1.5.1正弦函数的图象与性质再认识课件高一下学期数学北师大版

第一章三角函数5.1正弦函数的图象与性质再认识北师大版

数学

必修第二册目录索引基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升成果验收·课堂达标检测课程标准1.会用五点法画正弦函数的图象.2.能够根据正弦函数的图象求满足条件的角的范围.3.能结合正弦函数的图象理解正弦函数的性质.4.会求正弦函数的定义域、值域、最值.5.会求正弦函数的单调区间,能根据单调性比较大小.6.会判断有关函数的奇偶性.基础落实·必备知识全过关知识点一

正弦函数的图象1.正弦函数图象的作法(1)几何法:借助单位圆获得对应的正弦函数值.(2)五点法:根据正弦曲线的基本性质,描出

,

,

,,

这五个关键点,然后用光滑曲线将它们顺次连接起来就得到正弦函数的简图.

(0,0)(π,0)(2π,0)2.正弦函数的图象正弦函数y=sinx,x∈R的图象称作正弦曲线,如图所示.名师点睛“五点法”中的“五点”是指函数图象的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点.“五点法”只是画出y=sin

x在区间[0,2π]上的图象,若x∈R,可将正弦函数在区间[0,2π]上的图象通过左右平移,每次平移2π个单位长度,得到y=sin

x,x∈R的图象.这是作正弦函数以及下一节余弦函数图象最常用的方法.过关自诊[人教A版教材例题]画出函数y=1+sinx,x∈[0,2π]的图象.解

按五个关键点列表

描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图所示.知识点二

正弦函数y=sin

x的性质

函数y=sinx定义域R

可写作(-∞,+∞)值域

奇偶性

函数

单调性在区间

上都单调递增;

在区间

上都单调递减

周期性最小正周期是

[-1,1]奇

2π最值当

时,y取最大值1;

当

时,y取最小值-1

对称轴x=+kπ,k∈Z对称中心(kπ,0),k∈Z

对称中心是一个点,不是横坐标名师点睛1.并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期性,则其周期也不一定唯一.2.正弦曲线是中心对称图形,其对称中心坐标为(kπ,0),k∈Z,即正弦曲线与x轴的所有交点;正弦曲线也是轴对称图形,其对称轴是直线x=kπ+,k∈Z,对称轴垂直于x轴,且与正弦曲线交点的纵坐标是正弦函数的最大(小)值.3.判断与正弦函数有关的函数奇偶性时,必须先检查定义域是不是关于原点的对称区间,如果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而判断函数的奇偶性;如果不是,则该函数既不是奇函数,也不是偶函数.过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)y=|sinx|,x∈R与y=sin|x|,x∈R均是周期函数,且周期为π.(

)(2)对于函数y=msinx+n(m≠0),当且仅当sinx=1时,取最大值ymax=m+n;当且仅当sinx=-1时,取最小值ymin=-m+n.(

)(3)在锐角范围内,角越大,其正弦函数值越大.(

)(4)对于正弦函数,相邻两个零点的距离大小恰好为该函数的一个周期.(

)2.[人教B版教材例题]已知sinx=t-3,x∈R,求t的取值范围.××√×解

因为-1≤sin

x≤1,所以-1≤t-3≤1,由此解得2≤t≤4.重难探究·能力素养全提升探究点一用五点法作正弦函数图象【例1】

利用“五点法”画出函数y=-2+sinx,x∈[0,2π]的图象.解

列表:描点,并用光滑的曲线连接起来,得函数y=-2+sin

x,x∈[0,2π]的图象如图所示.规律方法

用五点法画函数y=Asin

x+b(A≠0),x∈[0,2π]的图象的步骤(1)列表:(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来.变式训练1作出函数y=-2sinx(0≤x≤2π)的图象.解

列表:描点,并用光滑的曲线连接起来,如图.探究点二根据正弦函数的图象求角的范围解

作出y=sin

x在区间[0,2π]上的图象,如图所示.规律方法

利用正弦函数的图象求解满足sin

x≥a(≤a)的x的取值范围的步骤(1)作出正弦函数在区间[0,2π]上的图象;(2)作直线y=a与函数图象相交;(3)在区间[0,2π]上确定x的取值范围;(4)根据正弦函数周期性确定最终范围.变式训练2求满足下列条件的角的集合.探究点三利用正弦函数图象判断方程根的个数【例3】

判断方程sinx=lgx根的个数.解

画出函数y=sin

x和y=lg

x的图象,如图所示.由图象可知两图象有3个交点,因此,原方程有3个实数根.规律方法

与正弦函数相关方程根的个数问题探究(1)关于方程根的个数问题,往往运用数形结合的方法,将函数根的个数问题转化为函数图象的交点的个数问题.(2)正弦曲线上最高点的纵坐标都是1,最低点的纵坐标都是-1,在作图时要注意这种有界性.(3)在利用图象研究方程根的个数时,作图要精确,特别注意图象所经过的某些关键点是否包含.变式训练3判断方程sinx=-,x∈[0,2π]根的个数.解

画出直线y=-和y=sin

x在区间[0,2π]上的图象,如图所示.由图象可知两图象有2个交点,因此原方程有2个实数根.探究点四正弦函数单调性的应用角度1.求正弦函数的单调区间【例4】

(1)函数y=-3sinx+1的单调递减区间为

.

(2)若x∈[0,π],则函数y=-3sinx+1的单调递减区间为

.

规律方法

1.结合y=sin

x的图象,熟记正弦函数的单调递增区间和单调递减区间.2.对形如y=asin

x+b(a≠0)的形式的函数,当a>0时,其单调性与y=sin

x的单调性相同;当a<0时,其单调性与y=sin

x的单调性相反.变式训练4函数y=sinx+1的单调递减区间为

.

角度2.利用正弦函数单调性比较大小【例5】

比较下列三角函数值的大小:(2)sin196°与cos156°.(2)sin

196°=sin(180°+16°)=-sin

16°,cos

156°=cos(180°-24°)=-cos

24°=-sin

66°,∵0°<16°<66°<90°,且y=sin

x在0°≤x≤90°时单调递增,∴sin

16°<sin

66°,∴-sin

16°>-sin

66°,即sin

196°>cos

156°.规律方法

1.比较sin

α与sin

β的大小,可利用诱导公式把sin

α与sin

β转化为同一单调区间上的正弦值,再借助于正弦函数的单调性来进行比较.2.比较sin

α与cos

β的大小,常把cos

β转化为sin(±β)后,再依据单调性来进行比较.3.当不能将两角转化到同一单调区间上时,还可以借助于图象或值的符号来进行比较.变式训练5比较sin194°与cos110°的大小.解

∵sin

194°=sin(180°+14°)=-sin

14°,cos

110°=cos(180°-70°)=-cos

70°=-sin(90°-70°)=-sin

20°,由于0°<14°<20°<90°,而y=sin

x在0°≤x≤90°时单调递增,∴sin

14°<sin

20°,∴-sin

14°>-sin

20°,即sin

194°>cos

110°.探究点五正弦函数的周期性、奇偶性A.周期为2π的奇函数B.周期为2π的偶函数C.周期为π的奇函数D.周期为π的偶函数A规律方法

求正弦函数周期和判断奇偶性的方法(1)求正弦函数周期的方法①定义法:利用周期函数的定义求解.②图象法:通过观察函数图象求其周期.(2)判断函数的奇偶性,先看定义域是否关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系.变式训练6若函数y=2sinx+a-1是R上的奇函数,则a的值为(

)A.-1 B.1 C.0 D.2B解析

依题意f(0)=0,即a-1=0,故a=1.经检验a=1符合题意.故a的值为1.探究点六正弦函数的值域、最值【例7】

(1)求函数y=3-2sinx的最大值和最小值,并分别写出使这个函数取得最大值和最小值时x的集合.(2)求函数y=-2sin2x+5sinx-2的值域.因为-1≤sin

x≤1,所以ymin=-2×(-1)2+5×(-1)-2=-9,ymax=-2×12+5×1-2=1.故函数y=-2sin2x+5sin

x-2的值域是[-9,1].规律方法

求正弦函数值域或最值的常用方法(1)一般函数的值域求法有观察法、配方法、判别式法等,而正弦函数是函数的特殊形式,其一般方法也适用,但要结合正弦函数本身的性质.(2)求形如y=a+bsin

x(b≠0)的函数的最值或值域,一般利用正弦函数的有界性(-1≤sin

x≤1)求解,当b>0时,ymax=a+b;当b<0时,ymax=a-b.(3)求形如y=Asin2x+Bsin

x+C(A≠0)的函数的最值或值域,应利用换元法,结合正弦函数的性质、二次函数的性质求解.变式训练7(1)函数y=sin2x-3sinx+2的最小值为(

)A.2 B.0 C.-

D.6B本节要点归纳1.知识清单:(1)“五点法”作图;(2)正弦函数的基本性质;(3)正弦函数图象的应用.2.方法归纳:数形结合、转化与化归、换元法.3.常见误区:单调区间漏写k∈Z;求值域时忽视sin

x本身的范围.成果验收·课堂达标检测12345678A级必备知识基础练1.函数y=1-sinx,x∈[0,2π]的大致图象是(

)B12345678123456782.函数y=2+sinx,x∈(0,4π]的图象与直线y=2的交点的个数是(

)A.1 B.2 C.3 D.4D解析

在同一平面直角坐标系中画出函数y=2+sin

x,x∈(0,4π],直线y=2的图象(如图所示),可得两图象的交点共有4个,故选D.12345678123456783.函数y=-sin2x+sinx+1的最大值为(

)A.2 B.

C.1

D.0B123456784.(多选)下列函数是奇函数,且在区间[-