考研数学二分类模拟题186

考研数学二分类模拟题186解答题1.

设A为n阶矩阵，λ1和λ2是A的两个不同的特征值．x1，x2是分别属于λ1和λ2的特征向量，试证明：x1+x2不是A的特征向量．正确答案：证：反证法假设x1+（江南博哥）x2是A的特征向量，则存在数λ，使得A(x1+x2)=λ(x1+x2)，则

(λ-λ1)x1+(λ-λ2)x2=0．

因为λ1≠λ2，所以x1，x2线性无关，则矛盾．故x1+x2不是A的特征向量．

已知矩阵2.

求x与y；正确答案：解：B的特征值为2，y，-1．由A与B相似，则A的特征值为2，y，-1．故

3.

求一个满足P-1AP=B的可逆矩阵P．正确答案：解：分别求出A的对应于特征值λ1=2，λ2=1，λ3=-1的线性无关的特征向量为

令可逆矩阵，则P-1AP=B．

4.

设矩阵，问k为何值时，存在可逆矩阵P，使得，求出P及相应的对角矩阵．正确答案：解：

因λ=-1是二重特征值，为使A相似于对角矩阵，要求

r(λr-A)=r(-E-A)=1，

故当k=0时，存在可逆矩阵P，使得

当k=0时，

故当k=0时，存在可逆矩阵

使得

5.

设矩阵有三个线性无关特征向量，λ=2是A的二重特征值，试求可逆矩阵P，使得是对角矩阵．正确答案：解：A有三个线性无关的特征向量，λ=2是二重特征值，故特征矩阵2E-A的秩应为1．

解得x=2，y=-2，故

因，故λ3=6．

当λ=2时，

解得

当λ=6时，

解得

已知ξ=[1，1，-1]T是矩阵的一个特征向量．6.

确定参数a，b及ξ对应的特征值λ；正确答案：解：设A的特征向量ξ所对应的特征值为λ，则有Aξ=λξ，即

即

解得λ=-1，a=-3，b=0．

7.

A是否相似于对角矩阵，说明理由．正确答案：解：当a=-3，b=0时，由

知λ=-1是A的三重特征值，但

当λ=-1时，对应的线性无关特征向量只有一个，故A不能相似于对角矩阵，

8.

设A是n阶方阵，2，4，…，2n是A的n个特征值，E是n阶单位矩阵，计算行列式|A-3E|的值．正确答案：解：若λ为A的特征值，则λ-3位A-3E的特征值．所以A-3E的特征值为-1，1，3，…，2n-3，故|A-3E|=(-1)·1·3·…·(2n-3)=-(2n-3)!!．

9.

计算行列式正确答案：解：

故原式=(a2+b2+c2+d2)2(负号舍去，取b=c=d=0，原式=a4，可知结果取“+”)．

10.

计算正确答案：解：方法一把Dn按第一行展开，得

把递推公式①改写成

Dn-αDn-1=β(Dn-1-αDn-2)，②

继续用递推关系②递推，得

Dn-αDn-1=β(Dn-1-αDn-2)=β2(Dn-2-αDn-3)=…=βn-2(D2-αD1)，

而D2=(α+β)2-αβ，D1=α+β，

Dn-αDn-1=βn-2(D2-αD1)=βn，③

③式递推得Dn=αDn-1+βn=α(αDn-2+βn-1)+βn

=…=αn+αn-1β+αn-2β2+…+αβn-1+βn．

除了将①式变形得②式外，还可将①式改写成

Dn-βDn-1=α(Dn-1，-βDn-2)，④

由④式递推可得

Dn-βDn-1=αn，⑤

③×β-⑤×α得

(β-α)Dn=βn+1-an+1，

当β-α≠0时，有

方法二把原行列式表示成如下形式

再利用“拆项”性质，将Dn表示成2n个n阶行列式之和，可以看出Dn中第i列的第2子列和第i+1列的第1子列成正比，因此2n个行列式中只有n+1个不为零，即各列都选第1子列，或者由第i列起(i-n，n-1，…，1)以后都选第2子列，而前i-1列都选第1子列，最后得

Dn=αn+αn-1β+αn-2β2+…+αβn-1+βn．

11.

设3阶矩阵A满足|A-E|=|A+E|=|A+2E|=0，试计算|A*+3E|．正确答案：解：由|A-E|=|A+E|=|A+2E|=0可知λ=1，-1，-2均满足特征方程|λE-A|=0，又由于A为3阶矩阵，可知1，-1，2为A的3个特征值，可知|A|=2，因此A*+3E=|A|A-1+3E=2A-1+3E有特征值

2×1-1+3=5，2×(-1)-1+3=1，2×(-2)-1+3=2，

故|A*+3E|=5×1×2=10．

12.

设A是n阶矩阵，满足AAT=E(E是n阶单位矩阵，AT是A的转置矩阵)，|A|＜0，求|A+E|．正确答案：解：|A+E|=|A+AAT|=|A(E+AT)|

=|A|·|(A+E)T|=|A|·|A+E|

13.

设a1，a2，…，an是互不相同的实数，且

求线性方程组AX-b的解．正确答案：解：因a1，a2，…，an互不相同，故由范德蒙德行列式知，|A|≠0，根据克拉默法则，方程组AX=b有唯一解，且

其中Ai是b代换A中第i列所得矩阵，则

|A1|=|A|，|Ai|=0，i=2，3，…，n．

故AX=b的唯一解为X=[1，0，0，…，0]T．

14.

设B=2A-E，证明：B2=E的充分必要条件是A2=A．正确答案：证：B=2A-E，B2=(2A-E)(2A-E)=4A2-4A+E，

设15.

证明当n≥3时，有An=An-2+A2-E；正确答案：证：用归纳法，

因，验证得当n=3时，A3=A+A2-E，上式成立，

假设当n=k-1(n＞3)时成立，即Ak-1=Ak-3+A2-E成立，则

Ak=AAk-1=A(Ak-3+A2-E)=Ak-2+A3-A

=Ak-2+(A+A2-E)-A=Ak-2+A2-E，

即n=k时成立，故An=An-2+A2-E对任意n(n≥3)成立．

16.

求A100．正确答案：解：由上述递推关系可得

A100=A98+A2-E=(A96+A2-E)+A2-E

=A96+2(A2-E)=…=A2+49(A2-E)

17.

证明：若A为n阶方阵，则有|A*|=|(-A)*|(n≥2)．正确答案：证：设A=(aij)n×n，|A|的元素a的代数余子式为Aij，则|-A|的元素-aij的代数余子式为

Bij=(-1)n-1Aij，

于是(-A)*=(-1)n-1(Aji)n×n=(-1)n-1A*，所以

|(-A)*|=|(-1)n-1A*|=[(-1)n-1]n|A*|=|A*|．

A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为|A|中元素aij的代数余子式，试证明：18.

正确答案：证：当aij=Aij时，有AT=A*，则ATA=AA*=|A|E．由于A为n阶非零实矩阵，即aij不全为0，所以．而tr(AAT)=tr(|A|E)=n|A|，这说明|A|＞0．在AAT=|A|E两边取行列式，得|A|n-2=1，|A|=1．

反之，若ATA=E且|A|=1，则A*A=|A|E且A可逆，于是ATA=A*A，AT=A*，即aij=Aij．

19.

正确答案：解：当aij=-Aij时，有AT=-A*，则ATA=-A*A=-|A|E．由于A为n阶非零实矩阵，即aij不全为0，所以．在ATA=-|A|E两边取行列式得|A|=-1．

反之，若ATA=E且|A|=-1，由于A*A=|A|E=-E，于是ATA=-A*A．进一步，由于A可逆，得AT=-A*，即aij=-Aij．

20.

证明：方阵A与所有同阶对角矩阵可交换的充分必要条件是A为对角矩阵．正确答案：证：充分性A是对角矩阵，则显然A可与任何对角矩阵可交换．

必要性设与任何对角矩阵可交换，则应与对角元素互不相同的对角矩阵可交换，即

故biaij=bjaij，bi≠bj，则aij=0，i≠j，i=1，2，…，n，j=1，2，…，n，故是对角矩阵．

21.

证明：r(A+B)≤r(A)+r(B)．正确答案：证：设A=[α1，α2，…，αn]，B=[β1，β2，…，βn]，则

A+B=[α1+β1，α2+β2，…，αn+βn]，

由于A+B的列向量组α1+β1，α2+β2，…，αn+βn都是由向量组α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βn线性表出的，故

r(α1+β1，α2+β2，…，αn+βn)≤r(α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βn)．

又由于

r(α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βn)≤r(α1，α2，…，αn)+r(β1，β2，…，βn)，

故

r(A+B)=r(α1+β1，α2+β2，…，αn+βn)

≤r(α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βn)

≤r(α1，α2，…，αn)+r(β1，β2，…，βn)

=r(A)+r(B)．

22.

设A，B是n阶矩阵，证明：AB和BA的主对角元素的和相等．(方阵主对角元素的和称为方阵的迹，记成tr(A)，即)正确答案：证：设

且记AB=C=(cij)n×n，BA=D=(dij)n×n，则

23.