考研数学二分类模拟234

考研数学二分类模拟234解答题1.

求．正确答案：解：

将式②代入式①可得

而

所以，故．[考点]函数、极限

如图所示，悬链线在x∈[0，u]上的一段弧长和曲边梯形面积分别记为s(u)和A(u)；该曲边梯形绕x轴旋转所得旋转体的体积和侧面积分别记为V(u)和S(u)；该旋转体在x=u处的底面积记为F(u)．试证：

2.

s(u)=A(u)，S(u)=2V(u)，；正确答案：证明：由于

因此有

[考点]定积分的应用

3.

．正确答案：又因

所以

[考点]定积分的应用

设n(n≥2)阶矩阵A=(α1，α2，…，αn)的前n-1个列向量线性相关，后n-1个列向量线性无关，且α1+2α2+…+(n-1)αn-1=0，b=α1+α2+…+αn．4.

证明方程组Ax=b有无穷多个解；正确答案：证明：因为r(A)=n-1，又b=α1+α2+…+αn，所以，即，所以方程组Ax=b有无穷多个解．[考点]线性方程组

5.

求方程组Ax=b的通解．正确答案：解：因为α1+2α2+…+(n-1)αn-1=0，所以

α1+2α2+…+(n-1)αn-1+0αn=0

即齐次线性方程组Ax=0有基础解系ξ=(1，2，…，n-1，0)T，又因为b=α1+α2+…+αn，所以方程组Ax=b有特解η=(1，1，…，1)T，故方程组Ax=b的通解为

kξ+η=k(1，2，…，n-1，0)T+(1，1，…，1T)(k为任意常数)[考点]线性方程组

6.

设，且Ax=0有非零解，求A*x=0的通解．正确答案：解：因为Ax=0有非零解，所以|A|=0，而|A|=-(a+4)(a-6)且a＜0，所以a=-4．又因r(A)=2，所以r(A*)=1．由A*A=|A|E=0得，A的列向量组为A*x=0的解，故A*x=0的通解为x=k1(1，0，1)T+k2(2，4，-4)T(k1，k2为任意常数)．[考点]线性方程组

7.

设，求f(x)及其间断点，并判断其类型．正确答案：解：因为

则f(1-0)=1，，f(1-0)≠f(1+0)，所以x=1为f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点．[考点]函数、极限

8.

证明：不存在．正确答案：证明：设f(x)=xsinx，取xn=nπ及，显然n→∞时，有xn→+∞，yn→+∞，但是

故不存在．[考点]函数、极限

设

9.

证明：α1，α2线性无关；正确答案：证明：由于，因此线性无关．从而它们的延伸组α1，α2也线性无关．[考点]向量

10.

把α1，α2扩充成α1，α2，α3，α4，α5的一个极大线性无关组．正确答案：解：把α3添到α1，α2中，直接观察α3=α1-α2，因此α1，α2，α3线性相关．

把α4添到α1，α2中，由于，因此线性无关，从而它们的延伸组α1，α2，α4线性无关．

把α5添到α1，α2，α4中，由于，因此α1，α2，α4，α5线性无关．

综上所述，α1，α2，α4，α5是α1，α2，α3，α4，α5的一个极大线性无关组．[考点]向量

11.

设连接点O(0，0)与Q(1，1)的一条凸曲线弧，对于其上任意一点P(x，y)，曲线弧与直线段围成的图形面积为x2，求曲线弧的方程．正确答案：解：设曲线弧的方程为y=y(x)．注意到是一条凸曲线弧，所以曲线弧与直线段围成的图形(下图)的面积为

由题设，得

两端关于x求导数，并整理得

初始条件y|x=1=1．

解此方程，得通解

y=Cx-4xlnx

将y|x=1=1代入，得C=1，故y=x-4xlnx．

综上所述，所求曲线弧的方程为

[考点]常微分方程及其应用

12.

．正确答案：解：令，则．于是，有

[考点]一元函数微积分

13.

设，求f"xy(0，0)与f"yx(0，0)．正确答案：解：

由此f'x(0，y)=-y，所以f"xy(0，0)=-1．

类似可得f'yx(0，0)=1．[考点]多元函数微分学

14.

设x1＞0，(c＞1为常数)，求．正确答案：证明：分成三种情况讨论．

若，则．

若，考虑[0，+∞)上的函数，则，且f(x)为正值单调递增函数．故，则显然对一切n，．又因为，所以{xn}单调递减，故证得{xn}单调递减有下界，从而收敛．

若，则，则对一切n，．因为，所以{xn}单调递增，故证得{xn)单调递增有上界，从而收敛．

综上可知，{xn}的极限存在．对等式左右两边同时取极限，可得．[考点]极限、连续及其应用

15.

证明：若函数f(x)在区间[a，b]上处处可导(端点指单侧导数)f'(a)＜f'(b)，对，f'(a)＜c＜f'(b)，则，使得f'(ξ)=c．正确答案：证明：令g(x)=f(x)-cx，则g(x)在[a，b]上处处可导

g'(a)=f'(a)-c＜0，g'(b)=f'(b)-c＞0

只要能证明存在ξ∈(a，b)，使得g'(ξ)=0，即f'(ξ)=c．

因为，所以x＞a，且x与a充分接近时，有g(x)＜g(a)；同理由g'(b)＞0，知x＜b，且x与b充分接近时，有g(x)＜g(b)．故g(x)在端点a，b处不取最小值．但g(x)连续，它在闭区间[a，b]上有最小值．所以存在ξ∈(a，b)，使得．由费马定理(即可导的极值点是驻点或稳定点)，知g'(ξ)=0．证毕．

注本例的结论称为达布(G.Darboux)定理或导函数的介值性定理，读者以后可以直接应用此定理．[考点]一元函数微积分

16.

设a＞0，确定方程ax-lnx=0恰有两个正根的条件．正确答案：解：设f(x)=ax-lnx．由可知，函数在(0，a-1]上单调递减，在[a-1，+∞)上单调递增．而

于是当f(a-1)＞0时方程无实根，当f(a-1)＜0时方程恰有两个正根．由

得a所满足的条件是．[考点]极限、连续及其应用

17.

设函数f(x)连续，，f(1)=1，求．正确答案：解：令u=2x-t，则dt=-du，有

从而

两边对x求导，得

故

令x=1，得．[考点]不定积分、定积分、反常积分

18.

设，数列{xn}有如下递推公式：x0=1，xn+1=f(xn)(n=0，1，2，…)．证明：．正确答案：证明：由x0=1，，则

所以

而，从而，于是有，因此．[考点]极限、连续及其应用

19.

设A是n阶实对称矩阵，满足A2=A，r(A)=r(0＜r＜n)．证明：A+E是正定矩阵，并计算|E+A+A2+…+Ak|．正确答案：证明：设Aξ=λξ．两端左乘A，因A2=A，得

A2ξ=Aξ=λξ=Aλξ=λ2ξ

故(λ2-λ)ξ=0，ξ≠0，得λ=0，或λ=1，即A的特征值的取值是0或1，从而得知A+E的特征值是1或2，故知A+E的全部特征值大于零，A+E正定；

因r(A)=r，故1是A的r重特征值，0是A的n-r重特征值，从而2是A+E的r重特征值，1