考研数学二分类模拟224

考研数学二分类模拟224一、选择题1.

关于二次型下列说法正确的是______A.是正定的B.其矩阵可逆C.其秩为1D.其秩为2正确答案：C[解析]二次型的矩阵

所以r(A)=1，选项A、B、D都不正确。故选C。

2.

n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是______A.二次型xTAx的负惯性指数为零B.存在可逆矩阵P使P-1AP=EC.存在n阶矩阵C使A=C-1CD.A的伴随矩阵A*与E合同正确答案：D[解析]选项A是必要不充分条件。这是因为r(A)=p+q≤n，当q=0时，有r(A)=p≤n。此时有可能p＜n，故二次型xTAx不一定是正定二次型。因此矩阵A不一定是正定矩阵。例如f(x1，x2，x3)=。

选项B是充分不必要条件。这是因为P-1AP=E表示A与E相似，即A的特征值全是1，此时A是正定的。但只要A的特征值全大于零就可保证A正定，因此特征值全是1不是必要条件。

选项C中的矩阵C没有可逆的条件，因此对于A=CTC不能说A与E合同，即没有A是正定矩阵的结论。例如

显然矩阵A不正定。

关于选项D．由于

A正定A-1正定A*正定A*与E合同，所以D项是充分必要条件。故选D。

此处要注意正定、负定、非正定、非负定是四个不同的概念，前两者不允许有0特征值存在，后两者允许有0特征值的存在。

3.

已知实二次型f=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2正定，矩阵A=(aij)3×3，则______A.A是正定矩阵B.A是可逆矩阵C.A是不可逆矩阵D.以上结论都不对正确答案：B[解析]f=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2

=xTATAx=(Ax)T(Ax)。

因为实二次型f正定，所以对任意x≠0，f＞0的充要条件是Ax≠0，即齐次线性方程组Ax=0只有零解，故A是可逆矩阵。故选B。

4.

设f=xTAx，g=xTBx是两个n元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是______A.xT(A+B)xB.xTA-1xC.xTB-1xD.xTABx正确答案：D[解析]因为f是正定二次型，A是n阶正定矩阵，所以A的n个特征值λ1，λ2，…，λn都大于零。设Apj=λjpj，则，A-1的n个特征值(j=1，2，…，n)必都大于零，这说明A-1为正定阵，xTA-1x为正定二定型。

同理，xTB-1x为正定二次型，对任意n维非零列向量x都有xT(A+B)x=xTAx+xTBx＞0，这说明xT(A+B)x为正定二次型。由于两个同阶对称阵的乘积未必为对称阵，所以xTABx未必为正定二次型。故选D。

5.

设A，B均为n阶正定矩阵，下列各矩阵中不一定是正定矩阵的是______A.A-1+B-1B.ABC.A*+B*D.2A+3B正确答案：B[解析]A，B为正定矩阵，则A-1，B-1仍是正定矩阵，故A-1+B-1也是正定矩阵。类似地，选项C、D中的矩阵均为正定矩阵。故选B。

事实上，由于(AB)T=BTAT=BA，但AB=BA不一定成立，故AB不一定是正定矩阵。

6.

下列条件不能保证n阶实对称矩阵A正定的是______A.A-1正定B.A没有负的特征值C.A的正惯性指数等于nD.A合同于单位矩阵正确答案：B[解析]A-1正定表明存在可逆矩阵C，使CTA-1C=E，两边求逆得到

C-1A(CT)-1=C-1A(C-1)T=E，

即A合同于E，A正定，因此排除选项A。

C选项表明A的正惯性指数等于n，故A是正定矩阵，排除选项C。

D选项是A正定的定义，也不正确，排除选项D。

由排除法，故选B。

事实上，一个矩阵没有负的特征值，但可能有零特征值，而正定阵的特征值必须全是正数。

7.

设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换x=Py下的标准形为，其中P=(e1，e2，e3)。若Q=(e1，-e3，e2)，则f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为______

A．

B．

C．

D．正确答案：A[解析]方法一：由题设可知f=xTAx=yT(PTAP)y=且

所以f=xTAx=yT(QTAQ)y=故选A。

方法二：由题意可知，二次型f(x1，x2，x3)的矩阵A的特征值为2，1，-1，对应的特征向量分别为P1，e2，e3。由特征向量的性质可知，e1，e2，-e3仍然分别是属于特征值2，1，-1的特征向量，同时e1，e2，-e3仍为单位正交向量组，故QTAQ=diag{2，-1，1)。所以二次型f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为，故选A。

这种题型一般有两种解法。一种是通过初等矩阵与初等变换之间的关系，找到与二次型矩阵合同的对角矩阵，从而得到标准形。另一种是借助二次型在正交变换下的合同标准形与正交变换矩阵之间的关系进行求解。

8.

设二次型的正、负惯性指数分别为1，2，则______A.a＞1B.a＜-2C.-2＜a＜1D.a=1或a=-2正确答案：C[解析]二次型矩阵为则由|λE-A|=(λ-a+1)2(λ-a-2)可知其特征值为a-1，a-1，a+2，于是a-1＜0，a+2＞0，即-2＜a＜1，故选C。

二、填空题1.

二次型厂(x1，x2，x3)=(x1+2x2+a3x3)(x1+5x2+b3x3)的合同规范形为______。正确答案：[解析]令所以该线性变换是非退化的，则原二次型与变换之后的二次型f=y1y2是合同的，故有相同的合同规范形。

二次型f=y1y2的矩阵为其特征值为所以原二次型的正、负惯性指数均为1，故原二次型的合同标准形为

2.

设为正定二次型，则未知系数a的范围是______。正确答案：[解析]二次型的矩阵为

其各阶主子式为

因为f为正定二次型，所以必有1-a2＞0且-a(5a+4)＞0，因此

故当时，A正定，从而f正定。

3.

设A是三阶实对称矩阵，满足A3=2A2+5A-6E，且kE+A是正定矩阵，则k的取值范围是______。正确答案：k＞2[解析]根据题设条件，则有A3-2A2-5A+6E=O。设A有特征值λ，则λ满足条件λ3-2λ2-5λ+6=0，将其因式分解可得λ3-2λ2-5λ+6=(λ-1)(λ+2)(λ-3)=0，因此可知矩阵A的特征值分别为1，-2，3，故kE+A的特征值分别为k+1，k-2，k+3，且当k＞2时，kE+A的特征值均为正数。故k＞2。

4.

设α=(1，0，1)T，A=ααT，若B=(kE+A)*是正定矩阵，则k的取值范围是______。正确答案：k＞0或k＜-2[解析]矩阵A=ααT的秩为1，且tr(A)=αTα=2，故矩阵A的特征值是2，0，0，从而矩阵kE+A的特征值是k+2，k，k。矩阵B=(kE+A)*=|kE+A|(kE+A)-1的特征值是k2，k(k+2)，k(k+2)。矩阵B正定的充要条件是特征值均大于零，即k2＞0且k(k+2)＞0，解得k＞0或k＜-2。

5.

二次型则f的正惯性指数为______。正确答案：2[解析]方法一：利用二次型矩阵A的特征值。因为

所以

即A的特征值为λ1=0，λ2=1，λ3=4，原二次型的标准形为其正惯性指数p=2。

方法二：配方法得

因此原二次型的正惯性指数为2。

一般求正惯性指数可先把二次型化为标准形，标准形中正平方项的个数就是二次型的正惯性指数。

6.

设二次型的负惯性指数是1，则a的取值范围是______。正确答案：[-2，2][解析]方法一：由配方法可知，

因二次型的负惯性指数为1，故4-a2≥0，所以a的取值范围是[-2，2]。

方法二：二次型的矩阵为由题意可知A的特征值中有且仅有一个为负数。

又由于tr(A)=0，矩阵A的惯性指数有两种可能：正惯性指数为1，负惯性指数为1；正惯性指数为2，负惯性指数为1，出现这两种情况之一的充要条件是|A|≤0。|A|=a2-4，可知a∈[-2，2]。

三、解答题1.

设为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵。

(Ⅰ)计算PTDP，其中

(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果判断矩阵B-CTA-1C是否为正定矩阵，并证明结论。正确答案：解：(Ⅰ)因为则

(Ⅱ)由(Ⅰ)中结果知矩阵D与矩阵合同，又因D是正定矩阵，所以矩阵M为正定矩阵，从而可知M是对称矩阵，那么B-CTA-1C是对称矩阵。

对m维零向量x=(0，0，…，0)T和任意n维非零向量y=(y1，y2，…，yn)T，都有

即

yT(B-CTA-1C)y＞0，

依定义，yT(B-CTA-1C)Y为正定二次型，所以矩阵B-CTA-1C为正定矩阵。

2.

设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记

(Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT；

(Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为正确答案：证明：(Ⅰ)

所以二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT。

(Ⅱ)设A=2ααT+ββT，由于|α|=1，αTβ=βTα=0，则

Aα=(2ααT+ββT)α=2α|α|2+ββTα=2α，

所以α为矩阵对应特征值λ1=2的特征向量；

Aβ=(2ααT+ββT)β=2ααTβ+β|β|2=β，

所以β为矩阵对应特征值λ2=1的特征向量。

而矩阵A的秩

r(A)=r(2ααT+ββT)≤r(2ααT)+r(ββT)=2，

所以λ3=0也是矩阵的一个特征值。故厂在正交变换下的标准形为。[解析]二次型在正交变换下的合同标准形是由其特征值组成的，故要证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型，也就相当于要证明二次型的特征值为2，1，0。

3.

用正交变换将二次型化为标准形，并给出所施行的正交变换。正确答案：解：二次型的矩阵为特征多项式为

矩阵A的特征值为λ1=-7，λ2=λ3=2。

由(λiE-A)x=0(i=1，2，3)解得特征值λ1=-7和λ2=λ3=2对应的特征向量分别为

α1=(1，2，-2)T，α2=(-2，1，0)T，α3=(2，0，1)T，

由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，所以先将α2，α3正交化，即

再将α1，β2，β3单位化，即

那么令

则二次型xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为

4.

设二次型通过正交变换化为标准形

(Ⅰ)求常数a，b及所用的正交变换矩阵Q；

(Ⅱ)求f在xTx=3下的最大值。正确答案：解：(Ⅰ)二次型矩阵及其对应的标准形矩阵分别为

由矩阵B可知矩阵A的特征值为2，2，b。由矩阵A的迹tr(A)=3=2+2+b可得b=-1。

由于2是A的二重特征值，而实对称矩阵A必可相似对角化，所以矩阵A的对应于特征值2的线性无关的特征向量有两个。于是矩阵2E-A的秩为1，而

所以a=-1。

由(λiE-A)x=0(i=1，2，3)解得特征值λ1=λ2=2和λ3=-1对应的特征向量分别为

α1=(1，0，-1)T，α2=(0，1，-1)T，α3=(1，1，1)T，

由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，所以先将α1，α2正交化，即

再将β1，β2，α3单位化，即

则正交变换矩阵

(Ⅱ)二次型f=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为。条件xTx=3等价于yTQTQy=的最大值为6，所以f在xTx=3下的最大值是6。

5.

已知二次型

(Ⅰ)写出二次型f的矩阵表达式；

(Ⅱ)用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵。正确答案：解：(Ⅰ)二次型的矩阵为

则二次型的矩阵表达式为f=xTAx。

(Ⅱ)矩阵A的特征多项式为

矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=6，λ3=-6。

由(λiE-A)x=0(i=1，2，3)解得特征值λ1=1，λ2=6，λ3=-6对应的特征向量分别为

α1=(-2，0，1)T，α2=(1，5，2)T，α3=(1，-1，2)T，

由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，所以可直接将α1，α2，α3单位化，即

则正交变换矩阵

且二次型xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为

6.

设二次型

(Ⅰ)写出二次型的矩阵表达式；

(Ⅱ)求正交矩阵P，作变换x=Py将二次型化为标准形。正确答案：解：(Ⅰ)二次型的矩阵为

则二次型的矩阵表达式为f=xTAx。

(Ⅱ)矩阵A的特征多项式为

矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=3，λ3=7。

由(λiE-A)x=0(i=1，2，3)解得特征值λ1=1，λ2=3，λ3=7对应的特征向量分别为

α1=(-1，1，1)T，α2=(1，1，0)T，α3=(1，-1，2)T，

由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，所以可直接将α1，α2，α3单位化，即

则正交变换矩阵

且二次型xTAx在正交变换x=Py下的标准形为

7.

已知n元实二次型f=xTAx，其中x=(x1，x2，…，xn)T。试证f在条件下的最大值恰好为矩阵A的最大特征值。正确答案：证明：实二次型f=xTAx所对应的矩阵A为实对称矩阵，则存在正交矩阵P使

其中λi(i=1，2，…，n)是矩阵A的特征值。作线性变换x=Py，其中y=(y1，y2，…，yn)T，则

求f=xTAx在条件xTx=1下的最大值可转化为求在条件下的最大值。设C=max{λ1，λ2，…，λn}，则

上式取y=(1，0，…，0)T时，等号成立，此时f取到最大值c。故在条件xTx=1下，f的最大值恰好为矩阵A的最大特征值。

8.

设实二次型f(x1，x2，x3)=(x1-x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2，其中a是参数。

(Ⅰ)求f(x1，x2，x3)=0的解；

(Ⅱ)求f(x1，x2，x3)的规范形。正确答案：解：(Ⅰ)由f(x1，x2，x3)=0可知

该齐次线性方程组的系数矩阵为将其经初等行变换化为阶梯形矩阵，则有

当a≠2时，f(x1，x2，x3)=0有唯一解(0，0，0)T。

当a=2时，其通解为k(-