考研数学二模拟403

考研数学二模拟403一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.

A.1.B.e.C.ea-1.D.ea+1.正确答案：C[解析]原极限可变形为又

因此I=ea-1．

2.

设当x→0时，有则______

A．

B．

C．

D．a=0，b=2，c=0．正确答案：D[解析]因为所以

显然c=0，则

得b=2，a为任意常数．

3.

A．

B．π

C．

D．正确答案：C[解析]观察发现，本题既是无穷上限的广义积分，又是无界函数的广义积分，瑕点在积分域的边界上．

从而

4.

设f(x)在x=0处二阶可导，f(0)=0，且则______A.f(0)是f(x)的极大值．B.f(0)是f(x)的极小值．C.(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点．D.f(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点．正确答案：B[解析]由得f(0)+f'(0)=0，于是f'(0)=0．

再由

得f"(0)=2＞0，故f(0)为f(x)的极小值．

5.

的值______A.等于0．B.大于0．C.小于0．D.不能确定．正确答案：B[解析]令x2=t，则

6.

函数y=C1ex+C2e-2x+xex满足的一个微分方程是______A.y"-y'-2y=3xex．B.y"-y'-2y=3ex.C.y"+y'-2y=3xex.D.y"+y'-2y=3ex．正确答案：D[解析]由题设可知y1=ex及y2=e-2x是所求方程对应的齐次方程的解，故特征方程有根r1=1，r2=-2，特征方程为

(r-1)(r+2)=r2+r-2=0，

对应齐次方程为

y"+y'-2y=0．

设所求方程为y"+y'-2y=f(x)．将y*=xex代入其中得f(x)=3ex．

故满足的微分方程为y"+y'-2y=3ex．

7.

已知相似，则______A.a=1，b=0．B.a=2，b=1．C.a=0，b=-1．D.a=1，b=1．正确答案：A[解析]因A～B，则tr(A)=tr(B)，|A|=|B|，即

解以上方程组得a=1，b=0．

8.

A.P1P3A．B.P2P3A．C.AP3P2.D.AP1P3.正确答案：B[解析]矩阵A作两次行变换可得到矩阵B，而AP3P2，AP1P3描述的是矩阵A作列变换，故应排除．

把矩阵A第1行的2倍加至第3行后，再1、2两行互换可得到B．

或者把矩阵A的1、2两行互换后，再把第2行的2倍加至第3行亦可得到B，而P2P3A正是后者，所以应选B．

二、填空题1.

正确答案：2π2-8[解析]

2.

正确答案：2[解析]本题为“∞—∞”型未定式，作变量替换后未定式化为“”型．

3.

设平面区域D为x2+y2≤1，则二重积分正确答案：[解析]由于积分区域是圆域，故考虑用极坐标进行计算，但本题中被积函数用极坐标表示较复杂，可考虑将被积函数变成的形式．

由于积分区域关于y=x对称，所以

4.

微分方程xy'+y=0满足条件y(2)=1的解y=______．正确答案：[解析]已知xy'+y=0，分离变量得两边积分得将y(2)=1代入得c=2，故

5.

设G是位于曲线(e≤x＜∞)左方，y轴右方的无界区域，则G绕y轴旋转一周所形成的空间区域的体积为______．正确答案：[解析]

6.

设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的秩等于1，A的各行元素之和为3，则f在正交变换x=Qy下的标准形为______．正确答案：[解析]A的各行元素之和为3，则

可见λ1=3是A的一个特征值，又由二次型的秩为1知r(A)=1，从而A的另外两个特征值为λ2=λ3=0，故f在正交变换下的标准形为

三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1.

正确答案：

2.

求函数z=2x2-2xy+y2在区域D：|x|+|y|≤1上的最大、最小值．正确答案：令解方程组得驻点(0，0)∈D，且z(0，0)=0，D的边界|x|+|y|=1由四条线段组成：L1：x+y=1，L2：x-y=1(0≤x≤1)L3：x+y=-1，L4：y-x=1(-1≤x≤0)

在L1上：z=5x2-4x+1=0，由z'x=10x-4=0，得则

故最大值为2，最小值为

在L2上：z=x2+1，由z'x=2x=0，得x=0，则

z(0)=1，z(1)=2，

故最大值为2，最小值为1．

在L3上：z=5x2+4x+1，由z'x=10x+4=0，得则

故最大值为2，最小值为

在L4上：z=x2+1，由z'x=2x=0，得x=0，则

z(0)=1，z(-1)=2，

故最大值为2，最小值为1．

综上所述，z在D上的最大值为2，最小值为

3.

设求其中φ(u，v)有二阶偏导数．正确答案：

4.

设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为又此曲线上的点(0，1)的切线方程为y=x+1，求该曲线方程，并求函数y(x)的极值．正确答案：因为曲线是上凸的，所以y"＜0，由题设得

这是高阶可降阶方程的初值问题：

令y'=p，则有(C1为任意常数)．

因为曲线y=y(x)在点(0，1)处的切线方程为y=x+1，所以p|x=0=1，从而积分得C2为任意常数．

因为曲线过点(0，1)，所以

所求曲线为

因为所以当时函数取极大值

5.

设e-2＜a＜b＜e-1，证明alnb-blna＜3e4(ab2-a2b)．正确答案：思路一：要证alnb-blna＜3e4(ab2-a2b)，

即要证

构造辅助函数

则F(x)在[e-2，e-1上连续，在(e-2，e-1)内可导，应用拉格朗日中值定理，得

设e-2＜t＜e-1，则有

即g(x)在(e-2，e-1)内单调减小，从而g(t)＜g(0)=3e4．

故

即

alnb-blna＜3e4(ab2-a2b)．

思路二：要证alnb-blna＜3e4(ab2-a2b)，即证

设则

当e-2＜x＜e-1时，φ"(x)＜0，所以在区间(e-2，e-1)内φ'(x)单调减少，则有

φ'(x)＜φ'(e-2)=3e4-3e4=0，

所以φ(x)在区间(e-2，e-1)内单调减少．

又e-2＜a＜b＜e-1，所以φ(b)＜φ(a)，即

整理得

alnb-blna＜3e4(ab2-a2b)．

6.

一质量为M，长为l的均匀细杆AB吸引着一质量为m的质点C，此质点位于杆AB的中垂线上，且与AB的距离为a，试求：

(Ⅰ)细杆AB与质点C的相互吸引力的大小；

(Ⅱ)当质点C在杆AB的中垂线上从点C(0，a)沿y轴移向无穷远处时，克服引力所做的功．正确答案：(Ⅰ)如图，选x做积分变量，则x的取值范围为引力微元为

所以

令x=atant，则

(Ⅱ)根据上面的计算，当质点C位于坐标(0，y)处时，引力的大小为于是

令有

7.

设函数y=f(x)在(-∞，+∞)内可导，且对任意实数a，b均满足f(a+b)=eaf(b)+ebf(a)，又f'(0)=1，试求f(x)及f'(x)．正确答案：由于对任意a，b，等式f(a+b)=eaf(b)+ebf(a)均成立，故建立微分方程．根据导数的定义，利用导数的定义式f(x+Δx)展开．

令a=b=0，由f(a+b)=eaf(b)+ebf(a)得f(0)=0，又f'(0)=1，

故

f'(x)=exf'(0)+f(x)=ex+f(x)，

即f(x)的微分方程为

f'(x)-f(x)=ex，

两边乘e-x，得

[e-xf(x)]'=1，

两边积分，得

故

f(x)=xex，f'(x)=ex+xex=(x+1)ex．

8.

设矩阵A与B相似，其中

(Ⅰ)求x，y的值；

(Ⅱ)求可逆矩阵P，使P-1AP=B．正确答案：(Ⅰ)因为A～B，则|A|=|B|，tr(A)=tr(B)，即

解得x=0，y=2．

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知

A的特征值为λ1=-1，λ2=2，λ3=-2．

对应特征向量可由(A+λiE)x=0(i=1，2，3)求得，分别为

ξ1=(0，2，-1)T，ξ2=(0，1，1)T，ξ3=(1，0，-1)T，

则即为所求．

已知二次型f(x1，x2，x3)=XTAX在正交变换X=QY下的标准形为且Q的第三列为9.

求矩阵A;正确答案：二次型XTAX在正交变换下的标准形为则二次型矩阵A的特征值为-1，-1，0．又因为Q的第三列是说明α3=(1，1，0)T是矩阵A关于特征值λ=0的特征向量．因为A是实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量相互正交，设A关于λ1=λ2=-1的特征向量为α=(