考研数学二分类模拟题19

考研数学二分类模拟题19解答题1.

设f(x)=x(x-1)(x+2)(x-3)…(x+100)，求f'(0)．正确答案：[解]方法一

由f'(x)=(x-1)(x+2)…(x+100)+（江南博哥）x(x+2)…(x+100)+…x(x-1)…(x-99)，

得f'(0)=(-1)·2·(-3)·…·100=100!．

方法二

2.

设y=ln(2+3-x)，求dy|x=0．正确答案：[解]由得，故．

3.

可导且f'(0)≠0，且，求正确答案：[解]由得．

4.

设y=y(x)由方程ey+6xy+x2-1=0确定，求y"(0)．正确答案：[解]将x=0代入得y=0，ey+6xy+x2-1=0两边对x求导得

将x=0，y=0代入得y'(0)=0．

两边再对x求导得

将x=0，y=0，y'(0)=0代入得y"(0)=-2．

5.

由方程sinxy+ln(y-x)=x，确定函数y=y(x)，求正确答案：[解]将x=0代入sinxy+ln(y-z)=x得y=1，sinxy+ln(y-x)=x两边对x求导得，

将x=0，y=1代入得．

6.

求正确答案：[解]由得

．

7.

设y=x2lnx，求y(n)(x)．正确答案：[解]

由得

8.

设，求f(n)(x)正确答案：[解]令

由A(2x+1)+B(x-2)=4x-3得解得A=1，B=2，

即

9.

设，求f"(x)．正确答案：[解]

则

10.

设f(x)连续，且对任意的x，y∈(-∞，+∞)有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，f'(0)=1，求f(x)．正确答案：[解]当x=y=0时，f(0)=2f(0)，于是f(0)=0．

对任意的x∈(-∞，+∞)，

则f(x)=x2+x+C，因为f(0)=0，所以C=0，故f(x)=x+x2．

11.

设讨论函数f(x)在x=0处的可导性．正确答案：[解]因为得，故f(x)在x=0处连续．

由得f'-(0)=1，

再由得f'+(0)=0，

因为f'-(0)≠f'+(0)，所以f(x)在x=0处不可导．

12.

设f(x)二阶连续可导，且f(0)=f'(0)=0，f"(0)≠0，设u(x)为曲线y=f(x)在点(x，f(x))处的切线在x轴上的截距，求正确答案：[证明]曲线y=f(x)在点(x，f(x))的切线为Y-f(x)=f'(x)(X-x)，令Y=0，则，

则

13.

设f(x)在x=a处二阶可导，证明：正确答案：[证明]

14.

设f(x)连续，f(0)=0，f'(0)=1，求正确答案：[解]

又由得a→0时，于是

15.

设，求

．正确答案：[解]方程两边对x求导数得，则

16.

设f(x)连续，且，求g'(x)．正确答案：[解]

17.

证明：连续函数取绝对值后函数仍保持连续性，举例说明可导函数取绝对值不一定保持可导性．正确答案：[证明]设f(x)在[a，b]上连续，令g(x)=|f(x)|，对任意的x0∈[a，b]，有0≤|g(x)-g(x0)|=||f(x)|-|f(x0)||≤|f(x)-f(x0)|，

因为f(x)在[a，b]上连续，所以

由夹逼定理得，

即|f(x)|在x=x0处连续，由x0的任意性得|f(x)|在[a，b]上连续．

设f(x)=x，则f(x)在x=0处可导，但|f(x)|=|32|在x=0处不可导．

18.

举例说明函数可导不一定连续可导．正确答案：[解]令

当x≠0时，，当x=0时，，即

因不存在，而f'(0)=0，所以f(x)在x=0处可导，但f'(x)在x=0处不连续．

设f(x)在[a，b]上有定义，M＞0且对任意的x，y∈[a，b]，有

|f(x)-f(y)|≤M|x-y|k．19.

证明：当k>0时，f(x)在[a，b]上连续；正确答案：[证明]对任意的x0∈[a，b]，由已知条件得

再由x0的任意性得f(x)在[a，b]上连续．

20.

证明：当k＞1时，f(x)≡常数．正确答案：[证明]对任意的x0∈[a，b]，因为k＞1．

所以，由夹逼定理得f'(x0)=0，因为x0是任意一点，所以f'(x)≡0，故f(x)≡常数．

21.

设处可导，确定常数a，b，并求f'(x)．正确答案：[解]由f(x)在x=0处连续，得b=0．

由f(x)在x=0处可导，得a=2，所以则

22.

设对一切的x，有f(x+1)=2f(x)，且当x∈[0，1]时f(x)=x(x2-1)，讨论函数f(x)在x=0处的可导性．正确答案：[解]当x∈[-1，0]时，

因为f'-(0)≠f'+(0)，所以f(x)在x=0处不可导．

23.

设求f(x)并讨论其连续性．正确答案：[解]当x＞0时，，当x＜0时，f'(x)=cosx由，得f'(0)=1，则

容易验证，所以f'(x)连续．

24.

设确定y为x的函数，求．正确答案：[解]

等式两边对x求导，得，于是

25.

设求f'(x)．正确答案：[解]当|x|＜1时，

当x＜-