双曲线的渐近线求标准方程；2020天津卷：根据双曲线的渐近线求标准方程；考点4双曲线离心率（5年1考）2021天津卷：已知方程求双曲线的渐近线求双曲线的离心率或离心率的取值范围根据抛物线方程求焦点或准线双曲线中的通径问题；考点5抛物线标准方程（5年1考）2022天津卷：根据a、b、c求双曲线的标准方程已知方程求双曲线的渐近线根据抛物线方程求焦点或准线；考点6椭圆综合（5年5考）2024天津卷：根据a、b、c求椭圆标准方程根据离心率求椭圆的标准方程求椭圆中的参数及范围；2023天津卷：根据a、b、c求椭圆标准方程:求椭圆的离心率或离心率的取值范围椭圆中三角形(四边形)的面积根据韦达定理求参数；2022天津卷：根据a、b、c求椭圆标准方程求椭圆的离心率或离心率的取值范围求椭圆的切线方程椭圆中三角形(四边形)的面积；2021天津卷：根据a、b、c求椭圆标准方程求椭圆的切线方程；2020天津卷：讨论椭圆与直线的位置关系；考点01点到直线的距离1．（2024·天津·高考真题）圆(x-1)2+y2=25的圆心与抛物线y2=2px(p>0)的焦点F重合，【答案】45/〖祥解〗先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A及AF的方程，从而可求原点到直线AF的距离.【详析】圆(x-1)2+y2=25的圆心为F由x-12+y2=25y2故A4,±4，故直线AF:y=±43x-1即故原点到直线AF的距离为d=4故答案为：4考点02直线与圆弦长问题2．（2022·天津·高考真题）若直线x-y+m=0m>0被圆x-12+y-12=3截得的弦长为m【答案】2〖祥解〗计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于m的等式，即可解得m的值.【详析】圆x-12+y-12=3圆心到直线x-y+m=0m>0的距离为1-1+m由勾股定理可得m22+m2故答案为：2.3．（2021·天津·高考真题）若斜率为3的直线与y轴交于点A，与圆x2+y-12=1相切于点B【答案】3〖祥解〗设直线AB的方程为y=3x+b，则点A0,b，利用直线AB与圆x2+y-12【详析】设直线AB的方程为y=3x+b，则点由于直线AB与圆x2+y-12=1则b-12=1，解得b=-1或b=3，所以因为BC=1，故AB故答案为：3.4．（2020·天津·高考真题）已知直线x-3y+8=0和圆x2+y2=r2(r>0)相交于【答案】5〖祥解〗根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d，进而利用弦长公式|AB|=2r2-【详析】因为圆心(0,0)到直线x-3y+8=0的距离由|AB|=2r2-d2故答案为：5．【『点石成金』】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题．考点03双曲线标准方程5．（2024·天津·高考真题）双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为FA．x28-y22=1 B．【答案】C〖祥解〗可利用△PF1F2三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设PF2=m【详析】如下图：由题可知，点P必落在第四象限，∠F1P∠PF2F1=因为∠F1PF2=90°，所以sinθ2=则由PF2=m由S△PF1则PF由双曲线第一定义可得：PF1-所以双曲线的方程为x2故选：C6．（2023·天津·高考真题）已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2A．x28-C．x24-【答案】D〖祥解〗先由点到直线的距离公式求出b，设∠POF2=θ，由tanθ=bOP=ba得到OP=a，OF【详析】如图，

因为F2c,0，不妨设渐近线方程为y=b所以PF所以b=2.设∠POF2=θ,则tanθ=P因为12ab=12c⋅yP,所以Pa因为F1所以kP所以2a2+2所以双曲线的方程为x故选：D7．（2022·天津·高考真题）已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，抛物线yA．x216-C．x24-【答案】D〖祥解〗由已知可得出c的值，求出点A的坐标，分析可得AF1=F1F2，由此可得出关于【详析】抛物线y2=45x的准线方程为x=-5，则c=不妨设点A为第二象限内的点，联立y=-baxx=-c，可得因为AF1⊥F1且AF1=F1所以，ba=2c=5c故选：D.8．（2020·天津·高考真题）设双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为lA．x24-y24=1 B．【答案】D〖祥解〗由抛物线的焦点1,0可求得直线l的方程为x+yb=1，即得直线的斜率为-b，再根据双曲线的渐近线的方程为y=±bax，可得【详析】由题可知，抛物线的焦点为1,0，所以直线l的方程为x+yb=1又双曲线的渐近线的方程为y=±bax，所以-b=-ba，-b×故选：D．【『点石成金』】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．考点04双曲线离心率9．（2021·天津·高考真题）已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于AA．2 B．3 C．2 D．3【答案】A〖祥解〗设公共焦点为(c,0)，进而可得准线为x=-c，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得a2=【详析】设双曲线x2a2-y则抛物线y2=2px(p>0)的准线为令x=-c，则c2a2-y又因为双曲线的渐近线方程为y=±bax所以2bca=22b所以双曲线的离心率e=c故选：A.考点05抛物线标准方程10．（2023·天津·高考真题）已知过原点O的一条直线l与圆C:(x+2)2+y2=3相切，且l与抛物线y2=2px(p>0)交于点【答案】6〖祥解〗根据圆x+22+y2=3和曲线y2=2px【详析】易知圆x+22+y2=3和曲线y2=2px所以2k1+k2=3，解得：k=3，由所以OP=2p3当k=-3故答案为：6．考点06椭圆综合11．（2024·天津·高考真题）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)椭圆的离心率e=(1)求椭圆方程．(2)过点0,-32的动直线与椭圆有两个交点P，Q．在y轴上是否存在点T使得【答案】(1)x(2)存在T0,t-3≤t≤32〖祥解〗（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.（2）设该直线方程为：y=kx-32，Px1,y1,Qx2,y【详析】（1）因为椭圆的离心率为e=12，故a=2c，b=3所以A-2c,0,B0,-故c=3，所以a=23，b=3，故椭圆方程为：（2）若过点0,-32的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：设Px1由3x2+4故Δ=144k而TP=故TP====3+2t因为TP⋅TQ≤0恒成立，故3+2t若过点0,-32的动直线的斜率不存在，则P0,3此时需-3≤t≤3，两者结合可得-3≤t≤3综上，存在T0,t-3≤t≤32【『点石成金』】思路『点石成金』：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.12．（2023·天津·高考真题）已知椭圆x2a2+y2b(1)求椭圆的方程和离心率；(2)点P在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线A2P交y轴于点Q，若三角形A1PQ的面积是三角形【答案】(1)椭圆的方程为x24+(2)y=±6〖祥解〗（1）由a+c=3a-c=1解得a=2,c=1，从而求出b=3（2）先设直线A2P的方程，与椭圆方程联立，消去y，再由韦达定理可得xA2⋅xP，从而得到P点和Q点坐标.由S△A2【详析】（1）如图，

由题意得a+c=3a-c=1，解得a=2,c=1，所以b=所以椭圆的方程为x24+（2）由题意得，直线A2P斜率存在，由椭圆的方程为x2设直线A2P的方程为联立方程组x24+y2由韦达定理得xA2⋅所以P8k2所以S△A2QA所以S△所以2yQ=3解得k=±62，所以直线A213．（2022·天津·高考真题）椭圆x2a2+y2b2=1(1)求椭圆的离心率e；(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于点N（N异于M）．记O为原点，若OM=ON，且△MON的面积为【答案】(1)e=(2)x〖祥解〗（1）根据已知条件可得出关于a、b的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；（2）由（1）可知椭圆的方程为x2+3y2=a2，设直线l的方程为y=kx+m，将直线l的方程与椭圆方程联立，由Δ=0【详析】（1）解：BFAB离心率为e=c（2）解：由（1）可知椭圆的方程为x2易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+m，联立y=kx+mx2+3由Δ=36kxM=-3km由OM=ON可得m由S△OMN=3可得联立①②③可得k2=13，m214．（2021·天津·高考真题）已知椭圆x2a2+y2b2=1（1）求椭圆的方程；（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若MP//BF，求直线【答案】（1）x25+y2〖祥解〗（1）求出a的值，结合c的值可得出b的值，进而可得出椭圆的方程；（2）设点Mx0,y0，分析出直线l的方程为x0x5+y0y=1，求出点P【详析】（1）易知点Fc,0、B0,b，故因为椭圆的离心率为e=ca=25因此，椭圆的方程为x2（2）设点Mx0,先证明直线MN的方程为x0联立x0x5+y0y=1因此，椭圆x25+y2在直线MN的方程中，令x=0，可得y=1y0，由题意可知y直线BF的斜率为kBF=-bc=-在直线PN的方程中，令y=0，可得x=-12y因为MP//BF，则kMP=k所以，x0=-5y0，因为x025所以，直线l的方程为-66x+【『点石成金』】结论『点石成金』：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：（1）设切线方程为y=kx+m与椭圆方程联立，由Δ=0进行求解；（2）椭圆x2a2+y2b2=1在其上一点15．（2020·天津·高考真题）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C满足3OC=OF，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB【答案】（Ⅰ）x218+y29=1〖祥解〗（Ⅰ）根据题意，并借助a2（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到CP⊥AB，设出直线AB的方程，并与椭圆方程联立，求出B点坐标，进而求出P点坐标，再根据CP⊥AB，求出直线AB的斜率，从而得解.【详析】（Ⅰ）∵椭圆x2a2∴b=3，由OA=OF，得又由a2=b所以，椭圆的方程为x2（Ⅱ）∵直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，所以CP⊥AB，根据题意可知，直线AB和直线CP的斜率均存在，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y+3=kx，即y=kx-3，y=kx-3x218+y29=1，消去将x=12k2k2+1所以，点B的坐标为12k2因为P为线段AB的中点，点A的坐标为0,-3，所以点P的坐标为6k2由3OC=OF，得点C所以，直线CP的斜率为kCP又因为CP⊥AB，所以k⋅3整理得2k2-3k+1=0，解得k=所以，直线AB的方程为y=12x-3【『点石成金』】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程.16．（2024·天津河西·二模）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点为F1、F2，O为坐标原点，过A．2 B．6 C．22 D．【答案】B〖祥解〗利用余弦定理构建齐次方程，求解离心率即可.【详析】由题意得F1(-c,0)，设一条渐近线的方程为所以MF1=因为MF1垂直于渐近线，所以因为MF2=3OM，所以在△MOF2中，由余弦定理得因为∠MOF1+∠MO化简得c2=6a2，所以c=6a故选：B17．（2024·天津和平·二模）已知抛物线C1：x2=32y的焦点为点F，双曲线C2:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为点F2，线段FFA．y=±433x B．y=±2x【答案】D〖祥解〗根据题意可知F0,324，F2【详析】抛物线C1：x2=32y∴FF2直线方程为x3联立x+22y-3=0x2=32y又线段FF2与C1在第一象限的交点为点M，∴M由y=x23∴C1在点M处的切线斜率为又C1在点M处的切线平行于C∴双曲线C2的一条渐近线的斜率为2∴双曲线C2的渐近线方程为y=±故选：D．18．（2024·天津和平·二模）过直线y=x上的点P作圆C：x+32+y-52=4的两条切线l1，l2，当直线l1，A．1,1 B．35,35 C．【答案】A〖祥解〗根据直线和圆的位置关系、两直线的交点等知识求得正确答案.【详析】圆C:x+32+直线l1,l2关于直线y=x对称时，所以直线CP的方程为y-5=-x+3由x+y-2=0y=x解得x=1y=1，所以故选：A.19．（2024·天津·二模）设双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点O的直线与双曲线C交于A．7 B．6 C．5 D．2【答案】B〖祥解〗由双曲线的对称性可得F1A=F2B【详析】由双曲线的对称性可知F1A=F2令F1A=由双曲线定义可知F2A-F1即F1A=则F=-8a即c2=6a2，故选：B【『点石成金』】方法『点石成金』：求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：一：求出a,c，代入公式e=c二：只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，结合b2=c2-a2转化为a,c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(20．（2024·天津南开·二模）已知双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2A．x23-C．x29-【答案】C〖祥解〗|AF2|=|F2F1【详析】因为|AF由双曲线的定义可知AF可得|AF由于过F2的直线斜率为24所以在等腰三角形AF1F2中，由余弦定理得：cos∠A化简得39c2-50ac-25a2=0，可得可得a:b=3:4，a2所以此双曲线的标准方程可能为：x2故选：C21．（2024·天津河北·二模）函数fx=x+1x被称为“对勾函数”，它可以由双曲线C:x2a2-y2A．y=±33xC．y=±2-3x【答案】B〖祥解〗由题意可得双曲线夹角为π4，再结合二倍角的正切公式求出ba【详析】因为直线x=0和直线y=x的夹角为π4由题意可得双曲线C:x2a而双曲线C:x2a所以tanπ则tanπ4=所以双曲线C的渐近线方程为y=±2故选：B.22．（2023·天津和平·三模）双曲线C1:x2a2-y2b2=1a>0,b>0与抛物线C2:y2=2pxp>0交于M，N两点，若抛物线C2与双曲线C1A．55 B．63 C．25【答案】C〖祥解〗设双曲线C1的两个焦点分别为(-c,0),(c,0)，抛物线C2的焦点为(p2,0)，设M(c,-2pc)，N(c,2pc)，M在双曲线上可得c2【详析】设双曲线C1的两个焦点分别为(-c,0),(c,0)，抛物线C2的焦点为由MN过C1的焦点，可设M(c,-2pc)又M在双曲线上，可得c2由y=±ba由PQ过C2可得2pa2b2=可得5-25pa则|PQ||MN|故选：C.23．（2024·天津河西·二模）已知抛物线y2=8x的焦点为F，圆C与直线3x-4y-12=0相切，且与圆x2+mx+y2=0相切于点F【答案】x+12+y〖祥解〗利用抛物线的性质得到F(2,0)，利用圆和圆的位置关系确定圆心坐标，再利用直线与圆相切建立方程，求解即可.【详析】由题意得F(2,0)，因为圆C与直线3x-4y-12=0相切，且与圆x2+mx+y2=0相切于点F得到4+2m=0，解得m=-2，所以圆方程为x2化为标准方程得到(x-1)2+y2=1所以圆C的圆心在x轴上，而圆C与圆x2当圆C与圆x2-2x+y2=0设圆心到直线的距离为d，由点到直线的距离公式得d=3(2-r)-12此时3(2-r)-125=r，解得r=3(负根舍去所以此时圆C的方程为x+12当圆C与圆x2-2x+y2=0设圆心到直线的距离为d，由点到直线的距离公式得d=3(2+r)-12此时3(2+r)-125=r，解得r=34所以此时圆C的方程为x-11故答案为：x+12+y24．（2024·天津南开·二模）过圆C：x2+y2=m上的点M1,3作圆C【答案】150°〖祥解〗根据两直线垂直和kOM=3得到直线l的斜率，从而得到【详析】由题意得，直线OM与直线l垂直，因为kOM=3，故l故l的倾斜角为150°故答案为：150°25．（2024·天津河北·二模）已知抛物线y2=8x上有一点A，且点A在第一象限，以A为圆心作圆，若该圆经过抛物线的顶点和焦点，那么这个圆的方程为【答案】x-1〖祥解〗依题设点A(t28,t)，t>0，由|AO|=|AF|【详析】设点A(t28,t)，则t>0，若抛物线的顶点为O(0,0)依题意，|AO|=|AF|,即t464+则圆的圆心为A(1,22)，半径为故这个圆的方程为：x-12故答案为：x-1226．（2024·天津北辰·三模）已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点.若AB是虚轴长的3倍，则该双曲线的一条渐近线为；若AF2，BF2【答案】y=3x（或y=-3〖祥解〗由题意可知：AB=2b2a.若AB是虚轴长的3倍，列式整理可得ba=3，即可得渐近线方程；若△PQ【详析】由题意可知：AB=2b若AB是虚轴长的3倍，则2b2a所以该双曲线的一条渐近线为y=3x（或由题意可知：AB∥PQ，且O为线段F1F2的中点，可知P,Q分别为A则AB=2可得AB+AF又因为点A在双曲线上，则AF2-可得b2a+b2则b2当且仅当a+1=5a+1，即所以b2a+1的最大值为故答案为：y=3x（或y=-327．（2024·天津北辰·三模）过抛物线y2=-2px(p>0)的焦点F作圆C：x-22+y2=4的两条切线，切点分别为M,N，若【答案】4〖祥解〗由抛物线的性质，结合直线与圆的位置关系求解．【详析】如图，过抛物线y2=－2px(p>0)的焦点F作圆C：x－22+则在直角三角形MCF中，∠CMF=π2，又C(2,0)，F-p2则sin∠MFC=MCCF，即22+p故答案为：4．28．（2024·天津滨海新·三模）已知圆C的圆心与抛物线x2=4y的焦点关于直线y=x对称，直线3x-4y+2=0与C相交于A,B两点，且AB=6，则圆C【答案】x-1〖祥解〗根据抛物线标准方程求出其焦点坐标，根据对称关系求出圆心坐标，根据垂径定理求出圆的半径即可得到答案.【详析】依题意可知抛物线的焦点为(0,1)，∵圆C的圆心与抛物线x2=4y的焦点关于直线∴圆心坐标为(1,0)，设圆的半径为r，圆心到直线3x-4y+2=0的距离为d，则d=3+2又∵AB=6，∴则圆C的标准方程为(x-1)故答案为：(x-1)29．（2024·天津·模拟预测）若直线l:y=2x与圆C:x2+y2-2x-7=0交于【答案】1255〖祥解〗先求出圆的圆心和半径，根据已知条件可得圆心到直线l的距离d，即可求解.【详析】由题意可得圆C的标准方程为x-12所以圆C的圆心为1,0，半径为22所以圆心1,0到直线l:y=2x的距离d=2×1-0所以AB=2故答案为：1230．（2024·天津武清·模拟预测）已知直线x+y-5=0与圆C：x2+y2-4x+2y-m2=0相交于A【答案】±〖祥解〗利用弦长公式和点到直线距离公式列方程求解即可.【详析】根据题意，圆x2即(x-2)2+(y+1)2=5+若AB=4，则圆心到直线l即AB的距离d=又由圆心到直线x+y-5=0的距离d=|2-1-5|则有1+m2=2故答案为：±731.（2024·天津河西·二模）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为22，左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y=kx+2k>0(1)求椭圆C的标准方程；(2)设P为x轴上一点，△PMN是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程及点P的坐标.【答案】(1)x(2)直线l方程为y=x+2，点P的坐标为-〖祥解〗（1）由△MNF2的周长借助椭圆的定义可求a，再结合椭圆的离心率求得c，进而求得椭圆（2）联立直线和椭圆的方程，表示出MN的中点Q的坐标，根据PQ⊥MN，表示出点P的坐标，再由PM⊥PN列出等式，求出k，即得解．【详析】（1）因为△MNF2的周长为MN+NF又椭圆C的离心率为22，即e=ca=∴b=a∴椭圆C的标准方程为x2

（2）设Mx1,y1，Nx2联立y=kx+2x24因为直线l与椭圆C交于M，N两点，故Δ>0，解得kx1+x则x0=-4k2k2+1，代入因为△PMN是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，∴PQ⊥MN，故kPQ⋅kMN=-1，即2由PM⊥PN，故kPM⋅k又y1=kx所以k2经计算，k2=1，因为k>0，所以k=1所以直线l的方程为y=x+2，点P的坐标为-2

32．（2024·天津和平·二模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1(1)求椭圆的离心率；(2)是否存在过原点O的直线l，使得直线l与椭圆在第三象限的交点为点C，且与直线AF交于点D，满足33FD=2【答案】(1)1(2)因此存在直线l:y=2〖祥解〗（1）根据椭圆的几何性质求解AB,AF，即可结合（2）联立方程可得C,D坐标，即可根据33FD=2CD【详析】（1）依题意，AFAB=a又因为a2=b（2）设直线l的方程为y=kx(k>0)，椭圆的方程为x24c设点Cx1,y1x解得x1=-23直线AF方程为y=-3设点Dxy=-3(x-c),y=kx.，联立方程组，解得x2又因为33设|CD|=λ|OD|，则有33即33|FD|=2λy2，所以所以|CD|=3|OD|，则有y1代入①②有-23ck由题意得k≠0，所以k=233【『点石成金』】方法『点石成金』：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情况，强化有关直线与曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．33．（2024·天津河北·二模）设椭圆E:x2a2+y2(1)求椭圆E的方程；(2)过点B且斜率为kk>0的直线与椭圆交于另一点P，过点B作与BP垂直的直线，交直线x=a于点Q，过点B作直线x=a的垂线，垂足为M，若∠BQP=∠BQM，求k的值【答案】(1)x(2)1〖祥解〗（1）由椭圆经过点3，12和长轴长是短轴长的2倍，得到a=2b（2）设直线BP的方程为y=kx+1，与椭圆方程联立，求得点P的横坐标，再由BQ⊥BP，设直线BQ的方程为y=-1kx+1.与直线x=2联立，求得Q的坐标，然后根据∠BQP=∠BQM，由tan∠BQP=【详析】（1）解：椭圆x2a2+y将点坐标代入方程，得34解得b∴椭圆的方程为x2（2）如图所示：∵B0，1，由题意可知，直线BP的斜率k∴直线BP的方程为y=kx+1.联立y=kx+1x24+y解得x=0或x=-8k∵点P与点B不同，∴xP∵BQ⊥BP，直线BQ的方程为y=-∵a=2，∴联立x=2y=-1∴Q2∵BM垂直于直线x=2，在直角△BQP和直角△BQM中，∠BQP=∠BQM∴tan即BP∵BP=1+BQ=1+MB=2，代入BP化简得4解得∣k∣=∵k>0，∴k的值为12【『点石成金』】思路『点石成金』：本题第二问的基本思路是根据点B坐标设出直线BP的方程，与椭圆方程联立，求得点P的坐标，再由BQ⊥BP，设直线BQ的方程，与直线x=2联立，求得Q的坐标，通过∠BQP=∠BQM，由BPBQ34．（2024·天津南开·二模）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(1)求椭圆C的方程；(2)过点P1,0的直线l与椭圆C交于A，B两点，过点A与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为Q.当△BPQ的面积取得最大值时，求直线l的方程【答案】(1)x(2)x±2y-1=0〖祥解〗（1）由椭圆焦点与顶点的坐标与离心率的定义计算即可得答案；（2）设出直线l的方程，联立曲线方程后可得与坐标有关的韦达定理表达式，结合三角形面积公式表示出面积后借助基本不等式计算即可得答案.【详析】（1）设椭圆C的焦距为2c，依题意，ca=32，解得a=4，b=2，c=23所以椭圆C的方程为x2（2）由题意可得直线l的斜率不为0，故可设直线l的方程为x=my+1，Ax1,y1，联立直线l与椭圆C的方程x=my+1x216由于直线过椭圆内一点，故必有Δ>0，则y又S△ABQ=1易知x2-x所以S==15当且仅当m=4m所以△BPQ面积的最大值为154，此时直线l的方程为x±2y-1=035．（2024·天津滨海新·三模）已知椭圆M：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为1(1)求椭圆M的标准方程；(2)设椭圆M的右顶点为C，P是椭圆M上不与顶点重合的动点．①若点P1,y0（y0>0），点D在椭圆M上且位于x轴下方，设△APC和△DPC的面积分别为S1，②若直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点N，设直线QN和直线QC的斜率为kQN，kQC，求证：【答案】(1)x2(2)①D1,-32；②〖祥解〗（1）根据已知条件，列出关于a，b，c的方程组即可求解；（2）①根据面积关系可得S△DPC=S△OPC，从而得OD∥PC，据此即可求解；②联立QC和AB的方程，求出Q点坐标，联立QC和椭圆方程，结合韦达定理求出P点坐标，求出【详析】（1）由题意得ca=121∴椭圆M的标准方程为x2（2）①由（1）可得C2,0，点P1,y0（y0连接PC，∵S1∴S△DPC∴OD∥PC，∴kOD∴直线OD的方程为y=-32x解得xD=1y∴D1,-②设直线QC的斜率为k，则直线QC的方程为：y=kx-2又B0,3，A-2,0，直线AB由y=kx-2y=3∴Q2由y=kx-2x2Δ=256则2xP=16则yP∴P8依题意B、P不重合，∴8k2-6≠0∴kBP∴直线BP的方程为y=-4令y=0，即-43k2∴N2∴k∴2k【『点石成金』】关键点『点石成金』：本题第二问第二小问的关键是采用设线法联立椭圆方程得到P8k2-636．（2024·天津北辰·三模）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，左､右焦点分别为F1，F(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线l：y=kx+m(m>0)与椭圆C交于P，Q两点，且P，Q关于原点的对称点分别为M，N，若OP2+OQ2是一个与m无关的常数，则当四边形PQMN【答案】(1)x(2)答案见解析〖祥解〗（1）由椭圆的性质及已知条件可得a，b，c的关系，从而可求出a，b，c的值，从而可得椭圆C的标准方程；（2）直线l方程与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，从而可表示出|OP|2+|OQ|2，由|OP|2+|OQ|2是一个与m无关的常数，可求出k的值，表示出四边形PQMN面积，求出当四边形PQMN面积最大时m的值，即可求解直线l的方程．【详析】（1）e=cS四边形A1因为a2＝b2+c2，所以a＝2，b=3，c＝1所以椭圆方程为x2（2）如图，设P（x1，y1），Q（x2，y2），OP=6+1联立y=kx+mx24+y23=1，消去y整理得（Δ＝（8km）2﹣4（4m2﹣12）（3+4k2）＞0，即m2＜3+4k2，所以x1+x2OP|=6+1因为|OP|2+|OQ|2是一个与m无关的常数，所以32k2﹣24＝0，k2=3x1+xPQ点O到直线l的距离dO所以S△POQ当且仅当6-m2=m2因为m＞0，所以m=3时，取得最大值为3因为S四边形MNPQ＝4S△POQ，所以S△POQ最大时，S四边形MNPQ最大，所以l：y=3专题08直线、圆与圆锥曲线考点五年考情（2020-2024）命题趋势考点1点到直线的距离（5年1考）2024天津卷：求点到直线的距离由标准方程确定圆心和半径根据抛物线方程求焦点或准线；1.直线在高考的考查主要包含了，直线的方程，点到直线的距离等。2.圆在高考的考查主要包含了，圆的方程，圆的弦长，切线问题等。3.圆锥曲线在高考的考查主要包含了，椭圆、双曲线与抛物线的标准方程，椭圆与双曲线的离心率，以及圆锥曲线的综合问题。考点2直线与圆弦长问题（5年4考）2023天津卷：由直线与圆的位置关系求参数求直线与抛物线相交所得弦的弦长；2022天津卷：已知圆的弦长求方程或参数；2021天津卷：切线长已知切线求参数；2020天津卷：已知圆的弦长求方程或参数；考点3双曲线标准方程（5年3考）2024天津卷：根据a、b、c求双曲线的标准方程；2023天津卷：求点到直线的距离根据a、b、c求双曲线的标准方程根据双曲线的渐近线求标准方程；2020天津卷：根据双曲线的渐近线求标准方程；考点4双曲线离心率（5年1考）2021天津卷：已知方程求双曲线的渐近线求双曲线的离心率或离心率的取值范围根据抛物线方程求焦点或准线双曲线中的通径问题；考点5抛物线标准方程（5年1考）2022天津卷：根据a、b、c求双曲线的标准方程已知方程求双曲线的渐近线根据抛物线方程求焦点或准线；考点6椭圆综合（5年5考）2024天津卷：根据a、b、c求椭圆标准方程根据离心率求椭圆的标准方程求椭圆中的参数及范围；2023天津卷：根据a、b、c求椭圆标准方程:求椭圆的离心率或离心率的取值范围椭圆中三角形(四边形)的面积根据韦达定理求参数；2022天津卷：根据a、b、c求椭圆标准方程求椭圆的离心率或离心率的取值范围求椭圆的切线方程椭圆中三角形(四边形)的面积；2021天津卷：根据a、b、c求椭圆标准方程求椭圆的切线方程；2020天津卷：讨论椭圆与直线的位置关系；考点01点到直线的距离1．（2024·天津·高考真题）圆(x-1)2+y2=25的圆心与抛物线y2=2px(p>0)的焦点F重合，【答案】45/〖祥解〗先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A及AF的方程，从而可求原点到直线AF的距离.【详析】圆(x-1)2+y2=25的圆心为F由x-12+y2=25y2故A4,±4，故直线AF:y=±43x-1即故原点到直线AF的距离为d=4故答案为：4考点02直线与圆弦长问题2．（2022·天津·高考真题）若直线x-y+m=0m>0被圆x-12+y-12=3截得的弦长为m【答案】2〖祥解〗计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于m的等式，即可解得m的值.【详析】圆x-12+y-12=3圆心到直线x-y+m=0m>0的距离为1-1+m由勾股定理可得m22+m2故答案为：2.3．（2021·天津·高考真题）若斜率为3的直线与y轴交于点A，与圆x2+y-12=1相切于点B【答案】3〖祥解〗设直线AB的方程为y=3x+b，则点A0,b，利用直线AB与圆x2+y-12【详析】设直线AB的方程为y=3x+b，则点由于直线AB与圆x2+y-12=1则b-12=1，解得b=-1或b=3，所以因为BC=1，故AB故答案为：3.4．（2020·天津·高考真题）已知直线x-3y+8=0和圆x2+y2=r2(r>0)相交于【答案】5〖祥解〗根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d，进而利用弦长公式|AB|=2r2-【详析】因为圆心(0,0)到直线x-3y+8=0的距离由|AB|=2r2-d2故答案为：5．【『点石成金』】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题．考点03双曲线标准方程5．（2024·天津·高考真题）双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为FA．x28-y22=1 B．【答案】C〖祥解〗可利用△PF1F2三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设PF2=m【详析】如下图：由题可知，点P必落在第四象限，∠F1P∠PF2F1=因为∠F1PF2=90°，所以sinθ2=则由PF2=m由S△PF1则PF由双曲线第一定义可得：PF1-所以双曲线的方程为x2故选：C6．（2023·天津·高考真题）已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2A．x28-C．x24-【答案】D〖祥解〗先由点到直线的距离公式求出b，设∠POF2=θ，由tanθ=bOP=ba得到OP=a，OF【详析】如图，

因为F2c,0，不妨设渐近线方程为y=b所以PF所以b=2.设∠POF2=θ,则tanθ=P因为12ab=12c⋅yP,所以Pa因为F1所以kP所以2a2+2所以双曲线的方程为x故选：D7．（2022·天津·高考真题）已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，抛物线yA．x216-C．x24-【答案】D〖祥解〗由已知可得出c的值，求出点A的坐标，分析可得AF1=F1F2，由此可得出关于【详析】抛物线y2=45x的准线方程为x=-5，则c=不妨设点A为第二象限内的点，联立y=-baxx=-c，可得因为AF1⊥F1且AF1=F1所以，ba=2c=5c故选：D.8．（2020·天津·高考真题）设双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为lA．x24-y24=1 B．【答案】D〖祥解〗由抛物线的焦点1,0可求得直线l的方程为x+yb=1，即得直线的斜率为-b，再根据双曲线的渐近线的方程为y=±bax，可得【详析】由题可知，抛物线的焦点为1,0，所以直线l的方程为x+yb=1又双曲线的渐近线的方程为y=±bax，所以-b=-ba，-b×故选：D．【『点石成金』】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．考点04双曲线离心率9．（2021·天津·高考真题）已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于AA．2 B．3 C．2 D．3【答案】A〖祥解〗设公共焦点为(c,0)，进而可得准线为x=-c，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得a2=【详析】设双曲线x2a2-y则抛物线y2=2px(p>0)的准线为令x=-c，则c2a2-y又因为双曲线的渐近线方程为y=±bax所以2bca=22b所以双曲线的离心率e=c故选：A.考点05抛物线标准方程10．（2023·天津·高考真题）已知过原点O的一条直线l与圆C:(x+2)2+y2=3相切，且l与抛物线y2=2px(p>0)交于点【答案】6〖祥解〗根据圆x+22+y2=3和曲线y2=2px【详析】易知圆x+22+y2=3和曲线y2=2px所以2k1+k2=3，解得：k=3，由所以OP=2p3当k=-3故答案为：6．考点06椭圆综合11．（2024·天津·高考真题）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)椭圆的离心率e=(1)求椭圆方程．(2)过点0,-32的动直线与椭圆有两个交点P，Q．在y轴上是否存在点T使得【答案】(1)x(2)存在T0,t-3≤t≤32〖祥解〗（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.（2）设该直线方程为：y=kx-32，Px1,y1,Qx2,y【详析】（1）因为椭圆的离心率为e=12，故a=2c，b=3所以A-2c,0,B0,-故c=3，所以a=23，b=3，故椭圆方程为：（2）若过点0,-32的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：设Px1由3x2+4故Δ=144k而TP=故TP====3+2t因为TP⋅TQ≤0恒成立，故3+2t若过点0,-32的动直线的斜率不存在，则P0,3此时需-3≤t≤3，两者结合可得-3≤t≤3综上，存在T0,t-3≤t≤32【『点石成金』】思路『点石成金』：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.12．（2023·天津·高考真题）已知椭圆x2a2+y2b(1)求椭圆的方程和离心率；(2)点P在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线A2P交y轴于点Q，若三角形A1PQ的面积是三角形【答案】(1)椭圆的方程为x24+(2)y=±6〖祥解〗（1）由a+c=3a-c=1解得a=2,c=1，从而求出b=3（2）先设直线A2P的方程，与椭圆方程联立，消去y，再由韦达定理可得xA2⋅xP，从而得到P点和Q点坐标.由S△A2【详析】（1）如图，

由题意得a+c=3a-c=1，解得a=2,c=1，所以b=所以椭圆的方程为x24+（2）由题意得，直线A2P斜率存在，由椭圆的方程为x2设直线A2P的方程为联立方程组x24+y2由韦达定理得xA2⋅所以P8k2所以S△A2QA所以S△所以2yQ=3解得k=±62，所以直线A213．（2022·天津·高考真题）椭圆x2a2+y2b2=1(1)求椭圆的离心率e；(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于点N（N异于M）．记O为原点，若OM=ON，且△MON的面积为【答案】(1)e=(2)x〖祥解〗（1）根据已知条件可得出关于a、b的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；（2）由（1）可知椭圆的方程为x2+3y2=a2，设直线l的方程为y=kx+m，将直线l的方程与椭圆方程联立，由Δ=0【详析】（1）解：BFAB离心率为e=c（2）解：由（1）可知椭圆的方程为x2易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+m，联立y=kx+mx2+3由Δ=36kxM=-3km由OM=ON可得m由S△OMN=3可得联立①②③可得k2=13，m214．（2021·天津·高考真题）已知椭圆x2a2+y2b2=1（1）求椭圆的方程；（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若MP//BF，求直线【答案】（1）x25+y2〖祥解〗（1）求出a的值，结合c的值可得出b的值，进而可得出椭圆的方程；（2）设点Mx0,y0，分析出直线l的方程为x0x5+y0y=1，求出点P【详析】（1）易知点Fc,0、B0,b，故因为椭圆的离心率为e=ca=25因此，椭圆的方程为x2（2）设点Mx0,先证明直线MN的方程为x0联立x0x5+y0y=1因此，椭圆x25+y2在直线MN的方程中，令x=0，可得y=1y0，由题意可知y直线BF的斜率为kBF=-bc=-在直线PN的方程中，令y=0，可得x=-12y因为MP//BF，则kMP=k所以，x0=-5y0，因为x025所以，直线l的方程为-66x+【『点石成金』】结论『点石成金』：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：（1）设切线方程为y=kx+m与椭圆方程联立，由Δ=0进行求解；（2）椭圆x2a2+y2b2=1在其上一点15．（2020·天津·高考真题）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C满足3OC=OF，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB【答案】（Ⅰ）x218+y29=1〖祥解〗（Ⅰ）根据题意，并借助a2（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到CP⊥AB，设出直线AB的方程，并与椭圆方程联立，求出B点坐标，进而求出P点坐标，再根据CP⊥AB，求出直线AB的斜率，从而得解.【详析】（Ⅰ）∵椭圆x2a2∴b=3，由OA=OF，得又由a2=b所以，椭圆的方程为x2（Ⅱ）∵直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，所以CP⊥AB，根据题意可知，直线AB和直线CP的斜率均存在，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y+3=kx，即y=kx-3，y=kx-3x218+y29=1，消去将x=12k2k2+1所以，点B的坐标为12k2因为P为线段AB的中点，点A的坐标为0,-3，所以点P的坐标为6k2由3OC=OF，得点C所以，直线CP的斜率为kCP又因为CP⊥AB，所以k⋅3整理得2k2-3k+1=0，解得k=所以，直线AB的方程为y=12x-3【『点石成金』】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程.16．（2024·天津河西·二模）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点为F1、F2，O为坐标原点，过A．2 B．6 C．22 D．【答案】B〖祥解〗利用余弦定理构建齐次方程，求解离心率即可.【详析】由题意得F1(-c,0)，设一条渐近线的方程为所以MF1=因为MF1垂直于渐近线，所以因为MF2=3OM，所以在△MOF2中，由余弦定理得因为∠MOF1+∠MO化简得c2=6a2，所以c=6a故选：B17．（2024·天津和平·二模）已知抛物线C1：x2=32y的焦点为点F，双曲线C2:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为点F2，线段FFA．y=±433x B．y=±2x【答案】D〖祥解〗根据题意可知F0,324，F2【详析】抛物线C1：x2=32y∴FF2直线方程为x3联立x+22y-3=0x2=32y又线段FF2与C1在第一象限的交点为点M，∴M由y=x23∴C1在点M处的切线斜率为又C1在点M处的切线平行于C∴双曲线C2的一条渐近线的斜率为2∴双曲线C2的渐近线方程为y=±故选：D．18．（2024·天津和平·二模）过直线y=x上的点P作圆C：x+32+y-52=4的两条切线l1，l2，当直线l1，A．1,1 B．35,35 C．【答案】A〖祥解〗根据直线和圆的位置关系、两直线的交点等知识求得正确答案.【详析】圆C:x+32+直线l1,l2关于直线y=x对称时，所以直线CP的方程为y-5=-x+3由x+y-2=0y=x解得x=1y=1，所以故选：A.19．（2024·天津·二模）设双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点O的直线与双曲线C交于A．7 B．6 C．5 D．2【答案】B〖祥解〗由双曲线的对称性可得F1A=F2B【详析】由双曲线的对称性可知F1A=F2令F1A=由双曲线定义可知F2A-F1即F1A=则F=-8a即c2=6a2，故选：B【『点石成金』】方法『点石成金』：求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：一：求出a,c，代入公式e=c二：只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，结合b2=c2-a2转化为a,c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(20．（2024·天津南开·二模）已知双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2A．x23-C．x29-【答案】C〖祥解〗|AF2|=|F2F1【详析】因为|AF由双曲线的定义可知AF可得|AF由于过F2的直线斜率为24所以在等腰三角形AF1F2中，由余弦定理得：cos∠A化简得39c2-50ac-25a2=0，可得可得a:b=3:4，a2所以此双曲线的标准方程可能为：x2故选：C21．（2024·天津河北·二模）函数fx=x+1x被称为“对勾函数”，它可以由双曲线C:x2a2-y2A．y=±33xC．y=±2-3x【答案】B〖祥解〗由题意可得双曲线夹角为π4，再结合二倍角的正切公式求出ba【详析】因为直线x=0和直线y=x的夹角为π4由题意可得双曲线C:x2a而双曲线C:x2a所以tanπ则tanπ4=所以双曲线C的渐近线方程为y=±2故选：B.22．（2023·天津和平·三模）双曲线C1:x2a2-y2b2=1a>0,b>0与抛物线C2:y2=2pxp>0交于M，N两点，若抛物线C2与双曲线C1A．55 B．63 C．25【答案】C〖祥解〗设双曲线C1的两个焦点分别为(-c,0),(c,0)，抛物线C2的焦点为(p2,0)，设M(c,-2pc)，N(c,2pc)，M在双曲线上可得c2【详析】设双曲线C1的两个焦点分别为(-c,0),(c,0)，抛物线C2的焦点为由MN过C1的焦点，可设M(c,-2pc)又M在双曲线上，可得c2由y=±ba由PQ过C2可得2pa2b2=可得5-25pa则|PQ||MN|故选：C.23．（2024·天津河西·二模）已知抛物线y2=8x的焦点为F，圆C与直线3x-4y-12=0相切，且与圆x2+mx+y2=0相切于点F【答案】x+12+y〖祥解〗利用抛物线的性质得到F(2,0)，利用圆和圆的位置关系确定圆心坐标，再利用直线与圆相切建立方程，求解即可.【详析】由题意得F(2,0)，因为圆C与直线3x-4y-12=0相切，且与圆x2+mx+y2=0相切于点F得到4+2m=0，解得m=-2，所以圆方程为x2化为标准方程得到(x-1)2+y2=1所以圆C的圆心在x轴上，而圆C与圆x2当圆C与圆x2-2x+y2=0设圆心到直线的距离为d，由点到直线的距离公式得d=3(2-r)-12此时3(2-r)-125=r，解得r=3(负根舍去所以此时圆C的方程为x+12当圆C与圆x2-2x+y2=0设圆心到直线的距离为d，由点到直线的距离公式得d=3(2+r)-12此时3(2+r)-125=r，解得r=34所以此时圆C的方程为x-11故答案为：x+12+y24．（2024·天津南开·二模）过圆C：x2+y2=m上的点M1,3作圆C【答案】150°〖祥解〗根据两直线垂直和kOM=3得到直线l的斜率，从而得到【详析】由题意得，直线OM与直线l垂直，因为kOM=3，故l故l的倾斜角为150°故答案为：150°25．（2024·天津河北·二模）已知抛物线y2=8x上有一点A，且点A在第一象限，以A为圆心作圆，若该圆经过抛物线的顶点和焦点，那么这个圆的方程为【答案】x-1〖祥解〗依题设点A(t28,t)，t>0，由|AO|=|AF|【详析】设点A(t28,t)，则t>0，若抛物线的顶点为O(0,0)依题意，|AO|=|AF|,即t464+则圆的圆心为A(1,22)，半径为故这个圆的方程为：x-12故答案为：x-1226．（2024·天津北辰·三模）已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点.若AB是虚轴长的3倍，则该双曲线的一条渐近线为；若AF2，BF2【答案】y=3x（或y=-3〖祥解〗由题意可知：AB=2b2a.若AB是虚轴长的3倍，列式整理可得ba=3，即可得渐近线方程；若△PQ【详析】由题意可知：AB=2b若AB是虚轴长的3倍，则2b2a所以该双曲线的一条渐近线为y=3x（或由题意可知：AB∥PQ，且O为线段F1F2的中点，可知P,Q分别为A则AB=2可得AB+AF又因为点A在双曲线上，则AF2-可得b2a+b2则b2当且仅当a+1=5a+1，即所以b2a+1的最大值为故答案为：y=3x（或y=-327．（2024·天津北辰·三模）过抛物线y2=-2px(p>0)的焦点F作圆C：x-22+y2=4的两条切线，切点分别为M,N，若【答案】4〖祥解〗由抛物线的性质，结合直线与圆的位置关系求解．【详析】如图，过抛物线y2=－2px(p>0)的焦点F作圆C：x－22+则在直角三角形MCF中，∠CMF=π2，又C(2,0)，F-p2则sin∠MFC=MCCF，即22+p故答案为：4．28．（2024·天津滨海新·三模）已知圆C的圆心与抛物线x2=4y的焦点关于直线y=x对称，直线3x-4y+2=0与C相交于A,B两点，且AB=6，则圆C【答案】x-1〖祥解〗根据抛物线标准方程求出其焦点坐标，根据对称关系求出圆心坐标，根据垂径定理求出圆的半径即可得到答案.【详析】依题意可知抛物线的焦点为(0,1)，∵圆C的圆心与抛物线x2=4y的焦点关于直线∴圆心坐标为(1,0)，设圆的半径为r，圆心到直线3x-4y+2=0的距离为d，则d=3+2又∵AB=6，∴则圆C的标准方程为(x-1)故答案为：(x-1)29．（2024·天津·模拟预测）若直线l:y=2x与圆C:x2+y2-2x-7=0交于【答案】1255〖祥解〗先求出圆的圆心和半径，根据已知条件可得圆心到直线l的距离d，即可求解.【详析】由题意可得圆C的标准方程为x-12所以圆C的圆心为1,0，半径为22所以圆心1,0到直线l:y=2x的距离d=2×1-0所以AB=2故答案为：1230．（2024·天津武清·模拟预测）已知直线x+y-5=0与圆C：x2+y2-4x+2y-m2=0相交于A【答案】±〖祥解〗利用弦长公式和点到直线距离公式列方程求解即可.【详析】根据题意，圆x2即(x-2)2+(y+1)2=5+若AB=4，则圆心到直线l即AB的距离d=又由圆心到直线x+y-5=0的距离d=|2-1-5|则有1+m2=2故答案为：±731.（2024·天津河西·二模）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为22，左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y=kx+2k>0(1)求椭圆C的标准方程；(2)设P为x轴上一点，△PMN是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程及点P的坐标.【答案】(1)x(2)直线l方程为y=x+2，点P的坐标为-〖祥解〗（1）由△MNF2的周长借助椭圆的定义可求a，再结合椭圆的离心率求得c，进而求得椭圆（2）联立直线和椭圆的方程，表示出MN的中点Q的坐标，根据PQ⊥MN，表示出点P的坐标，再由PM⊥PN列出等式，求出k，即得解．【详析】（1）因为△MNF2的周长为MN+NF又椭圆C的离心率为22，即e=ca=∴b=a∴椭圆C的标准方程为x2

（2）设Mx1,y1，Nx2联立y=kx+2x24因为直线l与椭圆C交于M，N两点，故Δ>0，解得kx1+x则x0=-4k2k2+1，代入因为△PMN是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，∴PQ⊥MN，故kPQ⋅kMN=-1，即2由PM⊥PN，故kPM⋅k又y1=kx所以k2经计算，k2=1，因为k>0，所以k=1所以直线l的方程为y=x+2，点P的坐标为-2

32．（2024·天津和平·二模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1(1)求椭圆的离心率；(2)是否存在过原点O的直线l，使得直线l与椭圆在第三象限的交点为点C，且与直线AF交于点D，满足33FD=2【答案】(1)1(2)因此存在直线l:y=2〖祥解〗（1）根据椭圆的几何性质求解AB,AF，即可结合（2）联立方程可得C,D坐标，即可根据33FD=2CD【详析】（1）依题意，AFAB=a又因为a2=b（2）设直线l的方程为y=kx(k>0)，椭圆的方程为x24c设点Cx1,y1x解得x1=-23直线AF方程为y=-3设点Dxy=-3(x-c),y=kx.，联立方程组，解得x2又因为33设|CD|=λ|OD|，则有33即33|FD|=2λy2，所以所以|CD|=3|OD|，则有y1代入①②有-23ck由题意得k≠0，所以k=233【『点石成金』】方法『点石成金』：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建