2021届高中数学二轮复习大题1数列理含解析

1数列（理）一、典例例1．已知为等差数列，为等比数列，的前项和为，且，，．（1）求数列，的通项公式；（2）设，为数列的前项和，求．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，所以，，，解得或(舍去)，则，．（2）因为，所以①①，得②①-②，得，故．例2．已知等差数列为递减数列且首项，等比数列前三项依次为，，．（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前n项和．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）设等差数列的公差为，由题意得，或（舍），，又，，公比，．（2），，，．例3．已知数列为等比数列，，其中，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设数列的公比为，因为，所以，，因为是和的等差中项，所以．所以，化简得，因为公比，所以，所以，所以．（2）因为，所以，，所以，即．二、模拟练习1．已知等比数列的前项和为，给出条件：①；②，且．若__________，请在这两个条件中选一个填入上面的横线上并解答．（1）求的值及数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）选条件①，方法一：当时，；当时，由，得，．因为数列是等比数列，所以，即，所以数列的通项公式为，．方法二：当时，，当时，，当时，，所以，等比数列的公比为，当时，．满足，则，解得．所以，．选条件②，方法一：当时，由，可得，两式相减得，即，因为数列是等比数列，且，所以数列的通项公式为，，又当时，，解得．方法二：当时，，当时，，，所以，等比数列的公比为，且，，所以，解得．（2）由（1）可知，，即因此，．2．在①；②；③，，．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题．问题：已知数列满足______（），若，求数列的前项和．【答案】．【解析】若选①：因为，①所以当时，，②①②，得，即，所以数列为等比数列，当时，，解得，所以．所以，所以，③，④③④，得，所以．若选②：因为，①，所以当时，，当时，，②①②，得，因为符合上式，所以对一切都成立．所以，所以，③，④③④，得，所以．若选③：由，，知数列是等比数列，设数列的公比为，则，即，所以，解得，所以．所以，所以，①，②①②，得，所以．3．在①，，成等差数列；②，，成等比数列；③，，成等差数列，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．已知正项等比数列的前项和为，且，______．（1）求数列的通项公式；（2）设，求的前项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）方案一：选条件①．设数列的公比为，由题意知．因为，，成等差数列，所以，所以，即，又，所以，解得（舍去）或．又，所以，所以．方案二：选条件②．设数列的公比为，由题意知．因为，，成等比数列，所以，所以，又，所以，解得（舍去）或．又，所以，所以．方案三：选条件③．设数列的公比为，由题意知．因为，，成等差数列，所以，即．又，所以，解得（舍去）或，所以，所以．（2）由（1）知，所以．4．已知数列对任意的都满足．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和为．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意，数列满足，当时，，两式相减，可得，即，又由当时，，满足上式，所以数列的通项公式为．（2）由（1）可得，所以，即数列的前项和为．5．已知等比数列的前项和为，且，数列满足，其中．（1）分别求数列和的通项公式；（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）设等比数列的公比为，由已知，可得，两式相减可得，即，整理得，可知，已知，令，得，即，解得，故等比数列的通项公式为，由，，得，那么，以上个式子相乘，可得，，又满足上式，所以的通项公式．（2）若在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，则，即为，整理得，所以，，两式相减得，所以．6．设等差数列的前n项和为，首项，且．数列的前n项和为，且满足，．（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前n项和．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）设数列的公差为d，且，又，则，所以，则，由可得，两式相减得，，又，所以，故是首项为1，公比为3的等比数列，所以．（2）设，记的前n项和为．则，，两式相减得，，所以．7．已知数列是等差数列，其前n项和为，且，．数列为等比数列，满足，．（1）求数列，的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前n项和．【答案】（1）；；（2）．【解析】（1）设数列的公差是d，数列是的公比是q．由题意得，所以，所以；∴，，∴，∴．（2）由（1）知∴．8．已知正项等比数列，满足，是与的等差中项．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（