考研数学二分类模拟题20

考研数学二分类模拟题20解答题设f(x)二阶可导，f(0)=0，令1.

求g'(x)；正确答案：[解]因为，所以g(x)在x=0处连续．

当x≠0时，

当x=0时，由

得，即

2.

讨论g'(x)在x=0处的连续性．正确答案：[解]因为

所以g'(x)在x=0处连续．

3.

求常数a，b使得在x=0处可导．正确答案：[解]因为f(x)在x=0处可导，所以f(x)在x=0处连续，从而有f(0+0)=2a=f(0)=f(0-0)=3b，

由f(x)在x=0处可导，则3+2a=10+6b，解得

4.

设求f'(x)并讨论f'(x)在x=0处的连续性．正确答案：[解]当x≠0时，

当x=0时，

故

因为

所以f'(x)在x=0处连续．

5.

设函数f(x)在区间[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1．

证明：存在ξ∈(0，3)，使得f'(ξ)=0．正确答案：[证明]因为f(x)在[0，3]上连续，所以f(x)在[0，2]上连续，故f(x)在[0，2]取到最大值M和最小值m，显然3m≤f(0)+f(1)+f(2)≤3M，即m≤1≤M，由介值定理，存在c∈[0，2]，使得f(c)=1．

因为f(x)在[c，3]上连续，在(c，3)内可导，且f(c)=f(3)=1，根据罗尔定理，存在ξ∈(c，3)(0，3)，使得f'(ξ)=0．

6.

设函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且f(a)=g(b)=0，g'(x)＜0，试证明存在ξ∈(a，b)使正确答案：[证明]令φ(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且

因为φ(a)=φ(b)=0，所以由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)使φ'(ξ)=0，即

由于g(b)=0及g'(x)＜0，所以区间(a，b)内必有g(x)＞0，从而就有于是有

7.

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得

正确答案：[证明]令φ(x)=f(b)lnx-f(x)lnx+f(x)lna，φ(a)=φ(b)=f(b)lna．

由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ'(ξ)=0．

而

所以即[解析]由，得，或[f(b)lnx-f(x)lnx+f(x)lna]'=0，辅助函数为φ(x)=f(b)lnx-f(x)lnx+f(x)lna．

8.

设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且g'(x)≠0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得

正确答案：[证明]令F(x)=f(x)g(b))+f(a)g(x)-f(x)g(x)，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F(a)=F(b)=f(a)g(b)，由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得F'(ξ)=0，而F'(x)=f'(x)g(b)+f(a)g'(x)-f'(x)g(x)-f(x)g'(x)，所以

[解析]这是含端点和含ξ的项的问题，且端点与含ξ的项不可分离，具体构造辅助函数如下：把结论中的ξ换成x得，整理得

f'(x)g(b)+f(a)g'(x)-f'(x)g(x)-f(x)g'(x)=0，

还原得[f(x)g(b)+f(a)g(x)-f(x)g(x)]'=0，

辅助函数为F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)-f(x)g(x)．

9.

设f(x)在[0，1]上连续，证明：存在ξ∈(0，1)，使得．正确答案：[证明]令

因为φ(0)=φ(1)=0，所以由罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ'(ξ)=0．

而，故[解析]由，得，从而，辅助函数为

10.

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)f(b)＞0，．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f'(ξ)=f(ξ)．正确答案：[证明]不妨设f(a)＞0，f(b)＞0，，令φ(x)=e-x(x)，则

φ'(x)=e-x[f'(x)-f(x)]．

因为φ(a)＞0，，φ(b)＞0，所以存在

使得φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得φ'(ξ)=0，

即e-ξ[f'(ξ)-f(ξ)]=0，因为e-ξ≠0，所以f'(ξ)=f(ξ)．

11.

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)，证明：存在ξ，η∈(0，1)，使得

f'(ξ)+f'(η)=0．正确答案：[证明]存在，使得

因为f(0)=f(1)，所以f'(ξ)=-f'(η)，即f'(ξ)+f'(η)=0．

12.

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得

正确答案：[证明]令F(x)=x2，F'(x)=2x≠0(a＜x＜b)，由柯西中值定理，存在η∈(a，b)，使得，即，整理得，再由微分中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得，故．

13.

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，连接点A(a，f(a))，B(b，f(b))的直线与曲线y=f(x)交于点C(c，f(c))(其中a＜c＜b)．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=0．正确答案：[证明]由微分中值定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得

因为点A，B，C共线，所以f'(ξ1)=f'(ξ2)，

又因为f(x)二阶可导，所以再由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得f"(ξ)=0．

14.

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)，且f(x)在[a，b]上不恒为常数．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f'(ξ)＞0，f'(η)＜0．正确答案：[证明]因为f(x)在[a，b]上不恒为常数且f(a)=f(b)，所以存在c∈(a，b)，使得f(c)≠f(a)=f(b)，不妨设f(c)＞f(a)=f(b)，

由微分中值定理，存在ξ∈(a，c)，η∈(c，b)，使得

15.

设b＞a＞0，证明：正确答案：[证明]方法一令f(t)=lnt，由微分中值定理得，其中ξ∈(a，b)．

因为0＜a＜ξ＜b，所以，从而，即

方法二等价于b(lnb-lna)＞b-a，令φ1(x)=x(lnx-lna)-(x-a)，φ1(a)=0，φ'1(x)=lnx-lna＞0(x＞a)．

由得φ1(x)＞0(x＞a)，而b＞a，所以φ1(b)＞0，从而，同理可证．

16.

设f(x)在[a，b]上满足|f"(x)|≤2，且f(x)在(a，b)内取到最小值．证明：

|f'(a)|+|f'(b)|≤2(b-a)．正确答案：[证明]因为f(x)在(a，b)内取到最小值，所以存在c∈(a，b)，使得f(c)为f(x)在[a，b]上的最小值，从而f'(c)=0．

由微分中值定理得，其中ξ∈(a，c)，η∈(c，b)，

两式取绝对值得

两式相加得|f'(a)|+|f'(b)|≤2(b-a)．

17.

设f(x)在[0，1]上二阶连续可导且f(0)=f(1)，又|f"(x)|≤M，证明：正确答案：[证明]由泰勒公式得

两式相减得

取绝对值得

因为x2≤x，(1-x)2≤1-x，所以x2+(1-x)2≤1，故

18.

设函数f(x)，g(x)在[a，+∞)上二阶可导，且满足条件f(a)=g(a)，f'(a)=g'(a)，f"(x)＞g"(x)(x＞a)．证明：当x＞a时，f(x)＞g(x)．正确答案：[证明]令φ(x)=f(x)-g(x)，显然φ(a)=φ'(a)=0，φ"(x)＞0(x＞a)．

由得φ'(x)＞0(x＞a)；

再由得φ(x)＞0(x＞a)，即f(x)＞g(x)．

19.

证明：当x＞0时，x2＞(1+x)ln2(1+x)．正确答案：[证明]令f(x)=x2-(1+x)ln2(1+x)，f(0)=0；

f'(x)=2x-ln2(1+x)-2ln(1+x)，f'(0)=0；

由得f'(x)＞0(x＞0)；

由得f(x)＞0(x＞0)，即x2＞(1+x)ln2(1+x)(x＞0)．

20.

证明不等式：正确答案：[证明]令，f(0)=0，令，得x=0，因为，所以x=0为f(x)的极小值点，也为最小值点，而f(0)=0，故对一切的x，有f(x)≥0，即．

21.

求的极值．正确答案：[解]令y'=(1-x)arctanx=0，得x=0或x=1，，因为y"(0)=1＞0，，所以x=0为极小值点，极小值为y=0；x=1为极大值点，极大值为

22.

设PQ为抛物线的弦，它在此抛物线过P点的法线上，求PQ长度的最小值．正确答案：[解]令P，因为关于y轴对称，不妨设a＞0．

，过P点的法线方程为，

设，因为Q在法线上，所以，解得

PQ的长度的平方为

由得为唯一驻点，从而为最小点，

故PQ的最小距离为

23.

证明：当0＜x＜1时，(1+x)ln2(1+x)＜x2．正确答案：[证明]令f(x)=x2-(1+x)ln2(1+x)，f(0)=0；

f'(x)=2x-ln2(1+x)-2ln(1+x)，f'(0)=0；

由得f'(x)＞0(0＜x＜1)；

再由，得f(x)＞0(0＜x＜1)，

故当0＜x＜1时，(1+x)ln2(1+x)＜x2．