2023届高考数学一轮复习作业抛物线北师大版

抛物线

[4组在基础中考查学科功底]

一、选择题

1.（2021•衡水模拟）若抛物线〃=2,*（夕＞0）上一点尸到焦点和到抛物线对称轴的距离

分别为10和6,则抛物线的方程为（）

A.y=4xB.y=36x

C.4=4A■或了=36＞D.〃=8A■或4=32＞

C[设。（xo,%）,则刖+劳=10,jb=±6,即点。的坐标为（10一5±6）,又点尸在抛

物线y=2px±.,

・・.2《10一刍=36,即p-20p+36=0,

解得〃=2或Q=18,因此所求抛物线方程为"=4'或/=36X,故选C.]

2.（2021•泰安模拟）已知抛物线公"=2p*（夕＞0）的焦点为E0为坐标原点，OF为

菱形循尸C的一条对角线，另一条对角线比的长为2,且点8c在抛物线E上,则p=（）

A.1B.y[2C.2D.2^2

B[由题意，备1）在抛物线上，代入抛物线方程可得1=奈・••夕＞0,・“=蜴故

选B.]

3.（2020•北京高考）设抛物线的顶点为0,焦点为E准线为尸是抛物线上异于0

的一点，过户作图_L/于0,则线段用的垂直平分线（）

A.经过点0B.经过点P

C.平行于直线80.垂直于直线8

B[如图所示；

因为线段国的垂直平分线上的点到尸，0的距离相等，又点尸在抛物线上，根据定义可

知，\PQ\=\PF\,所以线段用的垂直平分线经过点尸.故选B.]

4.点玳5,3）到抛物线尸aV的准线的距离为6,那么抛物线的标准方程是（）

、21

AX=B.YJ—LvoyyY—v

-W\236y

c./=-9D.V=i2y或9=一36了

D［将尸W化为当孙）时，准线尸一5则3+5=6—・.々=今.

当水0时，准线y=—今，贝！3+务=6,

・a=」

360

，抛物线方程为f=12y或六=一36八］

5.过抛物线了=4*的焦点少且斜率为2m的直线交抛物线于力"，两点（乂>检），则帽

=（）

33

A.-B.TC.3D.2

24

D［设直线方程为尸2艰0—1）,与r=4x联立得2旅一5万十2=。，所以（2x-D（x

—2）=0,ATI=1,X2=2.因为所以必=2,%=：，

I朋卜通I2+1,

所以]

6.（2021•江西萍乡一模）已知抛物线。：7=2加（0>0）的焦点为E准线1：>=—1,

点时在抛物线。上，点材在直线八尸一1上的射影为4,且直线HP的斜率为一小，则^

M尸的面积为（）

A.小B.2^3C.4^3D.队居

C［如图所示，设准线/与x轴交于点M

则I刚=2.

;直线力产的斜率为一，5,

・••/力用-60°.

AZ.MAF=W,

|朋=4.

由抛物线的定义可得以1=1好1,

•••△4妒是边长为4的等边三角形.

**•5i4wi'—X42=4,^3.故选C.]

二、填空题

7.已知抛物线G/=2.(「>0)的焦点为尸(2,0),则抛物线，的方程是；

若“是。上一点，£"的延长线交y轴于点M且材为的中点，则I硼=________.

y=8x6[抛物线C：，=2日(0>0)的焦点为/(2,0),可得夕=4,则抛物线C的方

程是了=8x.由川为的中点，得"的横坐标为1,代入抛物线方程得y=±2啦，则,V(l,

±2^/2),则点N的坐标为(0,±4^2),所以|刚=42?+4/2=6.]

8.如图是抛物线形拱桥，当水面在/时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1

米后，水面宽米.

2乖[建立平面直角坐标系如图所示,

设抛物线方程为x2=-2py(p>0).

由题意可知抛物线过点(2,-2),

故4=4,，=1,

,,x=~2y.

故当尸一3时，，=6,即

所以当水位降1米后，水面宽2乖米.]

9.已知抛物线/=4x的焦点为用过点尸作一条直线交抛物线于48两点.若|"1

=3,则|郎|=.

3

3[法一：由题意可知尸(1,0),设力(右，％),B(xu,%)，点4在第一象限，则|"1

=照+1=3,所以必=2,所以直线48的斜率为2—=2，^.

41

(D求抛物线〃的方程;

(2)已知点G(—l,0),延长//交抛物线£于点用证明："为乙4"的平分线.

［解］(1)由抛物线定义可得1力尸|=2+曰=3,解得。=2.，抛物线后的方程为"=41

(2)证明：•・•点4(2,而在抛物线£上,

•••力=4X2,解得加=±2m，由抛物线的对称性，不妨设力(2,2*)，由力(2,24),

/(1,0),

・,・直线版的方程为y=2/(L1),

y=2y[2x—\

得2/一5x+2=0,解得x=2或)，.•.噌，一派1.

由12

J=4x，

2m

又G(—1»0),:•k&\=k(.B=

O3

・•・松+后=0,：.^AGF=Z.BGF.

・・・0为乙4。的平分线.

［8组在综合中考查关键能力］

1.已知P是抛物线，=4才上的一个动点，。是圆(万-3)2+。一］)2=1上的一个动点,

”(1，0)是一个定点，则lNl+1/Wl的最小值为()

A.3B.4C.5D.A/2+I

A［由抛物线方程"=4无可得抛物线的焦点?(1,0),又Ml,［/

0),所以N与尸重合.过圆(x—3)2+(厂1)2=1的圆心材作抛物线I,|/^\

准线的垂线MH,交圆于Q,交抛物线于P,贝I」|/初+IPN\的最小值等I

于|刈-1=3.］|f

2.(2021•济宁三模)已知抛物线C/=4x的焦点为£过点F

的直线与抛物线。的两个交点分别为4B,且满足前=2花£为力8的中点，则点£到抛物

线准线的距离为()

B［由题意得抛物线/=4彳的焦点坐标为(1,0),准线方程为x=-1,设/(x,珀,

B（X2,yz）,

'：AF=2FB,/.\AF\=2\BF\,「.M+1=2（照+1）,

AXi=2X2+1,V||=21I，

Aft=4^2>Aft=2»热=5.

乙

I9

・•・线段力8的中点到该抛物线准线的距离为3［（汨+1）+（加+1）］=*故选B.］

乙St

3.已知点加加，4）（加＞0）在揄物线f=4y上，过点力作倾斜角互补的两条直线人和

且4,4与抛物线的另一个交点分别为8,C.

（1）求证：直线比的斜率为定值;

（2）若抛物线上存在两点关于勿对称，求理|的取值范围.

［解］（1）证明：•・•点力（孙4）在抛物线上，

16=z»,/.m=±4,又m＞0,：,/n=4.设6（乂，乂），C（x2f㈤，

,,,Xi+4,照+4加+照+8八

则nil原+左产丁+丁=^—=。,

/.%1+^2=-8.

.y2—y\&-x\为+生

====

••KffCA4-29

x2-X\4x2-X\4

・•.直线比的斜率为定值-2.

⑵设直线式'的方程为y=-2x+b,P（照，㈤，0（和必）关于直线比对称，设国的

中点为做旅，㈤，则

,%石+%Xo1

后=====万=》.,加=L

AMb-2+6）.

I9

又点加在抛物线内部，・•・-2+b＞中即，＞彳.

[y=-2x+b,

由12.

[x=4y,

得V+8x—46=0,，用+8=-8,X3Xi=-4b.

A\BC\=Vl+4|^-xJ

=4,yj~照+M~2-4照*[=/x，64+16b.

又：.\BC\>10y[5.

・・・|比I的取值范围为（1酢，+8）.

[Cffi在创新中考查理性思维]

1.(2021•潍坊模拟)抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光

线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物

线的焦点.已知抛物线7=4x的焦点为用一条平行于x轴的光线从点.机3,1)射出，经过

抛物线上的点力反射后，再经抛物线上的另一点4射出，则△月阴/的周长为()

7］

A.—+^/26B.9+亚

C.Y|+A/26D.9+-726

D「••物〃x轴，

由题意可知/必经过抛物线y=4x的焦点/(1,0),

4

,直线的方程为尸一三(尸一1).

>2=4X,

联立方程d4解得6(4,-4),

尸一§I，

|/»/|=3—\AB\=1+4+2=y,

\MB\=V-12+52=-\/26.

•••△力应/的周长为9+，云.故选D.］

2.已知抛物线八4=4x的焦点为兄若△力比•的三个顶点都在抛物线〃上，且E+法

+FC=Q,则称该三角形为“核心三角形”.

(1)是否存在“核心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为(0,0)和(1,2)?请说明理由：

(2)设“核心三角形”4%的一边48所在直线的斜率为4,求直线力8的方程；

(3)已知△力比'是“核心三角形”，证明：点力的横坐标小于2.

［解］(1)抛物线「：/=4x的焦点为尸(1,0),

由万+法+元:=0,

必+川+北典+%+"

得］=----n---，0=-------,

故第三个顶点