数列的通项公式问题课件高二下学期数学北师大版选择性

第一章数列培优课1数列的通项公式问题北师大版

数学

选择性必修第二册目录索引重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标重难探究·能力素养速提升探究点一利用累加法、累乘法求数列的通项公式【例1】

(1)数列{an}满足a1=1,对任意的n∈N+都有an+1=a1+an+n,求数列{an}的通项公式;解

∵an+1=an+n+1,∴an+1-an=n+1,即a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n(n≥2).这n-1个等式两边分别相加,得an-a1=2+3+4+…+n(n≥2),(2)已知数列{an}满足,求an.规律方法

1.求形如an+1=an+f(n)的通项公式.将原来的递推公式转化为an+1-an=f(n),再用累加法(逐差相加法)求解,即an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=a1+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n-1).2.求形如an+1=f(n)an的通项公式.变式训练1已知在数列{an}中,a1=2,且满足an+1=an+2n+n,求数列{an}的通项公式.解

由条件知an+1-an=2n+n,∴a2-a1=21+1,a3-a2=22+2,a4-a3=23+3,…,an-an-1=2n-1+n-1(n≥2,n∈N+),把以上(n-1)个式子相加,得(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=(21+1)+(22+2)+(23+3)+…+(2n-1+n-1),探究点二构造等差(比)数列求通项公式【例2】

(1)在数列{an}中,a1=,6anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N+).①证明:数列

是等差数列;②求数列{an}的通项公式.(2)已知在数列{an}中,a1=2,an+1=2an-3,求an.解

由an+1=2an-3得an+1-3=2(an-3),所以数列{an-3}是首项为a1-3=-1,公比为2的等比数列,则an-3=(-1)·2n-1,即an=-2n-1+3.规律方法

1.对于此类问题,一般先构造好等差(比)数列让学生证明,再在此基础上求出通项公式,故不必在此处挖掘过深.2.形如an+1=pan+q(其中p,q为常数,且pq(p-1)≠0)可用待定系数法求得通项公式,步骤如下:第一步

假设递推公式可改写为an+1+t=p(an+t);第二步

由待定系数法,解得第三步

写出数列

的通项公式;第四步

写出数列{an}的通项公式.变式训练2已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列;(2)求{an}和{bn}的通项公式.(1)证明

由题设得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即an+1+bn+1=(an+bn).又因为a1+b1=1,所以{an+bn}是首项为1,公比为

的等比数列.由题设得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2.又因为a1-b1=1,所以{an-bn}是首项为1,公差为2的等差数列.探究点三

利用前n项和Sn与an的关系求通项公式

【例3】

(1)已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2an-4,n∈N+,则an等于(

)A.2n+1 B.2nC.2n-1 D.2n-2A解析

因为Sn=2an-4,所以当n≥2时,Sn-1=2an-1-4,两式相减可得Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-2an-1,整理得an=2an-1,所以

=2.因为S1=a1=2a1-4,即a1=4,所以数列{an}是首项为4,公比为2的等比数列,则an=4×2n-1=2n+1,故选A.

规律方法

已知Sn=f(an)或Sn=f(n)的解题步骤:第一步

利用Sn满足条件p,写出当n≥2时,Sn-1的表达式;第二步

利用an=Sn-Sn-1(n≥2),求出an或者转化为an的递推公式的形式;第三步

若求出n≥2时的{an}的通项公式,则根据a1=S1求出a1,并代入n≥2时的{an}的通项公式进行验证,若成立,则合并;若不成立,则写出分段形式.变式训练3在数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=an+1(n∈N+),求数列{an}的通项公式an.学以致用·随堂检测促达标1234567891011121314151617A级必备知识基础练181.[探究点二]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a5=5,a1+S11=67,则a3a10是{an}中的(

)A.第30项

B.第36项

C.第48项

D.第60项A解析

设等差数列{an}的公差为d,由a5=5,得a1+4d=5①;由a1+S11=67,得12a1+d=67,即12a1+55d=67②.由①②解得a1=1,d=1,所以an=n.于是a3a10=3×10=30,而a30=30,故a3a10是{an}中的第30项.故选A.123456789101112131415161718C123456789101112131415161718D1234567891011121314151617184.[探究点三]已知等比数列{an}的前n项和为Sn=3n+1+t,则数列的通项公式an=

.

2×3n解析

∵在等比数列{an}中,前n项和Sn=3n+1+t,∴a1=S1=9+t,a2=S2-S1=18,a3=S3-S2=54,∴182=54(9+t),解得t=-3,∴a1=9+t=6,公比q=3,∴an=6×3n-1=2×3n.1234567891011121314151617181234567891011121314151617186.[探究点二、三]数列{an}满足a1=1,Sn+1=4an+3.(1)求证:数列{an+1-2an}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.123456789101112131415161718(1)证明

当n=1时,a1=1,S2=a1+a2=4a1+3,解得a2=6,当n≥2时,由Sn+1=4an+3可知Sn=4an-1+3,两式作差可得an+1=4an-4an-1,即an+1-2an=2(an-2an-1),又因为a2-2a1=4,所以an-2an-1≠0,所以数列{an+1-2an}是首项为4,公比为2的等比数列.1234567891011121314151617181234567891011121314151617187.[探究点二、三]已知数列{an}的前n项和Sn满足an·Sn=(Sn-1)2.(1)证明:数列

为等差数列;(2)求数列{an}的通项公式.123456789101112131415161718123456789101112131415161718123456789101112131415161718B级关键能力提升练8.已知在数列{an}中,a1=1,an+1=an+n,则数列{an}的通项公式为(

)C解析

因为an+1=an+n,所以an=an-1+n-1(n≥2).又因为a1=1,则an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(n-1)+(n-2)+…+1+1故选C.1234567891011121314151617189.在数列{an}中,若a1=1,an+1=2an+3(n∈N+),则该数列的通项an=(

)A.2n+1-3 B.2n-3C.2n+1+3 D.2n+1-1A解析

由an+1=2an+3,得an+1+3=2(an+3),又a1=1,∴a1+3=4≠0,∴数列{an+3}是以4为首项,以2为公比的等比数列,则an+3=4×2n-1,∴an=2n+1-3.故选A.123456789101112131415161718A.a8

B.2+(n-1)lnnC.1+n+lnn

D.2n+nlnnD12345678910111213141516171811.(多选题)设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1,bn=log2an+1,则(

)A.数列{an}是等比数列B.an=(-2)n-1ACD12345678910111213141516171812.已知数列{an}的前n项和为Sn,a2=6,

(n∈N+),则数列{an}的通项公式为(

)A.an=3n

B.an=3nC.an=n+4 D.an=n2+2A12345678910111213141516171813.正项数列{an}满足anan+2=,n∈N+.若a5=9,a2a4=1,则a2的值为

.

12345678910111213141516171814.数列{an}的前n项和为Sn=n2-2n+3,则an=

.

解析

根据题意,数列{an}的前n项和为Sn=n2-2n+3,当n=1时,a1=S1=1-2+3=2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-2n+3-(n-1)2+2(n-1)-3=2n-3,1234567891011121