8.6.2直线与平面垂直课件高一下学期数学人教A版

第八章立体几何初步8.6.2直线与平面垂直人教A版

数学

必修第二册课程标准1.理解并掌握直线与平面垂直的定义,明确定义中“任意”两字的重要性.2.掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理,能证明性质定理,并能解决有关线面垂直的问题.3.了解直线和平面所成的角的含义,并知道其求法.4.了解点到平面距离、直线到平面距离、平面到平面距离的含义,并能求解空间距离.基础落实·必备知识全过关知识点1

直线与平面垂直的定义

定义一般地,如果直线l与平面α内的

直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直

定义可表示为∀a⊂α,l⊥a⇔l⊥α

记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的

,平面α叫做直线l的

.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做

图示

画法画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直任意一条

垂线

垂面垂足名师点睛1.定义中的“任意一条”与“任何直线”“所有直线”意义相同,但与“无数条直线”不同,即定义是说这条直线和平面内所有直线都垂直.2.直线和平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况.3.由定义可知,若直线垂直于平面,则直线垂直于平面内任意一条直线,这是证明线线垂直的一种重要方法.过关自诊1.直线l与平面α内的无数条直线垂直,则(

)A.l和α相互平行 B.l和α相互垂直C.l在平面α内 D.l和α的位置关系不能确定D解析

直线l和α相互平行或直线l和α相互垂直或直线l在平面α内都有可能,如图所示.2.[苏教版教材习题]如果直线a与平面α不垂直,那么在平面α内与直线a垂直的直线(

)A.只有一条B.有无数条C.是平面α内的所有直线D.不存在B知识点2

直线与平面垂直的判定定理

文字语言如果一条直线与一个平面内的两条

直线垂直,那么该直线与此平面垂直

图形语言

符号语言l⊥a,l⊥b,a⊂α,b⊂α,

⇒l⊥α

作用判断直线与平面

相交a∩b=P垂直

名师点睛1.“两条相交直线”是关键词语,是不可忽视的条件.2.要证一条直线与一个平面垂直,只需在平面内找到两条相交的直线都和该直线垂直即可,不需要找到所有直线,而且这两条相交直线是否和已知直线有公共点是无关紧要的.3.定理体现了相互转化的数学思想,即由要证线面垂直转化为证线线垂直.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)一条直线垂直于三角形的两边,那么这条直线就垂直于三角形所在的平面.(

)(2)一条直线垂直于圆的两条直径,那么这条直线就垂直于圆所在的平面.(

)2.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于(

)A.平面OAB

B.平面OACC.平面OBC

D.平面ABC√√C知识点3

直线与平面所成的角

一条直线l与一个平面α相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角.名师点睛1.斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段.2.直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°.特别地,当θ=90°时,直线与平面垂直.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)直线l垂直于平面α,则l与平面α内的任意一条直线所成的角均为90°.(

)(2)如果直线l与平面α所成的角为0°,那么l∥α.(

)√××2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB1与平面ABCD所成的角等于

;AB1与平面ADD1A1所成的角等于

;AB1与平面DCC1D1所成的角等于

.

45°45°

0°解析

∠B1AB为AB1与平面ABCD所成的角,即45°;∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角,即45°;AB1与平面DCC1D1平行,即所成的角为0°.知识点4

空间距离

这样的直线有且只有一条1.过一点作

于已知平面的直线,则该点与

间的线段,叫做这个点到该平面的垂线段,

叫做这个点到该平面的距离.

2.一条直线与一个平面

时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线到这个平面的距离.

3.如果两个平面

,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都

,我们把它叫做这两个平行平面间的距离.

垂直

垂足垂线段的长度平行平行相等名师点睛1.求空间距离最终转化为求垂线段的长,先要找垂线,归结为线面垂直问题.2.空间距离可应用于求几何体的高.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)直线到平面的距离以及两平面之间的距离都要转化为点到平面的距离.(

)(2)如果直线l上有两个点到平面α的距离相等,那么l∥α.(

)√×2.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,则点C到平面BDD1B1的距离为(

)B解析

如图,连接AC,与DB交于点O,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,∵DB⊥AC,BB1⊥AC,BB1∩DB=B,BB1,DB⊂平面BDD1B1,∴AC⊥平面BDD1B1.∴点C到平面BDD1B1的距离为CO.知识点5

直线与平面垂直的性质定理

文字语言垂直于同一个平面的两条直线

符号语言图形语言

作用证明两条直线

平行

a∥b平行

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)如果l∥m,l⊥α,那么m⊥α.(

)(2)如果l⊥α且l⊥β,平面α∥平面β.(

)2.在长方体ABCD-A'B'C'D'中,棱AA',BB'所在直线与平面ABCD位置关系如何?这两条直线又有什么样的位置关系?√√提示

棱AA',BB'所在直线都与平面ABCD垂直;这两条直线互相平行.重难探究·能力素养全提升探究点一证明直线与平面垂直【例1】

[北师大版教材例题]如图,长杆l与地面α相交于点O,在杆子上距地面2m的点P处挂一根长2.5m的绳子,拉紧绳子并把它的下端放在地面上的点A或点B(A,B,O三点不在同一条直线上).如果A,B两点和点O的距离都是1.5m,那么长杆l和地面是否垂直?为什么?解

在△POA和△POB中,因为PO=2

m,AO=BO=1.5

m,PA=PB=2.5

m,所以PO2+AO2=22+1.52=2.52=PA2,PO2+BO2=22+1.52=2.52=PB2.根据勾股定理的逆定理得PO⊥AO,PO⊥BO.又A,B,O三点不共线,因此PO⊥平面α,即长杆与地面垂直.规律方法

直线与平面垂直的判定方法判定直线与平面垂直,可以用定义,就是证明这条直线与平面内的任一直线垂直,但这种方法一般不用.最常用也最好用的是直线与平面垂直的判定定理,根据定理,只需证明这条直线与平面内的两条相交直线垂直即可.变式训练1设四边形ABCD是空间四边形,AB=AD,CB=CD,求证:AC⊥BD.证明

取BD的中点E,连接AE,CE.由已知,在等腰三角形ABD和等腰三角形CBD中,有AE⊥BD,CE⊥BD.∵AE∩CE=E,AE,CE⊂平面AEC,∴BD⊥平面AEC.又AC⊂平面AEC,∴AC⊥BD.探究点二证明两直线垂直【例2】

如图,已知PA垂直于☉O所在的平面,AB是☉O的直径,C是☉O上任意一点,求证:BC⊥PC.证明

∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC.∵AB是☉O的直径,∴BC⊥AC.又PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.∵PC⊂平面PAC,∴BC⊥PC.变式探究1若本例中其他条件不变,作AE⊥PC交PC于点E,求证:AE⊥PB.证明

由例2知BC⊥平面PAC,∵AE⊂平面PAC,∴BC⊥AE.∵PC⊥AE,且PC∩BC=C,PC⊂平面PBC,BC⊂平面PBC,∴AE⊥平面PBC.∵PB⊂平面PBC,∴AE⊥PB.变式探究2本题中的三棱锥P-ABC中有几个三角形为直角三角形?解

4个,分别为△PAB,△PAC,△PCB,△ABC.规律方法

1.直线和平面垂直的定义具有双重作用:判定和性质.判定是指,如果一条直线和平面内的任意一条直线都垂直,那么直线就与平面垂直;性质是指,如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线就垂直于平面内的任意一条直线,即a⊥α,b⊂α⇒a⊥b.2.由直线与平面垂直的定义及判定定理,就可以由线线垂直得到线面垂直,再由线面垂直得到线线垂直,即得到线线垂直与线面垂直的相互转化.因此,要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面),通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面.探究点三求直线与平面所成的角【例3】

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中.(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角;(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角.解

(1)∵AB⊥平面AA1D1D,∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角,在Rt△AA1B中,∠BAA1=90°,AB=AA1,∴∠AA1B=45°,∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.(2)连接A1C1交B1D1于点O,连接BO.∵A1O⊥B1D1,BB1⊥A1O,BB1∩B1D1=B1,BB1,B1D1⊂平面BB1D1D,∴A1O⊥平面BB1D1D,∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角.设正方体的棱长为1,则又0°≤∠A1BO≤90°,∴∠A1BO=30°,∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.规律方法

1.求斜线与平面所成的角的步骤:2.在上述步骤中,作角是关键,而确定斜线在平面内的射影是作角的关键,几何图形的特征是找射影的依据,图形中的特殊点是突破口.变式训练2[北师大版教材习题]如图,AB是☉O的直径,点C为该圆上的一点,∠AOC=120°,SA⊥☉O所在的平面,SA=AB,求SC与☉O所在的平面所成的角的正切值.解

连接AC,BC.因为SA⊥☉O所在的平面,所以∠SCA是直线SC与☉O所在平面的夹角.设☉O的半径为R,则SA=AB=2R.因为∠AOC=120°,所以∠BOC=60°.所以△BOC为等边三角形,所以BC=R.又因为AB为☉O的直径,所以∠ACB=90°,探究点四空间距离的求法【例4】

如图,已知正方形ABCD的边长为4,CG⊥平面ABCD,CG=2,E,F分别是AB,AD的中点,求点B到平面GEF的距离.解

连接BD,AC,EF和BD分别交AC于H,O,连接GH,作OK⊥GH于点K.∵四边形ABCD为正方形,E,F分别为AB,AD的中点,∴EF∥BD,H为AO的中点.∵BD∥EF,BD⊄平面GFE,∴BD∥平面GFE.∴点B与平面GEF的距离就是点O到平面GEF的距离.∵BD⊥AC,∴EF⊥AC.∵GC⊥平面ABCD,∴GC⊥EF.∵GC∩AC=C,∴EF⊥平面GCH.∵OK⊂平面GCH,∴EF⊥OK.∵OK⊥GH,GH∩EF=H,∴OK⊥平面GEF,即OK的长就是点B到平面GEF的距离.∵正方形ABCD的边长为4,CG=2,变式探究本题条件不变,如果求直线BD到平面GEF的距离呢?提示

先证明BD∥平面GEF,将直线到平面的距离转化为求点O到平面的距离,过程和答案与例题一致.规律方法

求点到平面的距离一般有两种方法(1)构造法:根据定义构造垂直于面的直线,确定垂足位置,将所求线段化归到三角形中求解.(2)等积变换法:将所求距离看作某个几何体(多为棱锥)的高,利用体积相等建立方程求解.变式训练3已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为,平面AB1D1到平面BC1D的距离为(

)C本节要点归纳1.知识清单:(1)直线与平面垂直的定义.(2)直线与平面垂直的判定定理.(3)直线与平面所成的角.(4)空间距离.(5)直线与平面垂直的性质定理.2.方法归纳:化归,数形结合.3.常见误区:易忽略直线与平面垂直的判定定理中“两条相交直线”这一关键条件.成果验收·课堂达标检测123456789101112131415161718A级必备知识基础练1.[探究点二]若空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC,BD的关系是(

)A.垂直且相交

B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交C解析

取BD的中点O,连接AO,CO,则BD⊥AO,BD⊥CO,故BD⊥平面AOC,BD⊥AC.又BD,AC异面,故选C.1234567891011121314151617182.[探究点一、二·2023江苏淮安清江浦期中]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别为AC,A1B的中点,下列说法中不正确的是(

)A.MN∥平面ADD1A1B.MN⊥ABC.MN与CC1所成角为45°D.MN⊥平面ACD1D1234567891011121314151617183.[探究点三]在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=,则PC与平面ABCD所成角的大小为(

)A.30° B.45° C.60° D.90°C解析

如图,连接AC.∵PA⊥平面ABCD,∴∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角.1234567891011121314151617184.[探究点一]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AB,BC的中点,O是底面ABCD的中心,则EF与平面BB1O的位置关系是

.(填“平行”或“垂直”)

垂直1234567891011121314151617185.[探究点三]如图,在三棱柱ABC-A'B'C'中,底面ABC是正三角形,AA'⊥底面ABC,且AB=1,AA'=2,则直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值为

.

1234567891011121314151617186.[探究点二]在三棱锥V-ABC中,当三条侧棱VA,VB,VC之间满足条件

时,有VC⊥AB.(注:填上你认为正确的一种条件即可)

VC⊥VA,VC⊥VB(答案不唯一,只要能保证VC⊥AB即可)

解析

只要VC⊥平面VAB,即有VC⊥AB;故只要VC⊥VA,VC⊥VB即可.1234567891011121314151617187.[探究点三、四·2023江西九江德安期末]如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,AP=AD=2,∠ABC=60°.点E,F分别在棱PA,PB上,且EF∥AB.(1)求证:EF∥CD;(2)若直线PD与平面CEF所成的角的正弦值为,求点P到平面CEF的距离.(1)证明

因为底面ABCD为菱形,所以CD∥AB,又因为EF∥AB,所以EF∥CD.(2)解

因为EF∥CD,所以C,D,E,F四点共面.设点P到平面CEF的距离为h.因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以PA⊥AB.1234567891011121314151617181234567891011121314151617188.[探究点二]如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2,E,F分别是AD,PC的中点.证明:PC⊥BE.123456789101112131415161718证明

如图,连接PE,EC,在Rt△PAE和Rt△CDE中,PA=AB=CD,AE=DE,所以PE=CE,即△PEC是等腰三角形.又因为F是PC的中点,所以EF⊥PC.F是PC的中点,所以BF⊥PC.又因为BF∩EF=F,所以PC⊥平面BEF.因为BE⊂平面BEF,所以PC⊥BE.1234567891011121314151617189.[探究点一、三]如图,在棱长均为1的直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点.(1)求证:AD⊥平面BCC1B1;(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值.123456789101112131415161718(1)证明

在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,∴BB1⊥AD,∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC.又BC∩BB1=B,∴AD⊥平面BCC1B1.(2)解

连接C1D.由(1)知AD⊥平面BCC1B1,则∠AC1D即为直线AC1与平面BCC1B1所成角.123456789101112131415161718B级关键能力提升练10.(多选题)如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论正确的是(

)A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1D.异面直线AD与CB1所成的角为60°ABC12345678910111213141516171811.(多选题)在正三棱锥A-BCD中,侧棱长为3,底面边长为2,E,F分别为棱AB,CD的中点,则下列结论中正确的是(

)BC12345678910111213141516171812.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=8,∠BAC=60°,PC⊥平面ABC,PC=4,M是AB边上的一动点,则PM的最小值为(

)A12345678910111213141516171813.(多选题)如图,等边三角形ABC的边长为1,BC边上的高为AD,沿AD把三角形ABC折起来,则(

)ABCD12345678910111213141516171812345678910111213141516171814.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列结论:①AC∥平面CB1D1;②AC1⊥平面CB1D1;③AC1与底面ABCD所成角的正切值是;④AD1与BD为异面直线.其中正确结论的序号是

.

②③④

12345678910111213141516171815.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=,AB=AA1=2,E是棱CC1的中点.(1)求证:AE⊥BC;(2)求点A1到平面ABE的距离.(1)证明

因为AC=BC=,AB=2,所以AC2+BC2=AB2,即AC⊥BC.因为直棱柱ABC-A1B1C1,所以AA1⊥底面ABC,BC⊂平面ABC,所以AA1⊥BC,又AA1∩AC=A,AA1⊂平面ACC1A1,AC⊂平面ACC1A1,所以BC⊥平面ACC1A1.又因为AE⊂平面ACC1A1,所以AE⊥BC.12345678910111213141516171812345678910111213141516171812345678910111213141516171816.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,M,N分别是AB,PC的中点.求证:(1)MN∥平面PAD;(2)AB⊥MN.证明

(1)取PD的中点Q,连接AQ,NQ.∵N是PC的中点,∴NQ=CD,NQ∥CD.∵M是AB的中点,∴AM=AB=CD.又AM∥CD,∴AM∥NQ,AM=NQ.∴四边形AQNM是平行四边形,∴MN∥AQ.∵MN⊄平面PAD,AQ⊂平面PAD,∴MN∥平面PAD.(2)∵PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥AB.又∵底面