7.2.2复数的乘除运算课件高一下学期数学人教A版

第七章复数复数的乘、除运算人教A版

数学

必修第二册课程标准1.掌握复数乘、除运算的法则,理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.2.掌握虚数单位i幂值的周期性,能进行有关的运算.3.能在复数范围内解有关方程问题.基础落实·必备知识全过关知识点1

复数的乘法及其运算律1.复数乘法的运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=

.

2.复数乘法的运算律对于任意z1,z2,z3∈C,有交换律z1z2=

结合律(z1z2)z3=

乘法对加法的分配律z1(z2+z3)=

(ac-bd)+(ad+bc)iz2z1

z1(z2z3)z1z2+z1z3名师点睛1.复数的乘法与多项式的乘法类似,注意有一点不同,即必须在所得结果中把i2换成-1,再把实部、虚部分别合并.

2.两个复数的积仍为复数,可推广,任意多个复数的积仍然是一个复数.3.重要性质:z=|z|2.过关自诊1.怎样进行复数的乘法运算?2.in(n∈N*)有什么规律?3.[苏教版教材例题]计算(-2-i)(3-2i)·(-1+3i).提示

两个复数相乘,类似于两个多项式相乘,只要将所得结果中的i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并即可.三个或三个以上的复数相乘,可按照从左到右的顺序或利用结合律运算.提示

i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*),即in(n∈N*)是以4为周期的.解

原式=(-8+i)(-1+3i)=5-25i.知识点2

复数的除法在进行复数除法运算时,通常先把(a+bi)÷(c+di)写成

的形式,再把分子与分母都乘分母的共轭复数

,化简可得(a+bi)÷(c+di)=

+

(a,b,c,d∈R,且c+di≠0).

c-di过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)复数的加、减、乘、除混合运算法则是先算乘、除,后算加、减.(

)(2)在进行两个复数除法运算时通常先要写成分式形式.(

)2.两个复数在进行除法运算时需要注意哪些方面?√√×提示

(1)两个复数进行除法运算时通常先要写成分式形式;(2)最终结果要化成a+bi的形式.知识点3

复数范围内一元二次方程的解法1.在复数范围内,任何实系数一元二次方程都是有根的,当实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ<0时,其求根公式为

.

2.若复系数方程有实数根,通常将这个根设出,代入方程,利用复数的运算以及复数相等的充要条件进行求解.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)方程x2=1的解是x=i.(

)(2)在复数范围内解实系数一元二次方程可以类比实数范围内解一元二次方程,利用求根公式求解.(

)××2.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R,且a≠0),如何求它的实根?提示

①求出判别式Δ=b2-4ac的值,判断根的情况,若Δ>0,方程有两个不相等的实根;若Δ=0,方程有两个相等的实根;若Δ<0,方程无实根.重难探究·能力素养全提升探究点一复数的乘法与除法运算角度1

复数的乘法运算【例1】

计算下列各题:(1)(1-2i)(3+6i);(2)(5-2i)2;(3)(1+i)(1-i)+(-1+i);解

(1)(1-2i)(3+6i)=3+6i-6i+12=15.(2)(5-2i)2=52-2×5×2i+(2i)2=25-20i-4=21-20i.(3)(1+i)(1-i)+(-1+i)=1-i2+(-1+i)=2-1+i=1+i.规律方法

复数乘法运算的步骤按照多项式的乘法法则展开→将i2换成-1→合并实部和虚部,化为a+bi的形式变式训练1(1)计算:(1-i)2-(2-3i)·(2+3i)等于(

)A.2i-13 B.13+2iC.13-2i D.-13-2iD解析

原式=1+i2-2i-(4-9i2)=-2i-4-9=-13-2i.故选D.(2)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是(

)A.(-∞,1) B.(-∞,-1)C.(1,+∞) D.(-1,+∞)B角度2

复数的除法运算【例2】

(1)若复数z满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位),则z为(

)A.3+5i B.3-5iC.-3+5i D.-3-5iA-2+i规律方法

复数除法运算的技巧(1)根据复数的除法法则,通过分子、分母都乘分母的共轭复数,使“分母实数化”,这个过程与“分母有理化”类似.(2)复数除法运算的结果要进行化简,通常要写成复数的代数形式,即实部与虚部要完全分开的形式.变式训练2(1)在复平面内,复数

的对应点位于(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限B探究点二i幂值的周期性及其应用【例3】

[2023湖北襄阳月考]已知(2-i)z=i2023(i为虚数单位),则z=

.

规律方法

利用i幂值的周期性解题的技巧(1)熟记i的幂值的4个结果,当幂指数除以4所得的余数是0,1,2,3时,相应的幂值分别为1,i,-1,-i.(2)对于n∈N*,有in+in+1+in+2+in+3=0.A.0 B.2iC.-2i D.4iA探究点三与复数有关的方程问题【例4】

在复数范围内解关于x的方程x2+6x+10=0.解

(方法一)因为x2+6x+10=x2+6x+9+1=(x+3)2+1=0,所以(x+3)2=-1,又因为i2=-1,所以(x+3)2=i2,所以x+3=±i,即x=-3±i.(方法二)因为Δ=62-4×10×1=-4<0,规律方法

与复数有关的方程问题,一般是利用复数相等的充要条件,把复数问题实数化进行求解,一元二次方程一类问题中,根与系数的关系仍适用.变式训练4已知关于x的方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根b,求实数a,b的值.本节要点归纳1.知识清单:(1)复数的乘法及运算律.(2)复数的除法运算.(3)在复数范围内解方程.(4)i的运算性质.2.方法归纳:分母实数化、配方法、求根公式法.3.常见误区:分母实数化时忽视i2=-1造成运算错误.成果验收·课堂达标检测1234561.已知复数,则复数z的虚部是(

)A.2i B.-2i C.2 D.-2D∴复数z的虚部是-2.故选D.1234562.m∈R,i为虚数单位,若(m+i)(2-3i)=5-i,则m的值为(

)A.1 B.-1 C.2 D.-2A123456A.3 B.4 C.8 D.16B解析

当n=1时,x=i2+i-2=-1+(-1)=-2,当n=2时,x=i4+i-4=1+1=2,当n=3时,x=i6+i-6=