2.3从速度的倍数到向量的数乘课件高一下学期数学北师大版

第二章平面向量及其应用3从速度的倍数到向量的数乘高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI北师大版

数学

必修第二册目录索引基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升成果验收·课堂达标检测课程标准1.理解向量数乘运算的定义及几何意义.2.掌握向量数乘的运算律,能够用已知向量表示未知向量.3.掌握共线(平行)向量基本定理,会判断或证明两个向量共线.4.了解直线的向量表示,会证明三点共线.基础落实·必备知识全过关知识点一

向量的数乘运算1.向量的数乘的概念实数λ与向量a的乘积是一个向量,记作λa,满足以下条件:(1)当λ>0时,向量λa与向量a的方向相同;当λ<0时,向量λa与向量a的方向相反;当λ=0时,λa=0.

能使λa=0的情况还有λ∈R,a=0(2)|λa|=|λ||a|.这种运算称为向量的数乘.2.向量的数乘的几何意义如图,由实数与向量数乘λa的定义可以看出,它的几何意义是:当λ>0时,表示向量a的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的|λ|倍;当λ<0时,表示向量a的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍.3.单位向量由向量的数乘定义容易推出,在非零向量a方向上的单位向量是.名师点睛1.实数与向量可以进行数乘运算,其结果是一个向量,不是实数;但实数与向量不能进行加、减法运算,如λ+a,λ-a是错误的.2.对于任意非零向量a,向量

是与向量a方向相同的单位向量.向量-是与向量a方向相反的单位向量.过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)已知实数λ与向量a,则λ+a与λ-a的和是向量.(

)(2)对于非零向量a,向量-3a与向量a方向相反.(

)(3)对于非零向量a,向量-6a的模是向量3a的模的2倍.(

)2.已知向量a=-2e,b=e(e为单位向量),则向量a与向量b(

)A.不共线

B.方向相反C.方向相同

D.|a|>|b|×√√故向量a与向量b共线反向.故选B.B知识点二

数乘运算的运算律1.数乘运算的运算律设λ,μ为实数,a,b为向量,那么根据向量的数乘定义,可以得到以下运算律:(1)(λ+μ)a=λa+μa;(2)λ(μa)=(λμ)a;(3)λ(a+b)=λa+λb.2.向量的线性运算向量的加法、减法和数乘的综合运算,通常称为向量的线性运算(或线性组合).若一个向量c由向量a,b的线性运算得到,如c=2a+3b,则称向量c可以用向量a,b线性表示.名师点睛1.(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.2.对于任意向量a,b以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)向量的数乘运算不是线性运算.(

)(2)若x是未知向量,且3x-2(x-a)=0,则x=-2a.(

)(3)若λb=λa,则定有b=a.(

)(4)若λa-μa=0,则λ=μ.(

)×√××2.将[2(2a+8b)-4(4a-2b)]化简成最简式为(

)

A.2a-b B.2b-aC.a-b D.b-aB3.(多选)已知实数m,n和向量a,b,下列结论中正确的是(

)A.m(a-b)=ma-mbB.(m-n)a=ma-naC.若ma=mb,则a=bD.若ma=na(a≠0),则m=nABD解析

对于A选项,m(a-b)=ma-mb,A对;对于B选项,(m-n)a=ma-na,B对;对于C选项,若ma=mb,则m(a-b)=0,所以,m=0或a=b,C错;对于D选项,若ma=na(a≠0),则(m-n)a=0,所以,m-n=0,即m=n,D对.故选ABD.知识点三

共线(平行)向量基本定理

此条件不可缺少给定一个非零向量b,则对于任意向量a,a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ,使a=λb.名师点睛1.向量共线的条件:当向量b=0时,b与任意向量a共线.当b≠0时,对于任意向量a,如果存在一个实数λ,使a=λb,那么由向量数乘的定义知,a与b共线.反之,已知向量a与b共线,b≠0,且向量a的长度是向量b的长度的λ倍,即|a|=λ|b|,则当a与b同方向时,a=λb;当a与b反方向时,有a=-λb.2.已知A,B,C三点共线,O是平面内任意一点,则有

,其中λ+μ=1.3.如果非零向量a与b不共线,且λa=μb,那么λ=μ=0.过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)|λa|=λ|a|.(

)(2)若a=λb,则a与b共线.(

)(3)若向量a与b共线,则存在唯一的实数λ,使a=λb.(

)(4)若a=e1-e2,b=-2e1+2e2,则向量a与b是共线向量.(

)×√×√2.[人教A版教材例题改编]已知任意两个非零向量a,b,试作

.求证:A,B,C三点共线.3.共线(平行)向量基本定理中为什么规定b≠0?提示

当b=0时,显然b与a共线.(1)若a≠0,则不存在实数λ,使a=λb;(2)若a=0,则对任意实数λ,都有a=λb.知识点四

直线的向量表示

名师点睛

过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)直线的方向向量不唯一.(

)√√×重难探究·能力素养全提升探究点一数乘向量的定义及几何意义【例1】

(1)设a是非零向量,λ是非零实数,则下列结论正确的是(

)

A.a与-λa的方向相反

B.|-λa|≥|a|C.a与λ2a的方向相同

D.|-λa|=|λ|aC(2)点C是线段AB靠近点A的一个三等分点,则下列不正确的是(

)B规律方法

对向量数乘运算的三点说明(1)λa中的实数λ叫作向量a的系数.(2)向量数乘的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小.(3)当λ=0或a=0时,λa=0.注意是0,而不是0.探究点二向量的线性运算【例2】

(1)计算下列各式:①3(a-2b+c)-(2c+b-a);(2)设x,y是未知向量.①解方程5(x+a)+3(x-b)=0;规律方法

1.向量的数乘运算类似于多项式的代数运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在实数与向量的乘积中同样适用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.2.向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.变式训练2已知2a-b=m,a+3b=n,则a,b用m,n可以表示为a=

,b=

.

探究点三共线向量定理及其应用角度1.向量共线的判定【例3】

判断下列各小题中的向量a,b是否共线(其中e1,e2是两非零不共线向量).(1)a=5e1,b=-10e1;(3)a=e1+e2,b=3e1-3e2.解

(1)因为b=-2a,所以a与b共线.(2)因为a=b,所以a与b共线.(3)设a=λb,则e1+e2=λ(3e1-3e2),所以(1-3λ)e1+(1+3λ)e2=0.因为e1与e2是两个非零不共线向量,所以1-3λ=0,1+3λ=0.这样的λ不存在,因此a与b不共线.规律方法

向量共线的判定一般是用其判定定理,即给定一个非零向量b,若存在唯一一个实数λ,使得a=λb,则任意向量a与非零向量b共线.解题过程中,需要把两向量用共同的已知向量来表示,进而互相表示,由此判断共线.变式训练3已知向量e1,e2是两个共线向量,若a=e1-e2,b=2e1+2e2,求证:a∥b.证明

若e1=e2=0,则a=b=0,所以a与b共线,即a∥b;若e1,e2中至少有一个不为零向量,不妨设e1≠0,则e2=λe1(λ∈R),且a=(1-λ)e1,b=2(1+λ)e1,所以a∥e1,b∥e1.因为e1≠0,所以a∥b.综上可知,a∥b.角度2.用已知向量表示未知向量

C规律方法

用已知向量表示未知向量的方法

变式训练4角度3.证明三点共线问题

规律方法

1.证明三点共线,通常转化为证明由这三点构成的两个向量共线.两个向量共线的充要条件是解决向量共线问题的依据.2.若A,B,C三点共线,则向量

在同一直线上,因此必定存在实数,使得其中两个向量之间存在线性关系,而共线(平行)向量基本定理是实现线性关系的依据.(1)求证:A,B,M三点共线;(2)若点B在线段AM上,求实数λ的取值范围.角度4.求参问题

AC探究点四向量线性运算的综合应用角度1.求解三角形的面积比

D则C,O,D三点共线且点A,B到OC的距离相等,又因为OC边为公共边,所以△AOC与△BOC的面积相等.故选D.C角度2.解决三角形的四心问题

A.外心

B.内心 C.重心

D.垂心

BA.外心

B.重心 C.垂心

D.内心

B规律方法

1.三角形的内心:三角形内切圆的圆心、三角形三条角平分线的交点,内心到三角形三边的距离相等.3.三角形的垂心:三角形三条高线的交点.本节要点归纳1.知识清单:(1)向量的数乘及运算律;(2)共线(平行)向量基本定理;(3)三点共线的常用结论.2.方法归纳:数形结合、分类讨论.3.常见误区:(1)忽视零向量这一个特殊向量;(2)忽视共线向量基本定理中非零向量b这一必要条件.成果验收·课堂达标检测1234567891011121314A级必备知识基础练B1234567891011121314AC123456789101112131412345678910111213143.(多选)已知实数m,n和向量a,b,下列说法中正确的是(

)A.m(a-b)=ma-mbB.(m-n)a=ma-naC.若ma=mb,则a=bD.若ma=na(a≠0),则m=nABD解析

根据向量数乘的运算可知A和B正确;当m=0时,ma=mb=0,但a与b不一定相等,故C错误;由ma=na,得(m-n)a=0,因为a≠0,所以m=n,故D正确.故选ABD.12345678910111213144.下列各组向量中,一定能推出a∥b的是(

)①a=-3e,b=2e;A.① B.①②

C.②③ D.①②③B12345678910111213141234567891011121314A12345678910111213141234567891011121314123456789101112131441234567891011121314B级关键能力提升练D123456789101112131412345678910111213