1.2.1空间中的点直线与空间向量课件高二上学期数学人教B版选择性

空间中的点、直线与空间向量学习目标

1.了解空间点的位置向量与直线的方向向量.(数学抽象)2.理解空间两直线平行、异面、垂直的向量条件,理解空间两直线的夹角与向量的夹角的关系.(数学抽象、逻辑推理)3.理解公垂线段的概念并会求其长度.(直观想象、逻辑推理、数学运算)4.掌握用向量的方法证明两直线平行、垂直,求夹角问题.(直观想象、逻辑推理)教材认知·内化必备知识一、空间中的点与直线的向量表示1.空间中点的位置向量如果在空间中指定一点O,那么空间中任意一点P的位置,都可以由向量_____唯一确定,此时,

_____通常称为点P的位置向量.2.空间中直线的方向向量(1)定义:一般地,如果l是空间中的一条直线,v是空间中的一个非零向量,且表示v的有向线段所在的直线与l____________,则称v为直线l的一个方向向量.此时,也称向量v与直线l______,记作v∥l.平行或重合平行点睛

直线方向向量的特征(1)刻画直线上点的位置,可在数轴上借助轴上向量(或向量的坐标);刻画平面内点的位置,可在平面直角坐标系内借助平面向量(或向量的坐标);刻画空间中点的位置,可在空间直角坐标系内借助空间向量(或向量的坐标).(2)性质1体现了直线方向向量的存在性,性质2体现了直线方向向量的非零性和不唯一性,性质3给出确定直线位置的两个要素:直线的方向向量及直线上的一定点.(3)同一条直线的方向向量,由于它们的模不一定相等,所以,它们不一定相等;虽然这些方向向量都与直线平行,但它们的方向不一定相同,还可能相反.平行直线所有的方向向量都共线,且能相互表示.2.公垂线段:如果l1与l2是空间中两条异面直线,M∈l1,N∈l2,MN⊥l1,MN⊥l2,则称MN为l1与l2的公垂线段.点睛

(1)两条直线的夹角与两条直线的方向向量的夹角相等或者互补,即sinθ=sin<v1,v2>,cosθ=|cos<v1,v2>|.(2)用向量方法求两条直线所成的角时,若能建立空间直角坐标系,则相关向量可用坐标表示,通过向量坐标运算求解;若建系不方便,则可选用基向量表示其他向量,通过向量运算求解.(3)设v1,v2分别是空间中直线l1与l2的方向向量:①若l1与l2异面,则v1与v2的关系为v1与v2不平行;②若v1与v2不平行,则l1与l2的位置关系为相交或异面.即“v1与v2不平行”是“l1与l2异面”的必要不充分条件【质疑辨析】(1)空间中一条直线的方向向量是唯一的.(

)提示:空间中一条直线存在无数个方向向量.(2)空间中两直线所成的角就是两直线所在的方向向量的夹角.(

)提示:两直线所在向量的夹角与两直线的夹角可能相等,也可能互补.(3)与两条异面直线都垂直的直线与公垂线段不一样.(

)提示:与两条异面直线都垂直的直线有无数条,但公垂线段是唯一的,且两条异面直线间的距离也是两直线上任意两点连线的最小值.××√合作探究·形成关键能力类型一

空间中点的位置向量与直线的方向向量的确定(逻辑推理)[例1](1)(多选题)下列命题中真命题有(

)A.直线l的方向向量有无穷多个B.若两条直线平行,则它们的方向向量的方向相同或相反C.若向量a是直线l的一个方向向量,则向量ka也是直线l的一个方向向量D.两直线的方向向量平行,则两直线平行;两直线的方向向量垂直,则两直线垂直【解析】选AB.A,B选项,