考研数学二模拟417

考研数学二模拟417一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1.

设则F(x)在x=0处______A.极限不存在．B.极限存在但不连续．C.连续但不可导．D.可导．正确答案：C[解析]法一

写出F(x)的表达式进行讨论．由f(x)的表达式知，

当x＜0时，

当x≥0时，

即

可知F(x)在x=0处连续．再看是否可导．

所以选C．

法二

有下述定理：

设f(x)在[a，b]上除点c∈(a，b)外连续，而点x=c是f(x)的跳跃间断点．又设

则：①F(x)在[a，b]上必连续；

②当x∈[a，b]但x≠c时，F'(x)=f(x)；

③F'(c)必不存在，并且F'+(c)=f(c+)，F'-(c)=f(c-)．

在做选择题时可套用此结论．

由此定理可知应选C．

2.

曲线的渐近线______A.只有水平的与铅直的，无斜的．B.只有水平的与斜的，无铅直的．C.只有铅直的与斜的，无水平的．D.水平的、铅直的与斜的都有．正确答案：D[解析]所以有铅直渐近线x=0；

所以有水平渐近线y=0(沿x→+∞方向)；

所以有斜渐近线y=x．

3.

设f(x)与g(x)在x=a处均为极大值．又设F(x)=f(x)g(x)，则F(x)在x=a处______A.必为极大值．B.必为极小值．C.必不是极值．D.不能确定是否为极值．正确答案：D[解析]举反例排除A，B，C．

A的反例：取f(x)=-x2，g(x)=-x2，x=0均是f(x)与g(x)的极大值点，而F(x)=f(x)g(x)=x4，x=0是它的极小值点，不选A．

B的反例：取f(x)=1-x2，g(x)=1-x2，x=0均是f(x)与g(x)的极大值点，而F(x)=f(x)g(x)=1-2x2+x4，F'(x)=-4x+4x3，F"(x)=-4+12x2，F'(0)=0，F"(0)＜0，故F(0)=1为极大值．不选B．

由A，B反例可见，x=0可以是F(x)的极值点，所以不选C，只能选D．

4.

设f(x，y)=|x-y|φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，则φ(0，0)=0是f(x，y)在点(0，0)处可微的______A.必要条件但非充分条件．B.充分条件但非必要条件．C.充分必要条件．D.既非充分又非必要条件．正确答案：C[解析]先证充分性．设φ(0，0)=0，由于φ(x，y)在点(0，0)处连续，所以由于

故

所以

按可微定义，f(x，y)在点O(0，0)处可微，且df(x，y)=0·Δx+0·Δy，即f'x(0，0)=0，f'y(0，0)=0．

再证必要性．设f(x，y)在点(0，0)处可微，则f'x(0，0)与f'y(0，0)必都存在．

其中x→0+时，取“+”，x→0-时，取“-”．

由于f'x(0，0)存在，所以φ(0，0)=-φ(0，0)，从而φ(0，0)=0．证毕．

5.

设n=0，1，2，…．则关于an关系式成立的是______A.an+2=an+1+an．B.an+3=an．C.an+4=an+2+an．D.an+6=an．正确答案：D[解析]由得f(0)=1，再由

f(x)(x2-x+1)=x+1，

(*)

两边对x求一阶导数，得

f'(x)(x2-x+1)+f(x)(2x-1)=1．

将x=0代入，得

f'(0)-f(0)=1，f'(0)=f(0)+1=2．

将(*)两边对x求n阶导数，n≥2，有

将x=0代入，得

即f(n)(0)=nf(n-1)(0)-n(n-1)f(n-2)(0)，n=2，3，…．

又因为n=0，1，2，…，所以有

或写成

an+2=an+1-an，n=0，1，2，…．

(**)

现在验算A～D中哪一个正确．

显然，由递推公式(**)知，A的左边an+2=an+1-an，仅当an=0时才有A的左边等于A的右边，故A不正确．

再验算B．B的左边

an+3=an+2-an+1=an+1-an-an+1=-an，

所以仅当an=0时，B的左边等于B的右边，故B不正确．

再验算C．C的左边

an+4=an+3-an+2=an+2-an+1-an+2=-an+1．

C的右边

an+2+an=an+1-an+an=an+1．

C的左边等于C的右边，得an+1=0，n=0，1，2…．但这不正确．所以C也不对．

余下只有D．

以下可直接验算D正确．由已证(**)式，所以对一切n，有

an+6=an+5-an+4=an+4-an+3-an+4=-an+3，

从而

an+6=-an+3=-(-an)=an，n=0，1，2，…．

所以D正确．

6.

设A，B，C为常数，则微分方程y"+2y'+5y=e-xcos2x有特解形式______A.e-x(A+Bcos2x+Csin2x)．B.e-x(A+Bxcos2x+Cxsin2x)．C.e-x(Ax+Bcos2x+Csin2x)．D.e-x(Ax+Bxcos2x+Cxsin2x)．正确答案：B[解析]原方程可写成特征方程是r2+2r+5=0，特征根r1，2=-1±2i．对应于自由项部分的一个特解形式为y1*=Ae-x．对应于自由项部分的一个特解形式为y2*=xe-x(Bcos2x+Csin2x)．所以原方程的一个特解形式为

y1*+y2*=e-x(A+Bxcos2x+Cxsin2x)．

故应选B．

7.

已知n维向量组α1，α2，α3，α4是线性方程组Ax=0的基础解系，则向量组aα1+bα4，aα2+bα3，aα3+bα2，aα4+bα1也是Ax=0的基础解系的充分必要条件是______A.a=b．B.a≠-b．C.a≠b．D.a≠±b．正确答案：D[解析]向量组aα1+bα4，aα2+bα3，aα3+bα2，aα4+bα1均是Ax=0的解，且共4个，故该向量组是Ax=0的基础解系该向量组线性无关．因

且α1，α2，α3，α4线性无关，则

故应选D．

B，C是充分条件，并非必要，A既非充分又非必要，均应排除．

8.

设则A合同于______

A．

B．

C．

D．正确答案：C[解析]写出A对应的二次型，并用配方法化成标准形．

知f的秩为2，正惯性指数为1(负惯性指数也为1)，这可排除选项A，B．选项C的二次型为

正负惯性指数和题干中矩阵对应的二次型一致．而选项D中二次型为

正惯性指数为2．故应选C．

二、填空题1.

函数的间断点的个数为______．正确答案：2[解析]应先写出f(x)的表达式，

故知f(x)有且仅有两个间断点

2.

设f(x)在区间[a，+∞)上存在二阶导数，且其中a，b均为常数，则正确答案：0[解析]取常数h＞0，在区间[x，x+h]上用泰勒公式：

于是有

令x→+∞有ξ→+∞，并且由已知有

3.

正确答案：-ln2[解析]

4.

设常数a＞0，双纽线(x2+y2)2=a2(x2-y2)围成的平面区域记为D，则二重积分正确答案：[解析]由于被积函数及积分区域D关于两坐标轴都对称，所以

5.

设其中f，g均可微，则正确答案：2xyf'1[解析]

6.

设A，B是2阶矩阵，且A相似于B，A有特征值λ=1，B有特征值μ=-2，则|A+2AB-4B-2E|=______．正确答案：-36[解析]因为A～B，所以A，B有相同的特征值1，-2．

|A+2AB-4B-2E|=|A(E+2B)-2(2B+E)|

=|(A-2E)(2B+E)|=|A-2E||2B+E|．

A，B有特征值1，-2，A-2E有特征值-1，-4，2B+E有特征值3，-3，故

|A+2AB-4B-2E|=|A-2E||2B+E|=(-1)×(-4)×3×(-3)=-36．

三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1.

正确答案：[解]先由

得

所以原式为型．再由式(*)，用等价无穷小替换，得

2.

设函数f(x)在区间(0，+∞)上可导，且f'(x)＞0，

求F(x)的单调区间，并求曲线y=F(x)的图形的凹凸区间及拐点坐标．正确答案：[解]由则

当0＜x＜1时，从而

当1＜x＜+∞时，从而

又在x=1处F(x)连续，所以F(x)在区间(0，+∞)上严格单调增加．

所以F"(1)=0，且当0＜x＜1时，F"(x)＜0，曲线y=F(x)是凸的；当x＞1时，F"(x)＞0，曲线y=F(x)是凹的．所以点(1，0)为曲线y=F(x)上的唯一拐点，且凸区间为(0，1)，凹区间为(1，+∞)．

3.

设常数α＞0，积分试比较I1与I2的大小，要求写明推导过程．正确答案：[解]

当时，从而且cosx＞sinx，

于是知I1＞I2，即

设b为常数．4.

求曲线L：的斜渐近线(记为l)的方程；正确答案：[解]

所以斜渐近线方程为y=2x-4(当x→-∞时，有相同的斜渐近线)．

5.

设L与l从x=1延伸到x→+∞之间的图形的面积A为有限值，求b及A的值．正确答案：[解]面积

显然h(x)在(1，+∞)上无奇点，又b为常数，则当x足够大时，h(x)恒为正或恒为负．故A与的敛散性相同．

若2b+15+1≠0，即b≠-8，无论b＞-8还是b＜-8，均有

I发散，即A的值为∞，与A为有限值矛盾．

当b=-8时，此时面积

6.

设z=z(u，v)具有二阶连续偏导数，且z=z(x-2y，x+3y)满足

求z=z(u，v)所满足的方程，并求z(u，v)的一般表达式．正确答案：[解]由z=z(x-2y，x+3y)，易知

代入原方程，得

以下求z的一般表达式．将上式写成两边对u积分，v看成常数，得其中φ1(v)为v的具有连续导数的任意函数．再将上式看成z对v的一阶线性微分方程，代入一阶线性微分方程的通解公式，得

由于φ1(v)的任意性，记它表示为v的具有二阶连续导数的任意函数，ψ(u)为u的具有二阶连续导数的任意函数，于是得到z=z(u，v)的一般表达式为

7.

设计算二重积分

正确答案：[解]D是一块矩形域，如图所示．

8.

求y"-y=e|x|满足初始条件y(1)=0，y'(1)=0的特解．正确答案：[解]原方程化成两个微分方程

分别得到

由y(1)=0，y'(1)=0，从第一个表达式求得

又因为在x=0处，y(x)及y'(x)连续，所以

解得所以

故满足初始条件的特解为

设A是3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的3个不同的特征值，对应的特征向量分别是ξ1，ξ2，ξ3，令β=ξ1+ξ2+ξ3．

证明：9.

β不是A的特征向量；正确答案：[证]已知Aβ=A(ξ1+ξ2+ξ3)=λ1ξ1+λ2ξ2+λ3ξ3．

若β是A的特征向量，假设对应的特征值为μ,则有

Aβ=μβ=μ(ξ1+ξ2+ξ3)=λ1ξ1+λ2ξ2+λ3ξ3，

从而得(μ-λ1)ξ1+(μ-λ2)ξ2+(μ-λ3)ξ3=0．

ξ1，ξ2，ξ3是不同特征值对应的特征向量，由定理知ξ1，ξ2，ξ3线性无关，从而得λ1=λ2=λ3=μ，这和λ1，λ2，λ3互不相同矛盾．故β=ξ1+ξ2+ξ3不是A的特征向量．

10.

向量组β，Aβ，A2β线性无关．正确答案：[证]法一

用线性无关的定义证．

假设存在数k1，k2，k3，使得

k1β+k2Aβ+k3A2β=0．

由β=ξ1+ξ2+ξ3及Aξi=λiξi，i=1，2，3，代入得

整理得

因ξ1，ξ2，ξ3线性无关，则有

又λi(i=1，2，3)互不相同，故方程组(*)的系数矩阵的行列式

故方程组(*)仅有零解，即k1=k2=k3=0，所以β，Aβ，A2β线性无关．

法二

用等价向量组、初等变换、秩等论证．因

其中所以C是可逆矩阵．

故r(β，Aβ，A2β)=r(ξ1，ξ2，ξ3)=3．因此β，Aβ，A2β线性无关．

已知A，B均是2×4矩阵，其中

Ax=0有基础解系α1=(1，1，2，1)T，α2=(0，-3，1，0)T；

Bx=0有基础解系β1=(1，3，0，2)T，β2=(1，2，-1，a)T．11.

求矩阵A；正确答案：[解]记C=(α1，α2)，则有AC=A(α1，α2)=0，得CTAT=0，即AT的列向量(即A的行向量)是CTx=0的解向量．

解得CTx=0的基础解系为ξ1=(1，0，0，-1)T，ξ2=(-7，1，3，0)T．

故

12.

若Ax=0和Bx=0有非零公共解，求参数a的值及公共解．正确答案：[解]若Ax=0和Bx=