6.2.4向量的数量积课件高一下学期数学人教A版

第六章平面向量及其应用向量的数量积人教A版

数学

必修第二册课程标准1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.基础落实·必备知识全过关知识点1

向量数量积的定义1.向量a与向量b的夹角(1)夹角的定义:已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作

=b,则

=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.确定a,b的夹角时,起点要重合,记作<a,b>

(2)显然,当θ=0时,a与b

;当θ=π时,a与b

.

(3)如果a与b的夹角是

,我们说a与b垂直,记作

.

∠AOB同向

反向a⊥b2.向量的数量积(1)定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量____________

叫做向量a与b的数量积(或内积),记作

,即a·b=|a||b|cosθ.

(2)零向量与任一向量的数量积为

.

(3)向量数量积的大小与两个向量的长度及其夹角有关.在书写时不能用a×b或ab表示

|a||b|cosθa·b0过关自诊1.向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别?提示

向量的线性运算结果是向量,而向量的数量积运算结果是数量.2.若|a|=3,|b|=4,a,b的夹角为135°,则a·b=(

)B3.已知向量|a|=10,|b|=12,且a·b=-60,则向量a与b的夹角为(

)B知识点2

向量a在向量b上的投影向量

投影

投影向量过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)向量a在向量b上的投影向量与向量b平行.(

)(2)向量a与向量b的数量积等于向量a与向量b在向量a上的投影向量的数量积.(

)√√2.若|a|=3,|b|=4,a与b的夹角是120°,与b方向相同的单位向量为e,则向量a在向量b上的投影向量为

.

解析

向量a在向量b上的投影向量为|a|cos

θ

e=3×cos

120°e=-e.3.若a·b=-6,|a|=8,与a方向相同的单位向量为e,则向量b在向量a上的投影向量为

.

解析

向量b在向量a上的投影向量为知识点3

平面向量数量积的性质

设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则(1)a·e=e·a=

.

(2)a⊥b⇔

.

(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.特别地,a·a=_______

或|a|=

.

常记作a2(4)|a·b|

|a||b|.|a|cosθa·b=0|a|2

≤过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若a·b=0,则a与b中至少有一个是零向量.(

)(2)若a·b>0,则a与b的夹角为锐角.(

)(3)对于任意向量a,都有a·a=|a|2.(

)2.已知|a|=7,则a·a=

.

3.在△ABC中,=0,则△ABC为

三角形.

××√49解析

a·a=|a|2=72=49.直角知识点4

平面向量数量积的运算律

交换律

数乘的结合律

分配律

名师点睛1.向量数量积的运算不适合约分,即a·b=a·c

b=c.2.向量数量积运算也不适合结合律,即(a·b)·c不一定等于a·(b·c),这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一个与a共线的向量.a·b=b·a

(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)

(a+b)·c=a·c+b·c过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)a·b-a·c=a·(b-c)=(b-c)·a.(

)(2)若a·c=b·c(c为非零向量),则a=b.(

)(3)(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2.(

)2.设a,b,c是向量,(a·b)c=a(b·c)一定成立吗?√×√提示

因为向量的数量积是实数,所以(a·b)c是与c共线的向量,同理,a(b·c)是与a共线的向量,而a与c的关系不确定,所以这个式子不一定成立.重难探究·能力素养全提升探究点一求平面向量的数量积角度1

数量积的简单计算【例1】

已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120°,求:(1)a·b;(2)a2-b2;(3)(2a-b)·(a+3b).(2)a2-b2=|a|2-|b|2=4-9=-5.(3)(2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2=2|a|2+5|a||b|cos

120°-3|b|2=8-15-27=-34.规律方法

求向量的数量积时,需明确两个关键点:相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算,则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简.变式训练1若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,且(a+2b)·(a-3b)=-72,则a的模为(

)A.2 B.4 C.6 D.12C解析

由(a+2b)·(a-3b)=-72,得a2-a·b-6b2=-72,即|a|2-4|a|cos

60°-96=-72,即|a|2-2|a|-24=0,解得|a|=6(负值舍去).故选C.角度2

求向量的投影向量【例2】

已知|a|=4,e为单位向量,它们的夹角θ为,则向量a在向量e上的投影向量是

;向量e在向量a上的投影向量是

.

-2e规律方法

向量a在向量b上的投影向量的求法将已知量代入a在b方向上的投影向量公式|a|cos

θ

e(θ为向量a与向量b的夹角,e是与b方向相同的单位向量,且e=)中计算即可.变式训练2已知|a|=4,|b|=6,a与b的夹角为60°,则向量a在向量b上的投影向量是

.

角度3

几何图形中向量数量积的计算

规律方法

平面向量的数量积在平面几何中的应用(1)解决几何图形中的向量的数量积运算问题,要充分利用图形特点及其含有的特殊向量,这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量.(2)向量的夹角是由向量的方向确定的,在△ABC中,

的夹角不是角C,角A,角B,而是它们的补角.变式训练3已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则1探究点二向量模的相关问题角度1

利用数量积求向量的模【例4】

(1)已知向量a,b满足|a|=|b|=5,且a与b的夹角为60°,则|2a+b|=

.

解析

∵|2a+b|2=(2a+b)2=4a2+4a·b+b2=4|a|2+4|a||b|cos

60°+|b|2(2)已知向量a,b满足|a|=,a与b的夹角为135°,|a+b|=,则|b|=

.

3解析

∵|a+b|=,∴a2+2a·b+b2=5.∴|a|2+2|a||b|cos

135°+|b|2=5.∴|b|2-2|b|-3=0.∴|b|=3或|b|=-1(舍去).规律方法

向量模的求解方法根据数量积的定义a·a=|a||a|cos

0°=|a|2,得|a|=,这是求向量的模的一种方法.即要求一个向量的模,先求这个向量模的平方,再求它的算术平方根.对于复杂的向量也是如此.例如,求|a+b|,可先求(a+b)2=(a+b)·(a+b),再取其算术平方根即为|a+b|.变式训练4已知a,b是单位向量,a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的取值范围是(

)A角度2

与模有关的最值问题【例5】

(1)若平面向量a,b,c满足:|a|=|c|=1,|b|=2,且c·(a-b)=0,则|b-c|的取值范围是(

)B(2)若a,b,c均为单位向量,且a·b=0,则|a+b-c|的最小值为(

)A规律方法

向量模的最值问题的求法涉及向量模的最值问题,一般是把模平方,利用平面向量的数量积运算,把问题转化为关于某个量的函数,进而求出最值.需要掌握向量模的一些简单几何意义:①|a|为正值,则说明当表示向量的有向线段的起点确定后,其终点在以起点为圆心,以|a|为半径的圆上运动;②若|a+b|=|a-b|,则有a⊥b;③若(a+b)·(a-b)=0,则|a|=|b|.变式训练5若两个单位向量a,b的夹角为120°,k∈R,则|a-kb|的最小值为(

)B探究点三利用数量积解决向量的夹角与垂直问题【例6】

(1)若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(2a+b)⊥b,则a与b的夹角为(

)A.30°

B.60° C.120° D.150°C解析

因为(2a+b)⊥b,所以(2a+b)·b=0,所以2a·b+|b|2=0.设a,b的夹角为θ,则2|a||b|cos

θ+|b|2=0.又|a|=|b|,所以2|b|2cos

θ+|b|2=0,因此cos

θ=-,从而θ=120°.故选C.(2)[苏教版教材例题]已知e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,a=e1+2e2,b=5e1-4e2.求证:a⊥b.变式探究本例(1)中,若非零向量a,b的夹角为60°,且|a|=|b|,当(a+2b)⊥(ka-b)时,求实数k的值.解

因为(a+2b)⊥(ka-b),所以(a+2b)·(ka-b)=0,即k|a|2+(2k-1)a·b-2|b|2=0,规律方法

1.求平面向量夹角的方法

2.求向量的夹角,还可以结合向量线性运算、模的几何意义,利用数形结合的方法求解.本节要点归纳1.知识清单:(1)向量数量积的定义.(2)向量数量积的性质.(3)向量数量积的运算律.2.方法归纳:数形结合.3.常见误区:(1)向量夹角共起点;(2)向量数量积不满足结合律.成果验收·课堂达标检测12345678910111213141516171819A级必备知识基础练1.[探究点一(角度1)]若p与q是相反向量,且|p|=3,则p·q等于(

)A.9 B.0 C.-3 D.-9D解析

由已知得p·q=3×3×cos

180°=-9.123456789101112131415161718192.[探究点三]若平面向量a与b的夹角为120°,|a|=2,(a-2b)·(a+3b)=3,则|b|=(

)B12345678910111213141516171819A.3 B.-3 C.6 D.-6A12345678910111213141516171819D123456789101112131415161718195.(多选题)[探究点二]已知a,b,c是三个非零向量,则下列选项正确的有(

)A.|a·b|=|a||b|⇔a∥bB.a,b反向⇔a·b=-|a||b|C.a⊥b⇔|a+b|=|a-b|D.|a|=|b|⇔|a·c|=|b·c|ABC解析

A.∵a·b=|a||b|cos

θ(θ为a与b的夹角),∴由|a·b|=|a||b|及a,b为非零向量可得|cos

θ|=1,∴θ=0或π,∴a∥b且以上各步均可逆.故A正确.B.若a,b反向,则a,b的夹角为π,∴a·b=|a|·|b|cos

π=-|a||b|且以上各步均可逆.故B正确.C.当a⊥b时,在平面内任取一点O,作

=b,则以OA,OB为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩形,于是它的两对角线长相等,即有|a+b|=|a-b|.反过来,若|a+b|=|a-b|,在平面内任取一点O,作

=b,则以OA,OB为邻边的四边形为矩形,所以有a⊥b.故C正确.D.当|a|=|b|但a与c的夹角和b与c的夹角不等时,就有|a·c|≠|b·c|,反过来由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|.故D错误.12345678910111213141516171819123456789101112131415161718196.[探究点三(角度2)·2023黑龙江哈尔滨期中]已知e1,e2是单位向量,且e1·e2=0,设向量a=λe1+μe2,当λ=μ=1时,<a,e1>=

;当λ+μ=4时,|a-e1|的最小值为

.

123456789101112131415161718197.[探究点一(角度1)]如图所示,在Rt△ABC中,A=90°,AB=1,则

的值是

.

-1123456789101112131415161718198.[探究点三]已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角均为120°.求证:(a-b)⊥c.证明

(a-b)·c=a·c-b·c=|a||c|cos

120°-|b||c|cos

120°故(a-b)⊥c.123456789101112131415161718199.[探究点一(角度2)·2023山东威海检测]已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.(1)求|a+b|;(2)求向量a在向量a+b方向上的投影向量的模.12345678910111213141516171819解

(1)(2a-3b)·(2a+b)=4a2-3b2-4a·b=4×16-3×9-4a·b=61,解得a·b=-6.∴|a+b|2=a2+b2+2a·b=16+9-12=13,12345678910111213141516171819A.等腰三角形

B.直角三角形C.等边三角形

D.等腰直角三角形B级关键能力提升练A1234567891011121314151617181911.已知平面向量a,b,|a|=2,|b|=1,则|a-b|的最大值为(

)A.1 B.2 C.3 D.5C1234567891011121314151617181912.(多选题)设a,b,c是任意的非零向量,且它们相互不共线,给出下列四个选项,其中正确的有(

)A.a·c-b·c=(a-b)·cB.(b·c)·a-(c·a)·b不与c垂直C.|a|-|b|<|a-b|D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2ACD

解析

根据向量数量积的分配律知,A正确;因为[(b·c)·a-(c·a)·b]·c=(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0,所以(b·c)·a-(c·a)·b与c垂直,B错误;因为a,b不共线,所以|a|,|b|,|a-b|组成三角形三边,所以|a|-|b|<|a-b|成立,C正确;根据向量数量积的分配律以及性质知,D正确.123456789101112131415161718191234567891011121314151617181913.(多选题)已知正三角形ABC的边长为2,设,则下列结论正确的是(

)A.|a+b|=1 B.a⊥bC.(4a+b)⊥b D.a·b=-1CD

解析

由题意知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角是120°,故B错误;(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=3,∴|a+b|=,故A错误;(4a+b)·b=4a·b+b2=4×1×2×cos

120°+4=0,∴(4a+b)⊥b,故C正确;a·b=1×2×cos

120°=-1,故D正确.1234567891011121314151617181914.已知a,b是单位向量,c=a+2b且a⊥c,则a·b=

,|c|=

.

1234567891011121314151617181915.已知向量e1,e2分别是与向量a,b方向相同的单位向量,若a·b=-9,a在b上的投影向量为-3e2,b在a上的投影向量为-e1,则a与b的夹角θ=

.

120°1234567891011121314151617181912345678910111213141516171819解

∵a+b+c+d=0,∴a+b=-(c+d),∴(a+b)2=(c+d)2,即a2+2a·b+b2=c2+2c·d+d2.又a·b=c·d,∴a2+b2=c2+d2,即|a|2+|b|2=|c|2+|d|2.①同理可得|a|2+|d|