1.3弧度制课件高一下学期数学北师大版

第一章三角函数3弧度制北师大版

数学

必修第二册目录索引基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升成果验收·课堂达标检测课程标准1.理解弧度的意义,掌握1弧度的角的定义.2.能进行角度和弧度的换算,熟记特殊角的弧度数.3.掌握弧度制下扇形的弧长和面积公式,会解决某些简单的实际问题.4.通过学习,理解角度制与弧度制都是度量角的方法,二者是辩证统一的.基础落实·必备知识全过关知识点一

弧度与弧度制1.在单位圆中,把长度等于

的弧所对的圆心角称为1弧度的角.其单位用符号

表示,读作

.

注意成立的前提条件2.在单位圆中,每一段弧的长度就是它所对圆心角的弧度数.这种以弧度作为单位来度量角的方法,称作

.

rad弧度

弧度制

1名师点睛1.1弧度的角与1度的角所指含义不同,大小更不同.2.无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角,角的大小都与“半径”大小无关.3.用“度”作为单位度量角时,“度”或“°”不能省略,而用“弧度”作为单位度量角时,“弧度”或“rad”通常省略不写.4.当圆心角一定时,它所对的弧长与半径的比值是一个确定的值,与所在圆的半径大小无关.5.一般地,弧度与实数一一对应,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)大圆中1弧度的角比小圆中1弧度的角大.(

)(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等.(

)(3)“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位.(

)××√2.在同一个表达式中,能不能同时出现角度制和弧度制?提示

角度制和弧度制是两种不同的角的度量方法,两者有着本质的不同,因此在同一个表达式中两种度量方法不能混用.知识点二

弧度与角度的换算

2.弧度数公式:

,即圆心角的弧度数的绝对值等于该圆心角所对的弧长与半径之比.

3.弧长公式:

,即弧长等于所对圆心角的弧度数的绝对值与半径之积.采用角度制时的相应公式为4.扇形的面积公式:l=|α|r名师点睛

一些特殊角的度数与弧度数的对应表过关自诊1.[人教B版教材例题]把

化成角度数.2.[人教A版教材例题]把67°30'化成弧度.重难探究·能力素养全提升探究点一弧度制的概念【例1】

下列说法错误的是(

)A.弧度与实数一一对应C.根据弧度的定义,180°等于π弧度D.无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与所在圆的半径的大小有关D解析

无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径大小无关,而是与弧长和半径的比值有关,故D项错误.规律方法

弧度制与角度制的异同1.用角度制和弧度制度量零角时,单位不同,但数值相同(都是0);用角度制和弧度制度量任一非零角时,单位不同,数值也不同.2.以弧度为单位表示角的大小时,“弧度”或“rad”通常省略不写,但以度为单位表示角的大小时,“度”或“°”不能省略.变式训练1下列说法正确的是(

)A.1弧度是1度的圆心角所对的弧B.1弧度是长度为半径的弧C.1弧度是1度的弧与1度的角之和D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小,它是角的一种度量单位D解析

弧度是度量角的大小的一种单位,1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小.故选D.探究点二弧度与角度的换算【例2】

(1)把112°30'化成弧度;(2)把rad化成度;(3)将-1485°化成弧度.规律方法

弧度制与角度制换算的关键与方法(1)关键:抓住互化公式π

rad=180°.(3)角度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度.变式训练2下列各角中,与240°角终边相同的角为(

)C探究点三用弧度制表示角及其范围【例3】

如图所示,用弧度制表示顶点在原点、始边与x轴的非负半轴重合、终边落在阴影部分内的角的集合.规律方法

用弧度制表示象限角、轴线角、终边相同的角的方法(1)用弧度制表示象限角的集合如下:(2)用弧度制表示轴线角的集合如下:终边落在x轴上的角为{α|α=kπ,k∈Z};(3)用弧度制表示终边相同的角的集合为{β|β=α+2kπ,k∈Z}.变式训练3终边在坐标轴上的角的集合是

,终边在直线y=-x上的角的集合是

.

探究点四与扇形弧长、面积有关的问题【例4】

(1)已知扇形的周长为8cm,圆心角为2,求该扇形的面积;解

设扇形的半径为r

cm,弧长为l

cm,由圆心角为2,依据弧长公式可得l=2r,从而扇形的周长为l+2r=4r=8,解得r=2,则l=4.(2)已知扇形的周长为10cm,面积等于4cm2,求其圆心角的弧度数.规律方法

弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)扇形的弧长公式和面积公式涉及四个量,即面积S,弧长l,圆心角α,半径r,已知其中的三个量一定能求得第四个量(通过方程求得),已知其中的两个量能求得剩余的两个量(通过方程组求得).(2)在研究有关扇形的相关量的最值时,往往转化为二次函数的最值问题.(3)注意扇形圆心角的弧度数的取值范围是(0,2π),实际问题中注意根据这一范围进行取舍.变式训练4已知扇形的周长是30cm,当它的半径和圆心角各取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?解

设扇形的圆心角为α(0<α<2π),半径为r

cm,面积为S

cm2,弧长为l

cm,则l+2r=30,故l=30-2r,本节要点归纳1.知识清单:(1)弧度与弧度制的概念;(2)弧度与角度的相互转化;(3)扇形的弧长与面积的计算.2.方法归纳:消元法、配方法.3.常见误区:对1弧度的定义的理解;弧度与角度混用.成果验收·课堂达标检测12345678910A级必备知识基础练1.在半径为5cm的扇形中,圆心角为2,则扇形的面积为(

)A.25cm2 B.10cm2 C.15cm2 D.5cm2A解析

扇形面积为S=×2×52=25(cm2).故选A.123456789102.角α=-2,则α所在的象限是(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限C123456789103.已知扇形AOB的周长为10,面积为6,则该扇形的圆心角为(

)B123456789104.在半径为3cm的圆中,的圆心角所对的弧长为(

)A123456789105.如果一个圆的半径变为原来的一半,弧长变为原来的

倍,则该弧所对的圆心角是原来的

倍.

312345678910B级关键能力提升练6.若集合P={α|2kπ≤α≤(2k+1)π,k∈Z},Q={α|-4≤α≤4},则P∩Q=(

)A.⌀B.{α|-4≤α≤-π,或0≤α≤π}C.{α|-4≤α≤4}D.{α|0≤α≤π}B解析

当k=-1,0时,集合P和Q的公共元素满足-4≤α≤-π,或0≤α≤π,当k取其他值时,集合P和Q无公共元素,故P∩Q={α|-4≤α≤-π,或0≤α≤π}.123456789107.(多选)若角α的终边在直线y=-x上,则角α的集合为(

)AD12345678910A12345678910123456789109.一个半径为2的扇形,如果它的周长等于所在圆的半圆的弧长,那么扇形的圆心角是

弧度,扇形的面积是

.

π-2

2(π-2)解析

设扇形的弧长为l,圆心角为