人教版高中数学必修2-全册教案

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人教版数学必修二

第一章空间几何体重难点解析

第一章课文目录

1.1空间几何体的结构

1.2空间几何体的三视图和直观图

1.3空间几何体的表面积与体积

重难点：

1、让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。

2、画出简单组合体的三视图。

3、用斜二测画法画空间几何值的直观图。

4、柱体、锥体、台体的表面积和体积计算，台体体积公式的推导。

5、了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。

知识结构：

表面积|随

度量

1|空间几何体

gggggggg|中心投影||平行投影

gHgggg£3gf]ggi三视图।।直观图

一、空间几何体的结构、三视图和直观图

i.柱、锥、台、球的结构特征

(1)柱

棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互7

公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。

底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……

圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋:

棱柱与圆柱统称为柱体；

(2)锥

棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几1

侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。

底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……

圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何，

棱锥与圆锥统称为锥体。

(3)台

棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截.

圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截.

圆台和棱台统称为台体。

(4)球

以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的

(5)组合体

由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。

几种常凸多面体间的关系

一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质:

平行于底面的截面与底面全等的多与底面全等的多与底面全等的正2

名称棱锥正棱锥棱台正棱台

图形

定义有一个面是多£底/2

相夕，愣才

侧棱相交于一点但二虫》

侧面的理三角形全等的等腰三7梯形全等的等腰梯于

对角面悭三角形等腰三角形梯形等腰梯形

平行于房与底面相似的二与底面相似的1与底面相似的1与底面相似的工

其他性质高过底面中心;两底中心连线艮

几种特殊四棱柱的特殊性质:

名称特殊性质

平行六面体底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于

直平行六面体侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对保

长方体底面和侧面都是矩形；四条对角线相等，交于

正方体棱长都相等，各面都是正方形四条对角线相等

2.空间几何体的三视图

三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。

他具体包括：

（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图;

它能反映物体的高度和长度；

（2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图;

它能反映物体的高度和宽度；

（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图;

它能反映物体的长度和宽度；

三视图画法规则：

高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐

长对正：主视图与俯视图的长应对正

宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等

3.空间几何体的直观图

（1）斜二测画法

①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX,0Y,建立直角坐标系；

②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的O'X',0'Y’,使NX'oy=45°（或135°）.

③画对应图形，在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x.轴，且长度保持不变；

④擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）。

（2）平行投影与中心投影

平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点。

注意：画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一

画法的步骤。

例题讲解：

［例1］将正三棱柱截去三个角（如图1所示AB,C分别是△G”/三边的中点）得到几何体如图2,!

［例2］在正方体ABCD—ABCD中，E,F分别为棱AA”CC的中点,则在空间中与三条直线AD,EF,1

A.不存在B.有且只有两条C.有且只有三条D.有无数条

［例3］正方体ABCD_ABCD的棱长为2,点M是BC的中点，点P是平面ABCD内的一个动点，且满足I

A.圆B.双曲线C.两个点D.直线

解析：点P到AD的距离为石，则点P到AD的距离为1,满足此条件的P的轨迹是到直线ADE

又PM=2,.,.满足此条件的P的轨迹是以M为圆心，半径为2的圆，这两种轨迹只有两个交点

故点P的轨迹是两个点。选项为C。

点评：该题考察空间内平面轨迹的形成过程，考察了空间想象能力。

［例4］两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面AB

A.1个B.2个C.3个D.无穷多个

解析：由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD中心，有对彳

接正方形有多少种，所以选D。

点评：本题主要考查空间想象能力，以及正四棱锥的体积。正方体是大家熟悉的几何体，它的一

题型2：空间几何体的定义

［例5］长方体A6CO—A4G。的8个顶点在同一个球面上，且AB=2,AD=g,

A41=l,则顶点A、B间的球面距离是（

A.农三B.立卫C.缶D.2缶

42

解析：BD、=AC】=2R=2血,：.R=应,设

BDtAC,=0,则OA=OB=R=立,

n/A0B=Z,:.l=Re=6义三，故选

22

点评：抓住本质的东西来进行判断，对于信息要进行加工再利用。

［例6］已知直线m,n和平面口,万满足机_L_La,a_L/?,则()

A.nL/38.〃〃尸，或〃u4C.n±<zD.nHa、或nua

解析：易知D正确.

点评：对于空间几何体的定义要有深刻的认识，掌握它们并能判断它们的性质。

题型3：空间几何体中的想象能力

［例7］如图所示，四棱锥的底面43co是边长为1的菱形，ZBCD=60°,

E是CD的中点，PA1底面ABCD,24=6。

(I)证明：平面PBEL平面PAB；

(II)求二面角A—BE—P和的大小。

解析：解法一(I)如图所示，连结BD,由ABCD是菱形且NBCr>=60°

△BCD是等边三角形,因为E是CD的中点，所以

BE±CD,又AB//C。，所以BE±AB,

又因为PAL平面ABCD,BEu平面ABCD,

所以PA_L8E,而PAAB=A因此BE,平面PAB.

又BEu平面PBE,所以平面PBE,平面PAB.

(II)由(I)知，BE_L平面PAB,PBu平面PAB,所以PBLBE.

又ABLBE,所以NPR4是二面角A—8E—尸的平面角.

PAL

在RtZX/MB中，tanZPBA=——=V3,ZP5A=60..

AB

故二面角A—BE—尸的大小为60.

解法二：如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是

4(0,0,0),B(l,0,0),eg，孚0),吗,孚0),2(0,0,6),矶1考,0).

(I)因为8后=(0,巳-,0),平面PAB的一个法向量是%=(0,1,0),所以BE和％共线.

从而6E_L平面PAB.又因为BEu平面PBE,所以平面PBEL平面PAB.

(II)易知P5=(l,0,-百),5E=(0,9,0),设〃।=(“x，Z。是平面PBE的一个法向量,

f„ng=0\xl+Qxy]-y/3z]=Q,

则由《1，得《所以凹=0,%=岛.

nx•BE=0Oxxj+——y+0xZ]=0

、2

故可取勺=(0,0,1).而平面ABE的一个法向量是巧=(0,0,1).

于是，cos<勺,%>=

2

1nli|4I

故二面角A—BE—P的大小为60.

点评：解决此类题目的关键是将平面图形恢复成空间图形，较强的考察了空间想象能力。

[例8]如图，在三棱锥P—ABC中，AC=BC=2,乙4c8=90,AP=BP=AB,PC±AC.

(I)求证：PC±AB;

(II)求二面角B—AP-C的大小.

解析：

解法一：

(I)取AB中点。，连结PDCD.

AP=BP,

.-.PDA.AB.

AC=BC,

.-.CD1AB.

PDCD=D,

:.ABL平面PCD.

PCu平面PC。，

:.PC±AB.

(II)AC^BC,AP=BP,

.-.△APC^ABPC.

又PC上AC,

P

:.PC±BC.

又ZACB=90,即ACL5C,且ACPC=C,

.•.8C_L平面PAC.

取AP中点E.连结BE,CE.C

AB=BP,:.BE±AP.

EC是BE在平面PAC内的射影，

:.CEVAP.

N8EC是二面角5-AP-C的平面角.

在△BCE中，ZBCE=90,BC=2BE=—AB=46,

2

BCV6

..sin/BEC==—.

BE3

二面角B-AP—C的大小为arcsin-

解法二：

(I)AC=BC,AP=BP,

.-.△APC^ABPC.

又PCLAC,

:.PC±BC.

ACBC=C,

.•.PC_L平面ABC.

ABu平面ABC,

:.PCA.AB.

(H)如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-孙z.

贝1JC(O,O,O),A(0,2,0),3(2,0。).

设P(0,0,t).

\PB\=\AB\=2y/2,

:.t=2,尸(0,0,2).

取AP中点E,连结6ECE.

|AC|=|PC|,\AB\=\BP\,

:.CE±AP,BELAP.

.•.NBEC是二面角3—AP—C的平面角.

ECEB2_

/.cos/BEC=

MHV276-3

73

.,・二面角AP-C的大小为arccos

点评：在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键。通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象

［例9］画正五棱柱的直观图，使底面边长为3cm侧棱长为5cm。

解析：先作底面正五边形的直观图，再沿平行于Z轴方向平移即可得。

作法：

(1)画轴：画X',Y',Z'轴，使NX'O'Y'=45°(或135°),NX'O'Z'=90°。

(2)画底面：按X'轴，X'轴画正五边形的直观图ABCDE。

(3)画侧棱：过A、B、C、D、E各点分别作Z'轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA',

(4)成图：顺次连结A',B',C',D',F',加以整理，去掉辅助线，改被遮挡的部分为感

点评：用此方法可以依次画出棱锥、棱柱、棱台等多面体的直观图。

［例10］AA'3'C'是正AABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若AA'3'C'的面积为石，那么△/

解析：2屈。

点评：该题属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对应关

[例11]如图，在棱长为1的正方体ABCD-AB'C'D中，AP=BQ=b(0<b<l),截面PQEF〃A'O,截面

(I)证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直;D'

(II)证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值,

并求出这个值;

(III)若与平面PQEF所成的角为45,求与平A

面PQGH所成角的正弦值.

本小题主要考查空间中的线面关系，面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑思维

解析：

解法一：

(I)证明：在正方体中，AD'YAD,AD'LAB,又由已知可得

PF//AD,PH//Ad,PQ//AB,

所以PH上PF,PHLPQ,

所以平面PQEb.

所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直.

(H)证明：由(I)知

PF=y[2AP,PH=y[2PA!,又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1,所以截面PQEF和截面PQGF

(6AP+6PA')XPQ=6,是定值.

(III)解：连结BC'交EQ于点M.

因为PQ//AB,

所以平面ABC77和平面PQGH互相平行，因此疗石与平面PQGH所成角与D'E与平面ABC'。'所成角相

与(I)同理可证EQL平面PQGH,可知EM,平面ABC'D,因此EM与。E的比值就是所求的正弦值.

设4y交PF于点N,连结EN,由£0=1-人知

ZXE=4+2,ND，=与十言(1—b).

因为A0，平面PQEF,又已知与平面PQEF成45角,

所以。£=&N。'，即=,(13+2,

解得b=-,可知E为BC中点.

2

所以EM=?,又DE=J(1—4+2=1，

EM

故O'E与平面PQCH所成角的正弦值为

解法二:

以D为原点，射线DA,DC,DD'分别为x,y,z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D-xyz由已:

A(l,0,0),A'(l,0,l),£>(0,0,0),。(0,0,1),

P(l,0,b),2(1,1,b),Ed-b,1,0),

尸(1—40,0),GS，L1),"(40,1).

(I)证明：在所建立的坐标系中，可得

PQ=(0,1,0),PF=(一b,O,-b),

PH=(b-1,QA-b),

因为AZ>'F2=0,A。'P尸=0,所以A。'是平面PQEF的法向量.

因为A'£>・fE0,A。PH=0,所以是平面PQGH的法向量.

因为AD'A'£>=0,所以ADJLA。,

所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直.

(H)证明：因为瓦'=((),—1,0),所以E/〃P0所|=|P0,又P/FPQ,所以PQEF为矩形，同理I

在所建立的坐标系中可求得归川=夜(1-份，\PF\=y/2b,

所以归H|+|P目=0,又|P0=1,

所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为0,是定值.

(III)解：由已知得。'E与A。'成45角,又。'E=(l—印,一1),AD'=(—1,0,1)可得

D'EA。'b—2_V|

\D'E^AD'\伍/(13+22

2-b

即解得

J(l-方+2

所以O'E=［g,l,—11,又47)=(-1,0,-1),所以DE与平面PQGH所成角的正弦值为

|cos<D'E,A'D>|=—=—.

6

2

点评：考查知识立足课本，对空间想象能力、分析问题的能力、操作能力和思维的灵活性等方面

［例12］多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面a内，其

距离可能是：①3；②4；③5；④6；⑤7

以上结论正确的为(写出所有正确结论的编号)

解析：如图，B、D、Ai到平面a的距离分别为1、2、4,则D、A,

到平面a的距离为2,所以C到平面a的距离为3；C、A1的中点到平

2

点评：该题将计算蕴涵于射影知识中，属于难得的综合题目。

［例13］(1)画出下列几何体的三视图

解析：「\，的三视图如下

⑵，♦“方向为物体正前方,V7试画出它的三视图(单

点评：画三视图之前，应把几何焉飙弄袅4择一个合适的主视方向。一般先画主视图，

射规律。

［例14］某物体的三视图如下，试判断该几何体的形状

解析：该几何体为一个正四棱锥分析：三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图。

点评：主视图反映物体的主要形状特征，主要体现物体的长和高，不反映物体的宽。而俯视图和

二、空间几何体的表面积和体积

1.多面体的面积和体积公式：

名称侧面积(S®)全面积(S/)体积(V)

棱棱柱直截面周长XIS底•h=S直截面•h

S何+2S底

柱直棱柱chS底•h

棱锥各侧面积之和

棱1c1

S侧+S底>.h

锥正棱锥-ch,

2

棱棱台各侧面面积之和]_________

,1/,、L，—S"S上底+S下底,h(S上底+S下底+Js下底.S下底

台正棱台-(c+c')h'3

|2I

表中S表示面积，c'、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，hz表示斜高，1表示侧棱长。

2.旋转体的面积和体积公式:

名称圆柱圆锥圆台球

JTrl

s例2nrln(r,+r2)1

2

S全2nr(l+r)冗r(1+r)n(r,+r2)1+n(r\+r；4nR

Vnr?h(即nr2l)-nr2h-Jih(r2i+rir+r22)-JiR3

3323

表中1、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，n、R分别表示圆台上、下4

3.探究柱、锥、台的体积公式：

1、棱柱(圆柱)可由多边形(圆)沿某一方向平移得到，因此，两个底面积相等、高也相等的木

柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积5和高/?的积，即V柱体=S/z.

2、类似于柱体，底面积相等、高也相等的两个锥体，它们的体积也相等.棱锥的体积公式可把一

3、台体(棱台、圆台)的体积可以转化为锥体的体积来计算.如果台体的上、下底面面积分别)

4、柱体、锥体、台体的体积公式之间关系如下：

/体=Shu(S=S)%体=；/z(S+后+S')(S'=0)n腺体=gS/2.

4.探究球的体积与面积公式：

1.球的体积:

(1)比较半球的体积与其等底等高的旋转体的体积

结论：1帷杵

laltB[si不王

(2)利用“倒沙实验”，探索底面半径和高都为球半径的圆柱、圆锥与半球三者体积之间的关系(课

结论：4%=唳柱—~锥=成2出—彳成2.氏书戒3

(3)得到半径是R的球的体积公式：

结论：％=伴成3

2.球的表面积：

由于球的表面是曲面，不是平面，所以球的表面积无法利用展开图来求.该如何求球的表面积公

(1)若将球表面平均分割成n个小块，则每小块表面可近似看作一个平面，这n小块平面面积

(2)若每小块表面看作一个平面，将每小块平面作为底面，球心作为顶点便得到n个棱锥，这1

(3)半径为R的球的表面积公式：

结论：S球=

例题讲解：

[例1]一个长方体全面积是20cm之，所有棱长的和是24cm,求长方体的对角线长.

解析：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycniszcnis1cm

2(xy+yz+zx)=20(1)

依题意得:

4(x+y+z)=24⑵

由(2)z得:x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36(3)

由(3)—(1)得x'+J+zJlG

即y=16

所以1=4(cm)o

点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被

［例2］如图1所示，在平行六面体ABCD—ABCD中，已知AB=5,AD=4,AA,=3,AB±AD,ZA1AB=ZA1/

(1)求证：顶点由在底面ABCD上的射影0在/BAD的平分线上;

(2)求这个平行六面体的体积。

解析：(1)如图2,连结AQ,则AQ_L底面ABCD。作OMLAB交AB于M,作ONLAD交AD于N,i

ARtAA.NA^RtAAJlA,.,.A.M=A^,

从而OM=ONo

二点。在/BAD的平分线上。

JI13

(2)VAM=AAcos-=3X-=-

I322

.\A0--^-=-V2o

兀2

cos

4

Q9

又在RtZ\A0Ai中，AQJAA「-A02=9--=-,

22

...AQ=述，平行六面体的体积为V=5x4x迪=30后。

22

［例3］一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是直,迷，这个长方体对角线的长是（）

A.2百B.372C.6D.V6

解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a=l,b=V2,c=V3,则对角线1的长为1=序石

点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素一棱长。

［例4］如图，三棱柱ABC—ABG中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB£将三棱柱分成体积为1

解析：设三棱柱的高为h,上下底的面积为S,体积为V,则V叫+V2=Sh

VEsF分别为AB、AC的中点,

••SAAEF~—S,

4

V=-h(S+-S+J5--)=—Sh

134V412

V,=Sh-V,=—Sh,

12

.•.%：V2=7:5o

点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最

题型3：锥体的体积和表面积

［例5］（2006上海，19）在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2臼

解析：（1）在四棱锥P-ABCD中，由P0_L平面ABCD,得NPB0是

在RtAAOB中B0=ABsin30°=1,由P01B0,

B

于是P0=B0tan600=百，而底面菱形的面积为2百。

，四棱锥P—ABCD的体积V=！X2若X石=2。

3

点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力方面主要

[例6](2002京皖春文，19)在三棱锥S—ABC中，ZSAB=ZSAC=ZACB=90°,且AC：

(I)证明：SC±BC；

(II)求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；

(III)求三棱锥的体积Vs-ABC。

解析：(I)证明：VZSAB=ZSAC=90°,

；.SA±AB,SA±ACO

又ABDAC=A,

，SA_L平面ABCo

由于NACB=90°,即BCLAC,由三垂线定理，得SC_LBC。

(II),/BC±AC,SC±BCo

/.ZSCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角。

在RtaSCB中，BC=5,SB=5逐，得Sc/SB?—欣丁=10。

AC5I

在Rt^SAC中AC=5,SC=10,cosSCA=——=—=-

SC102

/.ZSCA=60°,即侧面SBC与底面ABC所成的二面角的大小为60°。

(III)解：在RtASAC中，

22

SA=7SC2-AC2=710-5=V75,

SAA^-•AC•BC=-X5X5=—,

222

.,.V_=--SAACB-SA=-x—

SABC3326

点评：本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系。要求对图形必须具备一定的洞察力,

题型4：锥体体积、表面积综合问题

[例7]ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，J

解析：如图，取EF的中点0,连接GB、GO、CD、FB构造三棱锥B—EFG。

G

设点B到平面EFG的距离为h,BD=,EF,C0=

而GCJ_平面ABCD,且GC=2。

由，得

点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点B为顶点,

[例8](2006江西理，12)如图，在四面体ABCD中，截面AEF经:

BEFD与三棱锥A-EFC的表面积分别是s2,则必有()

A.S,<S2B.S>S2

C.S!=S2D.S.,Sz的大小关系不能确定

解析：连0A、OB、OC、0D,

则VA-BEFD~VO-ABDVo-ABE-bVo-BEFD

VA-EFC=VQ-ADCH-Vo-AEC-1-'o-EFC又VA-BEED—VA-EFC，

AABEBEPDADC

而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故SBD+S+S=S+SAEc+SEFc又面AEF公共

点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、表面积首

[例9](2002北京理，18)如图9—24,在多面体ABCD—ABCD中，上、下底面平行且均为矩形，相

两底面间的距离为ho

(I)求侧面ABBA与底面ABCD所成二面角的大小；

(II)证明：EF〃面ABCD；

(III)在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V/S中强面来计算.已知它的体积公式是1

(注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面)

(I)解：过B£作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ,过Bi作RGLPQ,

如图所示:•.•平面ABCD〃平面ABCD,NABC=90°,

/.AB1PQ,AB1B.P.

ZB,PG为所求二面角的平面角.过G作CHLPQ,垂足为H.由于相对侧面与底面所成二面角的3

12/z

PG=—(b—d),又BG=h,tanBiPG=----(b>d),

2b—d

2h2/i

ZB,PG=arctan----,即所求二面角的大小为arctan-----

b-db-d

（II）证明：：AB,CD是矩形ABCD的一组对边，有AB〃CD,

又CD是面ABCD与面CDEF的交线，

，AB〃面CDEFo

：EF是面ABFE与面CDEF的交线，

.•.AB〃EF。

：AB是平面ABCD内的一条直线，EF在平面ABCD外，

：.EF〃面ABCD。

（III）Vft<Vo

证明：'.'a>c,b>d,

h4+cb+da+cb+d.

・・・V-V/—(cd+"+4-----------h

62丁)一丁2

h

-一[2cd+2ab+2(a+c)(b+d)—3(a+c)(b+d)]

12

h

=——(a-c)(b—d)>0

12o

AVft<Vo

点评：该题背景较新颖，把求二面角的大小与证明线、面平行这一常规运算置于非规则几何体（

题，是极具实际意义的问题。考查了考生继续学习的潜能。

[例10]（1）（1998全国，9）如果棱台的两底面积分别是S、S',中截面的面积是S。，那么（）

,

A.2瓜=如+^B.S0=4^C.2S0=S+SD.S；=2S'S

（2）（1994全国，7）已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为2,则其体积为（

A.326B.28V3C.2473D.20百

解析：

（1）解析：设该棱台为正棱台来解即可，答案为A；

77C

（2）正六棱台上下底面面积分别为：S上=6­—•22=6A/3,S=6­—-42=24A/3,丫台=-

4T4：

点评：本题考查棱台的中截面问题。根据选择题的特点本题选用“特例法”来解，此种解法在解

题型6:圆柱的体积、表面积及其综合问题

[例11]（2000全国理，9）一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比

,1+2乃c1+4万八1+2乃、1+4乃

A.----B.-----C.-----D.-----

2〃4乃712%

解析：设圆柱的底面半径为r,高为h,则由题设知h=2nr.

222222

.,.S金=2nr+（2nr）=2nr（1+2n）.SS|=h=4nr,

.•.屋=11交。答案为A。

Sf®]2兀

点评：本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识。

[例12]（2003京春理13,文14）如图9—9,一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放.

(1)(2)

4

解析：水面高度升高r,则圆柱体积增加nR2-r。恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有彳

点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。

[例13]（1）（2002京皖春，7）在AABC中，AB=2,BC=1.5,ZABC=120°（如图所示），若将AABC2

9753

A.nB.—JTC.—nD.——JT

2222

（2）（2001全国文，3）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为6,则这个圆锥的全面积是'

A.3nB.3V3nC.6nD.9n

解析：（1）如图所示，该旋转体的体积为圆锥C—ADE与圆锥B—ADE体积之差,

V=K-V=--7T,答案Do

C-ALD)tE,DB—AAUDC.E3232

图

(2)VS=-absin6,?.-a2sin60°=百，

22

••Q2==4a=2,a=2r,

.*.r=l,S金=2nr+n式=2n+JI=3n,答案A。

点评：通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象

［例14］(2000全国文，12)如图所示，0A是圆锥底面中心0到母线的垂线，0A绕轴旋转一周所得曲

V22V2V2

解析：如图所示，由题意知，一”!"%=-nl^h,

36

：.丫=至.又△ABOs^CAO,/:\

.rOA/R-R4二二主亡二二

OARV2V2图

nAi

.-.cose=—=-^,答案为D。

RV2

点评：本题重点考查柱体、锥体的体积公式及灵活的运算能力。

［例15］已知过球面上A,8,C三点的截面和球心的距离为球半径的一半,且AB=6C=C4=2,求球的

解析：设截面圆心为0',连结。/,设球半径为R,

出八，426c2G

则。A=-x——x2=---,

323

在Rt\O'OA中，O*=O'A2+O'O2

：.R2=(^-f+-R2,

34

3

S-4/rR~---7To

9

点评：正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。

［例16］如图所示，球面上有四个点P、A、B、C,如果PA,PB,PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a,下

解析：如图，设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r,圆心为O',球心到该圆面的距离为d。

在三棱锥P—ABC中，VPA,PB,PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a,

.•.AB=BC=CA=J^a,且P在4ABC内的射影即是△ABC的中心O'。

由正弦定理，得-^-=2r,?.r=—ao

sin6003

又根据球的截面的性质，有00'，平面ABC,而P0'，平面ABC,

，P、0、O'共线，球的半径R7r2+屋。又pg，7PA2—产=旧一|“2=2^a,

.•.00'=R-—a=d=7/?2-r2,(R--a)2=R2-(—a)2,解得R=@a,

3332

22

.'.S冰=4nR=3nao

点评：本题也可用补形法求解。将P—ABC补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，D

[例17](2006四川文，10)如图，正四棱锥尸一ABC。底面的四个顶点4,8,C,。在球。的同一个大H

A.4〃B.8万C.12〃D.167r

(2)半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为逐，求球的表

解析：(1)如图，正四棱锥P-458底面的四个顶点A,B,C,O在球。的

(2)作轴截面如图所示,

AC

CC'=m,AC=4i•瓜=2班,

设球半径为R,

则/?2=OC2+CC，2

=(倔2+(扬2=9

R=3,

,4,

••5球=4兀R-=36%,展=—7TR—36万。

点评：本题重点考查球截面的性质以及球面积公式，解题的关键是将多面体的几何要素转化成球

[例18](1)表面积为324乃的球，其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积。

(2)正四面体ABCD的棱长为a,球0是内切球，球。是与正四面体的三个面和球0都相切的一个小

解析：(1)设球半径为R,正四棱柱底面边长为明

则作轴截面如图，AA'=i4,AC=42a,

又：4万/?2=324»,二R=9,

/.AC=VAC,2-CC,2=8>/2,/.a=8,

S&=64x2+32x14=576.

(2)如图，设球0半径为R,球a的半径为r,E为CD中点，球0与平面ACD、BCD切于点F、C

△AOF^AAEG

△AOiH^AAOF

44

匕T/求°】一§k3一铲

C

点评：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等。

[例19](1)我国首都靠近北纬40纬线，求北纬40纬线的长度等于多少加？(地球半径大约为637

(2)在半径为13C77?的球面上有A,8,C三点，AB=BC=AC^12cm,求球心到经过这三点的截面白

解析：(1)如图，A是北纬40上一点，AK是它的半径,

/.OK±AK,

设C是北纬40的纬线长,

•/ZAOB=ZOAK=40,

C=2〃•AK=2万•OA-cosz

«2x3.14x6370x0.7660«3.066x104(km)

答：北纬40纬线长约等于3.066x104kn.

(2)解：设经过A,B,C三点的截面为。O',

设球心为。，连结OO,则。。_L平面ABC,

/.O（y=>loAr-OA2=11,

所以，球心到截面距离为1lew.

A5两点的劣弧长为、

［例20］在北纬45圈上有A3两点，设该纬度圈上

解析：设北纬45圈的半径为「'贝*=苧R,

设O'为北纬45圈的圆八

：.ar=-7rR,.•①Ra造

424

：.AB=yfir=R,

2

.,.△ABC中，NAOB=一，

3

所以，A,8两点的球面距离等于2夫.

3

点评：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进而求出这

第一章检测题

1.长方体ABCD-ABCD的AB=3,AD=2,CCFI,一条绳子从A沿着表面拉到点G,绳子的最短长度是

A.V13+1B.726C.V18D.V14

2.若球的半径为R,则这个球的内接正方体的全面积等于（）

A.8R2B.9R2C.10R2D.12R2

3.边长为5cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是（

A.10cmB.5V2cmC.57-T2+1cmD