中考衔接点13　乘法公式

中考衔接点13乘法公式中考早知道：利用提公因式法、公式法因式分解；利用因式分解进行简便运算；结

合因式分解的相关知识判定三角形的形状以及利用因式分解进行说理论证.

(教材P116例3改编)对多项式4－

x2进行因式分解，正确的是(

D

)A.

4－

x2＝(4＋

x

)(4－

x

)B.

4－

x2＝(

x

＋2)(

x

－2)C.

4－

x2＝(1＋2

x

)(1－2

x

)D.

4－

x2＝(2＋

x

)(2－

x

)D子题1.1(2024郑州期末)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是(

C

)A.

x2＋2

x

－1＝(

x

－1)2B.

(

a

＋

b

)(

a

－

b

)＝

a2－

b2C.

x2＋4

x

＋4＝(

x

＋2)2D.

ax

－

a

＋1＝

a

(

x

－1)＋1C子题1.2(2024商丘期末)若多项式

x2＋

mx

＋36因式分解的结果是(

x

－2)(

x

－18)，则

m

的值是(

A

)A.

－20B.

－16C.

16D.

20A子题1.3已知实数

m

满足

m2－

m

－1＝0，则2

m3－3

m2－

m

＋9＝

⁠.解析：∵

m2－

m

－1＝0，∴

m2－

m

＝1，∴2

m3－3

m2－

m

＋9＝(2

m3－2

m2)－

m2

－

m

＋9＝2

m

(

m2－

m

)－

m2－

m

＋9＝2

m

－

m2－

m

＋9＝－

m2＋

m

＋9＝－(

m2－

m

)＋9＝－1＋9＝8.8

(2023郑州期末)如图，小明准备设计一个长方形的手工作品，已知长方形

的相邻边长为

a

，

b

(

a

＞

b

)，周长为20，面积为16，请计算

a2

b

－

ab2的值为

(

A

)A.

96B.

480C.

320D.

160解析：由题意，得2(

a

＋

b

)＝20，

ab

＝16，∴

a

＋

b

＝10，∴(

a

－

b

)2＝(

a

＋

b

)2－

4

ab

＝102－4×16＝36.∵

a

＞

b

，∴

a

－

b

＝6，∴原式＝

ab

(

a

－

b

)＝16×6＝96.A

(2023郑州中原区期末)若

a

，

b

，

c

为△

ABC

的三边长，且

a2－

c2－

bc

＋

ab

＝0，则△

ABC

的形状是

⁠.解析：由

a2－

c2－

bc

＋

ab

＝0，得(

a

＋

c

)(

a

－

c

)＋

b

(

a

－

c

)＝0，即(

a

－

c

)(

a

＋

b

＋

c

)＝0.∵

a

＋

b

＋

c

≠0，∴

a

－

c

＝0，即

a

＝

c

，因此△

ABC

是等腰三角形.等腰三角形

仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式

x2－4

x

＋

m

有一个因式是

x

＋3，求另一个因式以及

m

的值.解：设另一个因式为

x

＋

n

，则

x2－4

x

＋

m

＝(

x

＋3)(

x

＋

n

)，即

x2－4

x

＋

m

＝

x2＋(

n

＋3)

x

＋3

n

，

故另一个因式为

x

－7，

m

的值为－21.仿照上面的方法解答下面问题：已知二次三项式

x2＋3

x

－

k

有一个因式是

x

－5，求另一个因式以及

k

的值.

5.

应用场景

(2024新乡期末)在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用

“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项式

x4－

y4，因式分解的结

果是(

x

＋

y

)(

x

－

y

)(

x2＋

y2)，若取

x

＝9，

y

＝9，则各个因式的值是

x

＋

y

＝18，

x

－

y

＝0，

x2＋

y2＝162，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码.那么对于

多项式9

x3－

xy2，取

x

＝11，

y

＝6时，用上述方法产生的密码是

⁠

(写出一个即可).解析：9

x3－

xy2＝

x

(9

x2－

y2)＝

x

(3

x

＋

y

)(3

x

－

y

).当

x

＝11，

y

＝6时，各个因式

的值是

x

＝11，3

x

＋

y

＝39，3

x

－

y

＝27.用上述方法产生的密码是113927或112739

或391127或392711或273911或271139.113927(答案不唯

一)

6.

规律探究

(2024郑州金水区期末)发现：两个已知正整数之和与这两个正整数之

差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.(1)验证：如，(2＋1)2＋(2－1)2＝10为偶数.请把10的一半表示为两个正整数的

平方和；解：(1)10的一半为5，5＝1＋4＝12＋22.(2)探究：设“发现”中的两个已知正整数为

m

，

n

，请论证“发现”中的结

论正确；解：(2)(

m

＋

n

)2＋(

m

－

n

)2＝

m2＋2

mn

＋

n2＋

m2－2

mn

＋

n2＝2

m2＋2

n2＝2(

m2＋

n2).∵

m

，

n

为正整数，∴

m2＋

n2为正整数，∴2(

m2＋

n2)一定是偶数，∴该偶数的一半为

m2＋

n2.故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半

也可以表示为两个正整数的平方和.(3)延伸：两个相邻奇数的平方差一定是8的倍数，判断这个命题是真命题还是

假命题.解：(3)设两个相邻的奇数为2

x