考研数学二分类模拟201

考研数学二分类模拟201一、选择题1.

定积分

A．

B．

C．

D．正确答案：B[解析]这是无界函数的反常积分，x=±1为瑕点，与求定积分一样，作变量替换x=sint，则

故选B。

2.

设则______A.f(x)=f(x+2π)B.f(x)＞f(x+2π)C.f(x)＜f(x+2π)D.当x＞0时，f(x)＞f(x+2π)；当x＜0时，f(x)＜f(x+2π)正确答案：A[解析]由题意被积函数以2π为周期且为偶函数，由周期函数的积分性质得

因此f(x+2π)-f(x)=0。故选A。

3.

设则g(x)在区间(0，2)内______A.无界B.递减C.不连续D.连续正确答案：D[解析]因为f(x)在区间[0，2]上只有一个第一类间断点(x=1为f(x)的跳跃间断点)，所以f(x)在该区间上可积，因而在该区间内必连续。故选D。

4.

设则F(x)在x=0处______A.极限存在但不连续B.连续但不可导C.可导D.可导性与a有关正确答案：D[解析]当x≤0时，

当x＞0时，

因为

所以F(x)在x=0处连续。而

即F(x)在x=0处的可导性与a有关。故选D。

5.

设则______A.F(x)在x=0处不连续B.F(x)在(-∞，+∞)内连续，但在x=0处不可导C.F(x)在(-∞，+∞)内可导，且满足F'(x)=f(x)D.F(x)在(-∞，+∞)内可导，但不一定满足F'(x)=f(x)正确答案：B[解析]方法一：关于具有跳跃间断点的函数的变限积分，有下述定理。

设f(x)在[a，b]上除点c∈(a，b)外的其他点都连续，且x=c为f(x)的跳跃间断点。又设则：

①F(x)在[a，b]上必连续；

②当x∈[a，b]且x≠c时，F'(x)=f(x)；

③F'(c)不存在，且F'+(c)=f(c+)，F'-(c)=f(c-)。

直接利用上述结论(本题中的c=0)，故选B。

方法二：当x＜0时，当x＞0时，当x=0时，F(0)=0。综上所述，F(x)=|x|。

显然，F(x)在(-∞，+∞)内连续。而

故F(x)在x=0处不可导。故选B。

6.

设函数则______A.x=π是F(x)的跳跃间断点B.x=π是F(x)的可去间断点C.F(x)在x=π处连续不可导D.F(x)在x=π处可导正确答案：C[解析]因为

可见F(π-0)=F(π+0)，所以F(x)在x=π处是连续的。

由于

可知F'-(π)≠F'+(π)，所以F(x)在x=π处是不可导的。故选C。

二、填空题1.

已知曲线y=f(x)过点且其上任一点(x，y)处的切线斜率为xln(1+x2)，则f(x)=______。正确答案：[解析]由题设可知则

2.

正确答案：-4π[解析]令原式为

3.

正确答案：[解析]方法一：令x-1=sint，则

方法二：该定积分表示的是圆(x-1)2+y2=1与x轴，x=0，x=1所围成的图形的面积，即圆面积的故原式=

4.

正确答案：0[解析]方法一：令

In=∫e-xsinnxdx=-e-xsinnx+n∫e-xcosnxdx

=-e-xsinnx-ne-xcosnx-n2I。

所以

则有

方法二：

那么

则故

5.

正确答案：[解析]令则

6.

正确答案：[解析]已知函数可化为

所以

7.

正确答案：[解析]由题设知

在区间上，x3cos2x是奇函数，sin2xcos2x是偶函数，故

所以，

8.

正确答案：[解析]

9.

设a＞0，则正确答案：[解析]由题干可知，原式可化为

因为是奇函数，所以

根据定积分的几何意义可得(半径为a的半圆的面积)。所以

10.

正确答案：[解析]令x-1=t，则有

三、解答题1.

设f(x)在[-π，π]上连续，且求f(x)。正确答案：解：由于存在，且记为A，于是可得，

则有

从而有

对等式右边积分，令x=π-t。当x=0时，t=π；当x=π时，t=0。于是

则有

从而

2.

正确答案：解：使用分部积分法和换元积分法。

其中由题意，f(1)=0，因此

3.

正确答案：解：f'(x)=-e-(x-1)2，由分部积分公式可得

4.

设f'(x)=arcsin(x-1)2，f(0)=0，求正确答案：解：由题意

令(x-1)2=t，则上式可化为

5.

已知f'(2)=0及正确答案：解：

6.

设函数定义函数列：

f1(x)=fx)，f2(x)=f[f1(x)]，…，fn(x)=f[fn-1(x)]，…。

记Sn是由曲线y=fn(x)，直线x=1及x轴所围成平面图形的面积，求极限正确答案：解：

故

7.

设f(x)在[a，b]上有二阶连续导数，证明

正确答案：证明：连续利用分部积分法有

移项并整理得

8.

(Ⅰ)设f(x)在(-∞，+∞)上连续，证明f(x)是以l(l＞0)为周期的周期函数的充要条件是对任意a∈(-∞，+∞)恒有

(Ⅱ)正确答案：解：(Ⅰ)必要性：设由题设

φ'(a)=f(a+l)-f(a)=0，

则φ(a)=c(常数)。设a=0，则c=φ(0)=0，那么

充分性：在两边对a求导，得f(a+l)-f(a)=0，故f(x)以l为周期。

(Ⅱ)利用上述性质，将原区间变换成对称区间，从而利于使用函数的奇偶性，于是

在上式第2项中作变量替换x=π-t，即可化为第1项，故

9.

设函数f(x)在[0，π]上连续，且证明在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0。正确答案：证明：方法一：令0≤x≤π，有F(0)=0，由题设有F(π)=0。

又由题设用分部积分，有

由积分中值定理知，存在ξ∈(0，π)，使得

因为ξ∈(0，π)，sinξ≠0，所以推知存在ξ∈(0，π)，使得F(ξ)=0。再在区间[0，ξ]与[ξ，π]上对F(x)用罗尔定理，推知存在ξ1∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，π)，使得F'(ξ1)=0，F'(ξ2)=0，即f(ξ1)=0，f(ξ2)=0。

方法二：令0≤x≤π，由可知F(0)=F(π)=0，则由罗尔定理可得，存在ξ1∈(0，π)，使f(ξ1)=0。

若在区间(0，π)内f(x)仅有一个零点ξ1，则在区间(0，ξ1)与(ξ1，π)内f(x)异号。不妨设在(0，ξ1)内f(x)＞0，在(ξ1，π)内f(x)＜0。于是由有

当0＜x＜ξ1时，cosx＞cosξ1，f(x)(cosx-cosξ1)＞0；当ξ1＜x＜π时，cosx＜cosξ1，仍有f(x)(cosx-cosξ1)＞0，得到0＞0，矛盾。此矛盾证明了f(x)在(0，π)仅有1个零点的假设不正确，故在(0，π)内f(x)至少有2个不同的零点。[解析]要得到f(x)在(0，π)内至少存在两个不同的零点，可以对f(x)的原函数F(x)=在两个不同的区间上运用罗尔定理，使用定理的关键是找到F(x)在三个不同的点函数值相同。也可以采取另一种思路：首先由可以得到f(x)在(0，π)内至少存在一个零点，接下来可以反证，假设f(x)的零点是唯一的，进而推出矛盾。

10.

设f(x)在[0，+∞)连续，且

证明至少存在一点ξ∈(0，