考研数学二分类模拟210

考研数学二分类模拟210一、选择题1.

具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是______A.y'''-y"-y'+y=0B.y'''+y"-y'-y=0（江南博哥）C.y'''-6y"+11y'-6y=0D.y'''-2y"-y'+2y=0正确答案：B[解析]由y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex是所求方程的三个特解知，λ=-1，-1，1为所求三阶常系数齐次微分方程的特征方程的三个根，则其特征方程为(λ-1)(λ+1)2=0，即λ3+λ2-λ-1=0，对

应的微分方程为y'''+y"-y'-y=0。故选B。

如果已知常系数齐次线性微分方程的通解，要反过来求微分方程，一般的思路是先得到方程的特征根，由特征根还原出特征方程，进而得到微分方程。

2.

在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是______A.y'''+y"-4y'-4y=0B.y'''+y"+4y'+4y=0C.y'''-y"-4y'+4y=0D.y'''-y"+4y'-4y=0正确答案：D[解析]已知题设的微分方程通解中含有ex，cos2x，sin2x可知齐次线性方程所对应的特征方程的特征根为λ=1，λ=±2i，所以特征方程为

(λ-1)(λ-2i)(λ+2i)=0，

即

λ3-λ2+4λ-4=0。

因此根据微分方程和对应特征方程的关系，可知所求微分方程为

y'''-y"+4y'-4y=0，

故选D。

高阶常系数齐次线性微分方程通解与特征根的关系，与二阶常系数齐次线性微分方程是一样的。

3.

函数y=C1ex+C2e-2x+xex满足的一个微分方程是______A.y"-y'-2y=3xexB.y"-y'-2y=3exC.y"+y'-2y=3xexD.y"+y'-2y=3ex正确答案：D[解析]根据所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为

λ1=1，λ2=-2。

因此对应的齐次微分方程的特征方程为

λ2+λ-2=0。

故对应的齐次微分方程为y"+y'-2y=0。

又因为y*=xex为原微分方程的一个特解，而λ=1为特征根且为单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项形式为f(x)=Cex(C为常数)。

比较四个选项，故选D。

4.

若y=xex+x是微分方程y"-2y'+ay=bx+c的解，则______A.a=1，b=1，c=1B.a=1，b=1，c=-2C.a=-3，b=-3，c=0D.a=-3，b=1，c=1正确答案：B[解析]由于y=xex+x是方程y"-2y'+ay=bx+c的解，则xex是对应的齐次方程的解，其特征方程有二重根λ1=λ2=1，则a=1。x为非齐次方程的解，将y=x代入方程y"-2y'+y=bx+c，得b=1，c=-2。故选B。

5.

方程y"-3y'+2y=ex+1+excos2x的特解形式为______A.y=axex+b+Aexcos2xB.y=aex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)C.y=axex+b+xex(Acos2x+Bsin2x)D.y=axex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)正确答案：D[解析]齐次微分方程y"-3y'+2y=0的特征方程为

λ2-3λ+2=0，

特征根为λ1=1，λ2=2，则方程y"-3y'+2y=ex+1+excos2x的特解为

y=axex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)。

故选D。

6.

微分方程y"+y=x2+1+sinx的特解形式可设为______A.y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)B.y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)C.y*=ax2+bx+c+AsinxD.y*=ax2+bx+c+Acosx正确答案：A[解析]对应齐次方程y"+y=0的特征方程为

λ2+1=0，

特征根为

λ=±i，

对于方程y"+y=x2+1=e0(x2+1)，0不是特征根，从而其特解形式可设为

y1*=ax2+bx+c，

对于方程y"+y=sinx，i为特征根，从而其特解形式可设为

y2*=x(Asinx+Bcosx)，

因此y"+y=x2+1+sinx的特解形式可设为

y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)。

故选A。

非齐次线性微分方程y"+ay'+by=f(x)，(f(x)≠0)的特解形式是根据其对应的齐次线性微分方程的特征根决定的，如果f(x)是多项式，则根据特解的结构，结合解的叠加原理，将微分方程拆分成几个单独的方程，分别求特解再相加。

7.

微分方程y"-λ2y=eλx+e-λx(λ＞0)的特解形式为______A.a(eλx+e-λx)B.ax(eλx+e-λx)C.x(aeλx+be-λx)D.x2(aeλx+be-λx)正确答案：C[解析]原方程对应的齐次方程的特征方程为r2-λ2=0，其特征根为r1,2=±λ，所以y"-λ2y=eλx的特解为y1*=axeλx，y"-λ2y=e-λx的特解为y2*=bxe-λx，根据叠加原理可知原方程的特解形式为

y*=y1*+y2*=x(aeλx+be-λx)。

故选C。

二、填空题1.

微分方程满足初始条件y|x=2=1的特解是______。正确答案：x=y2+y[解析]将x看作未知函数，则

上式为x对y的一阶线性方程，又因y=1＞0，则

将x=2，y=1代入，得C=1。故x=y2+y。

2.

微分方程ydx+(x-3y2)dy=0，x＞0满足条件y|x=1=1的特解为______。正确答案：x=y2[解析]对原微分方程变形可得

此方程为一阶线性微分方程，所以

又y=1时x=1，解得C=0，因此x=y2。

3.

已知y1=e3x-xe2x，y2=ex-xe2x，y3=-xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为______。正确答案：y=C1e3x+C2ex-xe2x[解析]显然y1-y3=e3x和y2-y3=ex是对应的二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解，且y*=-xe2x是非齐次微分方程的一个特解。

由解的结构定理，该方程的通解为

y=C1e3x+C2ex-xe2x。

4.

设y=ex(asinx+bcosx)(a，b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为______。正确答案：y"-2y'+2y=0[解析]由通解的形式可知，特征方程的两个根是λ1，λ2=1±i，因此特征方程为

(λ-λ1)(λ-λ2)=λ2-(λ1+λ2)λ+λ1λ2=λ2-2λ+2=0，

故所求微分方程为y"-2y'+2y=0。

5.

微分方程xy"+3y'=0的通解为______。正确答案：[解析]令p=y'，则原方程化为其通解为p=Cx-3。

因此

6.

微分方程的通解为______。正确答案：[解析]二阶齐次微分方程的特征方程为

解方程得因此齐次方程的通解为

7.

微分方程y"+2y'+5y=0的通解为______。正确答案：y=e-x(C1cos2x+C2sin2x)[解析]由题干可知，方程y"+2y'+5y=0的特征方程为λ2+2λ+5=0。解得

则原方程的通解为y=e-x(C1cos2x+C2sin2x)。

8.

设函数y=y(x)是微分方程y"+y'-2y=0的解，且在x=0处y(x)取得极值3，则y(x)=______。正确答案：e-2x+2ex[解析]先求解特征方程λ2+λ-2=0，解得λ1=-2，λ2=1。所以原方程的通解为

y=C1e-2x+C2ex。

由题设可知y(0)=3，y'(0)=0。代入解得C1=1，C2=2，故y=e-2x+2ex。

9.

微分方程y"-2y'+2y=ex的通解为______。正确答案：y=C1excosx+C2exsinx+ex[解析]对应的特征方程为

λ2-2λ+2=0，

解得其特征根为λ1,2=1±i。由于α=1不是特征根，可设原方程的特解为y*=Aex，代入原方程解得A=1。因此所求的通解为y=C1excosx+C2exsinx+ex。

10.

二阶常系数非齐次线性方程y"-4y'+3y=2e2x的通解为y=______。正确答案：y=C1ex+C2e3x-2e2x[解析]特征方程为λ2-4λ+3=0，解得λ1=1，λ2=3。则对应齐次线性微分方程y"-4y'+3y=0的通解为y=C1ex+C2e3x。

设非齐次线性微分方程y"-4y'+3y=2e2x的特解为y*=ke2x，代入非齐次方程可得k=-2。

故通解为y=C1ex+C2e3x-2e2x。

11.

微分方程y"-3y'+2y=2ex满足的特解为______。正确答案：y=-3ex+3e2x-2xex[解析]y"-3y'+2y=2ex对应的齐次方程的特征方程是λ2-3λ+2=0，它的两个特征根分别是λ1=1，λ2=2。因此对应齐次方程的通解为y=C1ex+C2e2x。

又因为x=1是特征方程的单根，所以，设非齐次方程的特解为y*=Axex，则

(y*)'=Aex+Axex，

(y*)"=2Aex+Axex，

将其代入方程得A=-2。

因此，此非齐次线性微分方程的通解为

y=C1ex+C2e2x-2xex。

由所给题设条件可得y(0)=0，y'(0)=1，代入上式解得y=-3ex+3e2x-2xex。

12.

若二阶常系数齐次线性微分方程y"+ay'+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y"+ay'+by=x满足条件y(0)=2，y'(0)=0的特解为y=______。正确答案：x(1-ex)+2[解析]由常系数齐次线性微分方程y"+ay'+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex可知y1=ex，y2=xex为它的两个线性无关的解，代入齐次方程，有

y"1+ay'1+by1=(1+a+b)ex=01+a+b=0，

y"2+ay'2+by2=[2+a+(1+a+b)x]ex=02+a=0，

从而a=-2，b=1，故非齐次微分方程为y"+ay'+by=x。

设特解y*=Ax+B，代入非齐次微分方程，得-2A+Ax+B=x，即

所以特解为y*=x+2，非齐次方程的通解为y=(C1+C2x)ex+x+2。

把y(0)=2，y'(0)=0代入通解，得C1=0，C2=-1。故所求特解为

y=-xex+x+2=x(1-ex)+2。

13.

三阶常系数齐次线性微分方程y'''-2y"+y'-2y=0的通解为y=______。正确答案：C1e2x+C2cosx+C3sinx[解析]微分方程对应的特征方程为

λ3-2λ2+λ-2=0。

解上述方程可得其特征值为2，±i，于是其中一组特解为e2x，cosx，sinx。

因此通解为y=C1e2x+C2cosx+C3sinx。

三、解答题1.

设位于第一象限的曲线y=f(x)过点其上任一点P(x，y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分。求曲线y=f(x)的方程。正确答案：解：曲线y=f(x)在点P(x，y)处的法线方程为

令X=0，则它与y轴的交点为由题意，此点与点P(x，y)所连的线段被x轴平分，由中点公式得即

2ydy+xdx=0，

上式两端积分得

代入初始条件故曲线y=f(x)的方程为

2.

在xOy坐标平面上，连续曲线L过点M(1，0)，其上任意点P(x，y)(x≠0)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax(常数a＞0)。

(Ⅰ)求L的方程；

(Ⅱ)当L与直线y=ax所围成平面图形的面积为时，确定a的值。正确答案：解：(Ⅰ)设曲线L的方程为y=f(x)，则由题设可得

这是一阶线性微分方程，其中

代入通解公式得

又f(1)=0，所以C=-a。

故曲线L的方程为

y=ax2-ax(x≠0)。

(Ⅱ)L与直线y=ax(a＞0)所围成的平面图形如图所示。

所以

故a=2。

3.

已知y1(x)=ex，y2(x)=u(x)ex是二阶微分方程(2x-1)y"-(2x+1)y'+2y=0的解，若u(-1)=e，u(0)=-1，求u(x)，并写出该微分方程的通解。正确答案：解：由已知得

y'2=u'(x)ex+u(x)ex=[u'(x)+u(x)]ex，

y"2=ex[u"(x)+2u'(x)+u(x)]，

所以

(2x-1)ex[u"(x)+2u'(x)+u(x)]-(2x+1)[u'(x)+u(x)]ex+2u(x)ex=0，

化简可得两边对x求积分得

即

u'=C1(2x-1)e-x。

上式两端再次积分得

u(x)=C1∫(2x-1)e-xdx=C1(-2x-1)e-x+C2，

将u(-1)=e，u(0)=-1代入上式得C1=1，C2=0，故u(x)=-(2x+1)e-x。

因此，原方程的通解为

y(x)=D1y1(x)+D2y2(x)=D1ex-D2(2x+1)，

其中D1，D2为任意常数。

4.

设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l：y=y(x)与直线y=x相切于原点，记α为曲线l在点(x，y)处切线的倾角，若求y(x)的表达式。正确答案：解：由两边对x求导得即(1+y'2)y'=y"，因此可知

令y'=p，分离变量得

两边求积分得

代入y'(0)=1，得因此

即可得

由y(0)=0，且再次积分可得

5.

设y=y(x)是凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线的方程，并求函数y=y(x)的极值。正确答案：解：由题设及曲率公式，有(因曲线y=y(x)是凸的，所以y"＜0，|y"|=-y")

化简得两端同时积分解得

arctany'=-x+C1。

(1)

由题设，曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，可知y(0)=1，y'(0)=1。

将x=0代入(1)式，得

由可得

对(2)式积分得

又由题设可知y(0)=1，代入上式得于是所求的曲线方程为

由于且lnx在定义域内是增函数，所以当且仅当时，即x=时，y取得最大值，由于所以此时y取极大值，极大值为显然y在范围内没有极小值。[解析]本题选择是因为已知曲线在x=0处有值，且曲线是一条连续曲线，因此该解的范围应该包含x=0在内并且使y(x)连续的一个区间。

6.

设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y'(x)＞0，y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1-S2恒为1，求曲线y=y(x)的方程。正确答案：解：设曲线y=y(x)上的点P(x，y)处的切线方程为

Y-y=y'(X-x)，

它与x轴的交点为

由于y'(x)＞0，y(0)=1，因此y(x)＞1(x＞0)。于是

又可得

根据题设2S1-S2=1，有

并且y'(0)=1，两边对x求导并化简得

yy"=(y')2，

这是可降阶的二阶常微分方程，令p(y)=y'，则上述方程可化为

分离变量得

从而有

y=C2eC1x。

根据y'(0)=1，y(0)=1，可得C1=1，C2=1。

故所求曲线的方程为y=ex。

7.

设y=f(x)是第一象限内连接点A(0，1)，B(1，0)的一段连续曲线，M(x，y)为该曲线上任意一点，点C为M在x轴上的投影，O为坐标原点。若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为求f(x)的表达式。正确答案：解：由题意得

所以

两边对x求导

即有

1+f(x)+xf'(x)-2f(x)=x2。

当x≠0时，化简得即

此方程为标准的一阶线性非齐次微分方程，其通解为

曲线过点B(1，0)，代入上式，得C=-2。所以

f(x)=x2+1-2x=(x-1)2。

8.

设y(x)是区间内的可导函数，且y(1)=0，点P是曲线l：y(x)上的任意一点。l在P处的切线与y轴相交于点(0，Yp)，法线与x轴相交于点(Xp，0)，若Xp=Yp，求l上点的坐标(x，y)满足的方程。正确答案：解：设点P处的切线为Y-y=y'(X-x)，则法线为

令X=0得Yp=y-y'x，令Y=0得Xp=x+yy'。

由Yp=Xp得，y-xy'=x+yy'，即那么

已知y(1)=0，所以C=0。

9.

如图，C1和C2分别是和y=ex的图像，过点(0，1)的曲线C3是一单调增函数的图像。过C2上任一点M(x，y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly。记C1，C2与lx所围图形的面积为S1(x)；C2，C3与ly所围图形的面积为S2(y)。如果总有S1(x)=S2(y)，求曲线C3的方程x=φ(y)。

正确答案：解：由已知条件

故有

而y=ex，于是

两边对y求导得

故所求的函数关系为

10.

已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120℃的物体在20℃的恒温介质中冷却，30min后该物体的温度降至30℃，若要将该物体的温度继续降至21℃，还需冷却多长时间?正确答案：解：设t时刻，物体的温度为f(t)，比例系数为k，由题设可知

f'(t)=k[f(t)-20]，

解得f(t)=20+Cekt，由题设可知初始条件为f(0)=120，f(30)=30，代入可得C=100，k=则解得t=60，60-30=30，故还需30min。

11.

设f(x)是区间[0，+∞)上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)=1。对任意的t∈[0，+∞)，直线x=0，x=t，曲线y=f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体。若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式。正确答案：解：旋转体的体积公式

侧面积公式

根据已知

上式两端对t求导得

即

由分离变量法解得

将y(0)=1代入，得C=1，故

因此，所求函数为

[解析]微分方程常与微积分的几何应用结合在一起考查，一般出题模式为给出某函数满足的条件，例如给出过函数某点的切线或法线，曲线满足的面积条件，旋转体的侧面积或体积等等，以此建立微分方程，解微分方程。

12.

有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y