高二数学试题及答案

高二数学试题及答案一、选择题1.若函数$f(x)=\sqrt{1x^2}$的定义域为$A$，则$A$的范围是（）A.$1\leqx\leq1$B.$1<x<1$C.$x\leq1$或$x\geq1$D.$x<1$或$x>1$2.已知集合$A=\{x|x^25x+6<0\}$，$B=\{x|x^23x4\leq0\}$，则$A\capB$的结果是（）A.$\{x|2<x<3\}$B.$\{x|1<x<4\}$C.$\{x|2<x\leq3\}$D.$\{x|1<x\leq4\}$3.已知函数$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，若$x\in(0,1)$，则$f(x)$的取值范围是（）A.$(0,1)$B.$(0,1]$C.$[0,1)$D.$[0,1]$4.若$a>b$，则下列不等式中成立的是（）A.$a^2>b^2$B.$\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$C.$a^3>b^3$D.$\sqrt{a}>\sqrt{b}$5.已知函数$f(x)=x^33x$，则$f(x)$在$x=1$处的切线方程是（）A.$y=x2$B.$y=x+2$C.$y=2x2$D.$y=2x+2$二、填空题6.已知函数$f(x)=x^22x+1$，若$f(x)$的值域为$A$，则$A$的范围是________。7.已知函数$f(x)=\frac{1}{x+1}$，若$x\in(1,0)$，则$f(x)$的取值范围是________。8.已知函数$f(x)=x^33x^2+2$，若$f(x)$在$x=2$处取得极值，则该极值为________。9.已知函数$f(x)=\sqrt{x^24x+4}$，若$f(x)$的定义域为$A$，则$A$的范围是________。10.已知函数$f(x)=\frac{1}{x1}$，若$x\in(1,2)$，则$f(x)$的取值范围是________。三、解答题11.已知函数$f(x)=x^24x+3$，求$f(x)$的单调区间。12.已知函数$f(x)=\frac{1}{x2}$，求$f(x)$的定义域。13.已知函数$f(x)=\sqrt{x^24x+4}$，求$f(x)$的值域。14.已知函数$f(x)=x^33x^2+2$，求$f(x)$在$x=2$处的导数。15.已知函数$f(x)=\frac{1}{x+1}$，求$f(x)$在$x=0$处的切线方程。高二数学试题及答案四、应用题16.某工厂生产某种产品，每天的生产成本为$C(x)=2000+50x$元，其中$x$为产品的日产量（单位：件）。已知该产品的销售价格为每件$100$元。试求：（1）该工厂的日利润函数$P(x)$；（2）当产量为多少时，该工厂的日利润最大？最大利润是多少？17.已知某商品的需求量$D$与价格$P$之间的关系为$D=2005P$。试求：（1）该商品的价格$P$在什么范围内时，需求量$D$大于$100$件；（2）当需求量$D$为$150$件时，该商品的价格$P$是多少？18.某商品的售价$P$与销售量$Q$之间的关系为$P=1002Q$。试求：（1）该商品的售价$P$在什么范围内时，销售量$Q$大于$20$件；（2）当销售量$Q$为$30$件时，该商品的售价$P$是多少？19.已知某产品的生产成本$C$与产量$x$之间的关系为$C=1000+20x$元，其中$x$为产品的日产量（单位：件）。已知该产品的销售价格为每件$50$元。试求：（1）该产品的日利润函数$P(x)$；（2）当产量为多少时，该产品的日利润最大？最大利润是多少？20.已知某商品的售价$P$与销售量$Q$之间的关系为$P=1503Q$。试求：（1）该商品的售价$P$在什么范围内时，销售量$Q$大于$50$件；（2）当销售量$Q$为$60$件时，该商品的售价$P$是多少？五、证明题21.已知函数$f(x)=x^22x+1$，证明：对于任意实数$x$，都有$f(x)\geq0$。22.已知函数$f(x)=\frac{1}{x1}$，证明：当$x\neq1$时，$f(x)$的值域为$(\infty,0)\cup(0,+\infty)$。23.已知函数$f(x)=\sqrt{x^24x+4}$，证明：对于任意实数$x$，都有$f(x)\geq0$。24.已知函数$f(x)=x^33x^2+2$，证明：当$x\in(\infty,1)\cup(2,+\infty)$时，$f(x)$单调递增；当$x\in(1,2)$时，$f(x)$单调递减。25.已知函数$f(x)=\frac{1}{x+1}$，证明：当$x\in(1,0)$时，$f(x)$单调递减；当$x\in(0,+\infty)$时，$f(x)$单调递增。答案：一、选择题1.A2.D3.C4.C5.A二、填空题6.$[0,1]$7.$(0,1]$8.极大值29.$x\leq2$10.$(0,\frac{1}{2})$三、解答题11.$f(x)$的单调递增区间为$(\infty,2)$，单调递减区间为$(2,+\infty)$。12.$f(x)$的定义域为$x\neq2$。13.$f(x)$的值域为$[0,+\infty)$。14.$f'(2)=6$。15.$y=x+1$。四、应用题16.（1）$P(x)=100x(2000+50x)=50x2000$；（2）当$x=40$时，最大利润为$1000$元。17.（1）$P<20$；（2）$P=30$元。18.（1）$P>60$；（2）$P=60$元。19.（1）$P(x)=50x(1000+20x)=30x1000$；（2）当$x=50$时，最大利润为$500$元。20.（1）$P<60$；（2）$P=30$元。五、证明题21.证明：$f(x)=(x1)^2\geq0$。22.证明：当$x\neq1$时，$f(x)$无定义，故$f(x)$的值域为$(\infty,0)\cup(0,+\infty)$。23.证明：$f(x)=\sqrt{(x2)^2}\geq0$。24.证明：$f'(x)=3x^26x$，当$x\in(\infty,1)\cup(2,+\infty)$时，$f'(x)>0$；当$x\in(1,2)$时，$f'(x)<0$。25.证明：$f'(x)=\frac{1}{(x+1)^2}$，当$x\in(1,0)$时，$f'(x)<0$；当$x\in(0,+\infty)$时，$f'(x)>0$。高二数学试题及答案六、综合题26.已知函数$f(x)=x^33x^2+2$，求$f(x)$的单调区间和极值点。27.已知函数$f(x)=\sqrt{x^24x+4}$，求$f(x)$的单调区间和极值点。28.已知函数$f(x)=\frac{1}{x+1}$，求$f(x)$的单调区间和极值点。29.已知函数$f(x)=x^22x+1$，求$f(x)$的单调区间和极值点。30.已知函数$f(x)=\frac{1}{x2}$，求$f(x)$的单调区间和极值点。七、作图题31.作出函数$f(x)=x^33x^2+2$的图像，并标出其单调区间和极值点。32.作出函数$f(x)=\sqrt{x^24x+4}$的图像，并标出其单调区间和极值点。33.作出函数$f(x)=\frac{1}{x+1}$的图像，并标出其单调区间和极值点。34.作出函数$f(x)=x^22x+1$的图像，并标出其单调区间和极值点。35.作出函数$f(x)=\frac{1}{x2}$的图像，并标出其单调区间和极值点。八、开放题36.已知函数$f(x)=x^23x+2$，求证：$f(x)$在实数范围内有且仅有一个零点。37.已知函数$f(x)=\sqrt{x^24x+4}$，求证：$f(x)$在实数范围内无零点。38.已知函数$f(x)=\frac{1}{x+1}$，求证：$f(x)$在实数范围内无零点。39.已知函数$f(x)=x^22x+1$，求证：$f(x)$在实数范围内有且仅有一个零点。40.已知函数$f(x)=\frac{1}{x2}$，求证：$f(x)$在实数范围内无零点。答案：六、综合题26.$f(x)$的单调递增区间为$(\infty,1)\cup(2,+\infty)$，单调递减区间为$(1,2)$；极值点为$x=1$（极大值点），$x=2$（极小值点）。27.$f(x)$的单调递增区间为$(\infty,2)$，单调递减区间为$(2,+\infty)$；无极值点。28.$f(x)$的单调递增区间为$(\infty,1)$，单调递减区间为$(1,+\infty)$；无极值点。29.$f(x)$的单调递增区间为$(\infty,1)\cup(1,+\infty)$，单调递减区间为$(1,1)$；极值点为$x=1$（极小值点）。30.$f(x)$的单调递增区间为$(\infty,2)$，单调递减区间为$(2,+\infty)$；无极值点。七、作图题31.图像略，标出单调区间和极值点。32.图像略，标出单调区间和极值点。33.图像略，标出单调区间和极值点。34.图像略，标出单调区间和极值点。35.图像略，标出单调区间和极值点。八、开放题36.证明：$f(x)=x^23x+2$的判别式$\Delta=(3)^24\cdot1\cdot2=98=1>0$，故$f(x)$有两个不同的实数根。但由于$f(x)$是二次函数，且开口向上，故$f(x)$在实数范围内有且仅有一个零点。37.证明：$f(x)=\sqrt{x^24x+4}$是非负的，且当$x=2$时，$f(x)=0$。由于$f(x)$的定义域为$x\leq2$，故$f(x)$在实数范围内