考研数学二分类模拟233

考研数学二分类模拟233解答题1.

设a＞0，0＜x1＜a，，n∈N+，证明：{xn)收敛，并求极限．正确答案：证明：因为，所以

xn＜a

(n∈N+)

①

由于0＜x1＜a以及，可知

xn＞0

(n=2，3，…)

②

故可作商比较其单调性，，即xn+1＞xn，所以{xn}单调递增，且有上界，故存在，记．

注意到0＜x1≤b，再由，两边取极限，得

由式③解得b=a．所以．[考点]函数、极限

2.

求极限，其中．正确答案：解：因为

而

同样地，有

由①②③及夹逼准则知，．[考点]函数、极限

3.

设f(x)在区间[a，b]上具有二阶导数，且f(a)=f(b)=0，f'(a)f'(b)＞0．证明：存在ξ∈(a，b)和η∈(a，b)，使f(ξ)=0，f"(η)=0．正确答案：证明：先用反证法证明f(ξ)=0，若对一切x∈(a，b)，有f(x)≠0，不妨设f(x)＞0(同理可证f(x)＜0的情况)，则

所以f'(a)f'(b)≤0，与题设矛盾，故，使得f(ξ)=0．

由于f(a)=f(ξ)=f(b)=0，在[a，ξ]与[ξ，b]上分别应用罗尔中值定理，则存在ξ1∈(a，ξ)，ξ2∈(ξ，b)，使得f'(ξ1)=0=f'(ξ2)，在[ξ1，ξ2]上再次应用罗尔中值定理，存在，使得f"(η)=0．[考点]连续、导数、微分(Ⅱ)

设(其中a，b，c是整数)是奇函数，且在[1，+∞)上单调递增，f(1)=2，f(2)＜3．4.

求a，b，c的值；正确答案：解：由于f(x)是奇函数，-f(x)=f(-x)，，解得c=0．再由f(1)=2，可得a=2b-1．因f(x)在[1，+∞)上单调递增，且f(1)=2，则，将a=2b-1代入该不等式再整理，可得．

又因为b是整数，所以b=1，从而a=1，即a=1，b=1，c=0．[考点]函数、极限

5.

求f(x)在(0，1)上的单调性．正确答案：解：由第一小题知，，则当x∈(0，1)时，．所以f(x)在(0，1)上单调递减．[考点]函数、极限

6.

设f(x)在(-∞，+∞)内有定义，且对任意x∈(-∞，+∞)，y∈(-∞，+∞)，满足f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，f'(0)=a≠0．试证对任意x∈(-∞，+∞)，f'(x)存在，并求f(x)．正确答案：解：由等式

f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex

得

f(x)=f(x)+f(0)ex

所以f(0)=0．那么对于任意x∈(-∞，+∞)，有

于是

即

f'(x)=f(x)+f'(0)ex

解这个一阶线性微分方程，得

f(x)=ex(ax+C)

再由f(0)=0，可得f(x)=axex．[考点]常微分方程及其应用

7.

求的极值．正确答案：解：，令y'=0得，因为，当x＜0时，y'＞0；当时，y'＞0；当时，y'＜0；当x＞1时，y'＞0．所以．当x=0时无极值；当时函数有极大值；当x=1时函数有极小值y=0．[考点]连续、导数、微分(Ⅱ)

8.

设，求．正确答案：解：当x=0时，xn≡1，所以．

当x≠0时，注意到sin2α=2sinα·cosα，将右端乘以并除以，此时反复利用二倍角公式即可得

所以

[考点]函数、极限

9.

设，且AX+|A|E=A*+X，求X.正确答案：解：由AX+|A|E=A*+X，得

(A-E)X=A*-|A|E=A*-AA*=(E-A)A*

因为|E-A|=-3≠0，所以E-A可逆，于是X=-A*．

由|A|=6得X=-6A-1，计算得，于是

[考点]矩阵

10.

．正确答案：解：设，通分后应有x≡A(x+2)(x+3)+B(x+1)(x+3)+C(x+1)(x+2)，在恒等式中，令x=-1，得-1=2A，；令x=-2，得-2=-B，B=2；令x=-3，得-3=2C，．于是

[考点]不定积分、定积分、反常积分

11.

设，且Ax=0的基础解系含有两个线性无关的解向量，求Ax=0的通解．正确答案：解：

因为r(A)=2，所以t=1，方程组的通解为

[考点]线性方程组

12.

设二次型的秩为2，求a的值．正确答案：解：该二次型的矩阵为，因为该二次型的秩为2，所以|A|=0，解得．[考点]二次型

13.

求，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}．正确答案：解：令

D1={(x，y)∈D|0≤x≤1，0≤y≤x}

D2={(x，y)∈D|0≤x≤1，x≤y≤1}

所以

[考点]多元函数微积分

14.

当|x|≥1时，证明：．正确答案：证明：当|x|＞1时，由于

故当x＞1时

当x＜-1时

下面确定常数C1与C2，令，代入前一式，得C1=π；令，代入后一式，得C2=-π．

从而，当|x|≠1时，有

而当|x|=1时，原式仍成立．于是当|x|≥1时，有

[考点]连续、导数、微分(Ⅱ)

15.

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，证明：必有ξ∈(a，b)，使．正确答案：证明：令F(x)=xf(x)，F'(x)=f(x)+xf'(x)．

由拉格朗日中值定理，，使

即

[考点]连续、导数、微分(Ⅱ)

16.

计算．正确答案：解：

所以[考点]不定积分、定积分、反常积分

17.

设f(x)在(0，+∞)上连续可微，且f(0)=1，x≥0时，f(x)＞|f'(x)|，证明：x＞0时，ex＞f(x)．正确答案：证明：由于当x≥0时，f(x)＞|f'(x)|，即-f(x)＜f'(x)＜f(x)．

当t＞0时，f(t)＞0，故有，两边从0到x积分得

其中x＞0，注意到f(0)=1，从而可得lnf(x)＜x，即ex＞f(x)．[考点]不定积分、定积分、反常积分

18.

设函数f(x)在定义域I上的导数大于零，若对任意的x0∈I，曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线x=x0及x轴所围成区域的面积恒为4，且f(0)=2，求f(x)的表达式．正确答案：解：曲线在x=x0处的切线为

l：y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)

令y=0，得，得l与x轴的交点为，则

其中A=(x0，0)．因此三角形面积

即满足微分方程，解得

又因y(0)=2，所以，故．[考点]常微分方程及其应用

19.

设A，B分别为3×2和2×3实矩阵，若，求BA.正确答案：解1：由于r(AB)=2，故A是列满秩的，B是行满秩的．所以存在可逆矩阵P3×3，Q3×3，使得

于是

一方面

另一方面

结合①②可得

进而有

此时利用分块矩阵的乘法，可得式③左端为，右端为，所以BA=9E2．

解2：由A，B分别列满秩，行满秩，存在C2×3，D3×2，使得CA=E2=BD．

又由(AB)2=9(AB)，得

B