考研数学二分类模拟题50

考研数学二分类模拟题50解答题1.

设求正确答案：[解]

2.

设f(x)连续，且求f(x).正确答案：[解]

两边求导数得f'(x)-2f(x)=ex，

则

因为f(0)=1，所以c=2，故f(x)=2e2x-ex．

3.

正确答案：[解]因为

所以

4.

正确答案：[解]

5.

正确答案：[解]因为(x2ex)'=(x2+2x)ex，

所以

6.

正确答案：[解]

而

所以

7.

正确答案：[解]由得

8.

正确答案：[解]令，则

9.

正确答案：[解]

令则

所以

10.

设F(x)为f(x)的原函数，且当x≥0时，又F(0)=1，F(x)＞0，求f(x).正确答案：[解]两边积分得解得由F(0)=1，F(x)＞0，得于是

11.

设正确答案：[解]令lnx=t，则，当t≤0时，f(t)=t+C1；当t＞0时，f(t)=et+C2．

显然f'(t)为连续函数，所以f(t)也连续，于是有C1=1+C2，

故

12.

正确答案：[解]

13.

正确答案：[解]令x=tant，则

14.

正确答案：[解]令当0≤x≤1时，当1＜x≤2时，

15.

设f(x)连续，正确答案：[解]由

得

两边求导得令得

设16.

证明：当nπ≤x＜(n+1)π时，2n≤S(x)＜2(n+1)；正确答案：[证明]当nπ≤x＜(n+1)π时，

17.

求正确答案：[解]由nπ≤x＜(n+1)π，得

从而，根据夹逼定理得

18.

设f(x)在[0，+∞)上连续，非负，且以T为周期，证明：正确答案：[证明]对充分大的x，存在自然数n，使得nT≤x＜(n+1)T，

因为f(x)≥0，所以

即得

注意到当x→+∞时，n→+∞，且

由夹逼定理得

19.

设f(x)在[0，1]上连续，证明：存在ξ∈(0，1)，使得

正确答案：[证明]令因为f(x)在[0，1]上连续，所以φ(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，又由罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ'(ξ)=0，而，所以

设f(x)在(-a，a)(a＞0)内连续，且f'(0)=2.20.

证明：对0＜x＜a，存在0<θ＜1，使得正确答案：[证明]令，显然F(x)在[0，x]上可导，且F(0)=0，由微分中值定理，存在0＜θ＜1，使得F(x)=F(x)-F(0)=F'(θx)x，即

21.

求正确答案：[解]令由，得

于是

22.

设证明：正确答案：[证明]

同理因为tannx，tann+2x在上连续，tannx≥tann+2x，且tannx，tann+2x不恒等，所以

于是即同理可证

23.

设f(x)有界，且f'(x)连续，对任意的x∈(-∞，+∞)有|f(x)+f'(x)|≤1.证明：|f(x)|≤1.正确答案：[证明]令φ(x)=exf(x)，则φ'(x)=ex[f(x)+f'(x)]，

由|f(x)+f'(x)|≤1得|φ'(x)|≤ex，又由f(x)有界得φ(-∞)=0，则

两边取绝对值得

所以|f(x)|≤1.

24.

设f(x)在(-∞，+∞)上有定义，且对任意的x，y∈(-∞，+∞)有|f(x)-f(y)|≤|x-y|.证明：正确答案：[证明]因为

所以

25.

设f(x)在[0，1]上连续，且0＜m≤f(x)≤M，对任意的x∈[0，