考研数学二分类模拟244

考研数学二分类模拟244解答题1.

设f(x)有二阶连续的导函数，，求f(0)．正确答案：解：

所以

f(0)=I-f(π)=5-2=3[考点]一元函数微积分

2.

设A=(α1，α2，α3，α4，α5)，其中α1，α3，α5线性无关，且α2=3α1-α3-α5，α4=2α1+α3+6α5，求方程组Ax=0的通解．正确答案：解：因为α1，α3，α5线性无关，又α2，α4可由α1，α3，α5线性表出，所以r(A)=3，齐次线性方程组Ax=0的基础解系含有两个线性无关的解向量．

由α2=3α1-α3-α5，α4=2α1+α3+6α5得方程组Ax=0的两个解为

ξ1=(3，-1，-1，0，-1)T，ξ2=(2，0，1，-1，6)T

故Ax=0的通解为k1(3，-1，-1，0，-1)T+k2(2，0，1，-1，6)T(k1，k2为任意常数)．[考点]线性方程组

3.

函数y=e-|x|在x=0处是否连续?是否可导?是否有极值?为什么?正确答案：解：令f(x)=e-|x|，则，所以y=e-|x|在x=0处连续．

又因为

所以y=e-|x|在x=0处不可导．又知，e-x≤1；，ex＜1，所以y=e-|x|在x=0处有极大值1．[考点]连续、导数、微分(Ⅰ)

设二阶矩阵．证明：4.

若|A|＜0，则A可相似于对角矩阵；正确答案：(1)证明：因

因|A|＜0，故A有两个不同的特征值，从而A有两个线性无关的特征向量，A可相似于对角矩阵．[考点]特征值与特征向量

5.

若b，c同号，则A可相似于对角矩阵．正确答案：证明：同第一小题，有

因b，c同号，则bc＞0，故A有两个不同的特征值，对应有两个线性无关的特征向量，A可相似于对角矩阵．[考点]特征值与特征向量

6.

求．正确答案：解：作变换t=-x，得

故

所以

I=4e-1[考点]一元函数微积分

7.

计算Am，其中m是正整数，．正确答案：解：

由上述猜想得

当m=1时显然，下面用数学归纳法证明式①成立．

假设Am-1时命题成立，现在考虑

由数学归纳法原理，对于任意正整数m，式①成立．

注虽然可以把A写成，但是不一定可以交换，因此二项式定理对于此题不适用．[考点]矩阵

8.

计算．正确答案：解1：凑全微分法．

解2：换元法．令，则x=sin2t，dx=sin2tdt，注意到，当时，；当时，，故

[考点]一元函数微积分

9.

讨论反常积分的敛散性．正确答案：解：当p≥1时，原反常积分为无穷限的反常积分．对一切x∈[1，+∞)，有，而发散，故发散，从而原反常积分发散．

当p＜1时，原反常积分既是无穷限的反常积分，也是瑕积分(瑕点为0)，故需将其拆成两部分的和，分别讨论两个反常积分的敛散性．令

当0＜p＜1时，对一切x∈[1，+∞)，有

(此时2-p＞1)，则收敛，所以由比较判别法知收敛．

又0＜p＜1时，0＜1-p＜1，，故由比较判别法的极限形式知瑕积分收敛．故0＜p＜1时，原反常积分收敛．

当p≤0时，注意到此时1-p≥1，而，故瑕积分发散，从而原反常积分发散．

综上，当0＜p＜1时，原反常积分收敛；

当p≥1或p≤0时，原反常积分发散．[考点]一元函数微积分

10.

设a＞0，证明：数列的极限存在，并求极限．正确答案：证明：由条件知

用归纳法易证{xn}单调递增

再用归纳法证明：对所有的正整数n，有

显然当n=1，2时式②成立．假设当n=k时式②成立，即，则当n=k+1时

即证得{xn}单调递增且有上界，故存在，设．对式①两边同时取极限得，解得．所以

[考点]函数、极限

11.

求．正确答案：解：令，则，而

所以．[考点]不定积分、定积分、反常积分

12.

设，求x2项与x3项的系数．正确答案：解：按照行列式的定义，f(x)的每一项均来自不同行不同列元素的乘积，而x2项和x3项均来自(x+2)(2x+3)(3x+1)，所以x2的系数为23，x3的系数为6．[考点]行列式

13.

，求．正确答案：解：注意到P1，P2为初等矩阵，且，故

[考点]矩阵

14.

设函数y=f(x)在[0，+∞)上可导，且f'(x)＞0，f(a)=0．试证

其中b＞a＞0，x=g(y)是y=f(x)的反函数．正确答案：证明：由于f[g(y)]=y，g[f(x)]=x，因此

[考点]一元函数微积分

15.

设f(x，y)在单位圆上有连续的偏导数且在边界上取值为零，证明

其中D为圆环域ε2≤x2+y2≤1．正确答案：证明：令x=rcosθ，y=rsinθ，则

于是

因为f(x，y)在单位圆边界上取值为零，所以f(cosθ，sinθ)=0，利用定积分中值定理知

故

结论得证．[考点]二重积分

已知五阶行列式

计算：16.

A41+A42+A43+A44+A45；正确答案：解1：

解2：由

2(A41+A42+A43)+A44+A45=0

A41+A42+A43+2(A44+A45)=27

得

A44+A45=18

①

故

A41+A42+A43+A44+A45=9

②[考点]行列式

17.

A41．正确答案：解：因

A41+2A42+3A43+4A44+5A45=0③

3A41+A42+2A43+4A44+5A45=0④

④-③可得

2A41-A42-A43=0⑤

而由①②两式可知

A41+A42+A43=-9⑥

⑤⑥两式相加得A41=-3．[考点]行列式

18.

计算，其中D={(x，y)|3x2≤y≤3}，[y-3x2]表示取整函数．正确答案：解：因为被积函数的根号中取整函数，所以将区域D分解为如下三个区域(下图)

D1=D∩{(x，y)|0≤y-3x2＜1}

D2=D∩{(x，y)|1≤y-3x2＜2}

D3=D∩{(x，y)|2≤y-3x2≤3}

且

根据二重积分对区域的可加性及D2，D3关于y轴的对称性，得

[考点]多元函数微积分

19.

试求曲线y3+xy2+x2y+6=0在点(1，-2)处的曲率．正确答案：解：由已知条件可得

(3y2+2xy+x2)y'+(y2+2xy)=0

(6yy'+4y+2xy'+4x)y'+(3y2+2xy+x2)y"+2y=0

将x=1，y=-2代入上式得y'|x=1=0，，于是所求曲率

[考点]定积分的应用

20.

设，求证：f(x)在(0，+∞)上的最大值不超过．正确答案：证明：因为f'(x)=(x-x2)(sinx)2n，所以，当0＜x＜1时，f'(x)＞0；当x＞1时，f'(x)＜0．故对一切x≥0，有f(x)≤f(1)，而

所以，当x＞0时，，命题得证．[考点]一元函数微积分

21.

设A，B是同阶可逆方阵，且A-1+B-1是可逆矩阵，证明A+B是可逆矩阵，并求(A+B)-1．正确答案：