2025千题百炼-高考数学100个热点问题（一）：第17炼 函数的极值含答案

2025千题百炼——高考数学100个热点问题（一）：第17炼函数的极值含答案第17炼函数的极值一、基础知识：1、函数极值的概念：（1）极大值：一般地，设函数在点及其附近有定义，如果对附近的所有的点都有，就说是函数的一个极大值，记作，其中是极大值点（2）极小值：一般地，设函数在点及其附近有定义，如果对附近的所有的点都有，就说是函数的一个极小值，记作，其中是极小值点极大值与极小值统称为极值2、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点：（1）极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点3、极值点的作用：（1）极值点为单调区间的分界点（2）极值点是函数最值点的候选点4、费马引理：在处可导，那么为的一个极值点说明：①前提条件：在处可导②单向箭头：在可导的前提下，极值点导数，但是导数不能推出为的一个极值点，例如：在处导数值为0，但不是极值点③费马引理告诉我们，判断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例如：在处不可导，但是为函数的极小值点）5、求极值点的步骤：（1）筛选：令求出的零点（此时求出的点有可能是极值点）（2）精选：判断函数通过的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则不是极值点（3）定性：通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值点6、在综合题分析一个函数时，可致力于求出函数的单调区间，当求出单调区间时，极值点作为单调区间的分界点也自然体现出来，并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点，换言之，求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程。7、对于在定义域中处处可导的函数，极值点是导函数的一些零点，所以涉及到极值点个数或所在区间的问题可转化成导函数的零点问题。但要注意检验零点能否成为极值点。8、极值点与函数奇偶性的联系：（1）若为奇函数，则当是的极大（极小）值点时，为的极小（极大）值点（2）若为偶函数，则当是的极大（极小）值点时，为的极大（极小）值点二、典型例题：例1：求函数的极值.解：令解得：的单调区间为：极大值的极大值为，无极小值小炼有话说：（1）求极值时由于要判定是否为极值点以及极大值或极小值，所以可考虑求函数的单调区间，进而在表格中加入一列极值点，根据单调性即可进行判断（2）在格式上有两点要求：第一推荐用表格的形式将单调区间与极值点清晰地表示出来，第二在求极值点时如果只有一个极大（或极小）值点，则需说明另一类极值点不存在例2：求函数的极值。解：，令解得：的单调区间为：极小值的极小值为，无极大值小炼有话说：本题若使用解极值点，则也满足，但由于函数通过这两个点时单调性没有发生变化，故均不是极值点。对比两个方法可以体会到求极值点归根结底还是要分析函数的单调区间例3：求函数在上的极值思路：利用求出的单调区间，进而判断极值情况解：令解得：的单调区间为：的极小值为，极大值为小炼有话说：在本题中如果仅令，则仅能解得这一个极值点，进而丢解。对于与，实质上在这两点处没有导数，所以在中才无法体现出来，由此我们可以得到以下几点经验（1）利用来筛选极值点的方法在有些特殊函数中会丢解，此类点往往是不存在导函数的点。例如：中的，是极值点却不存在导数（2）在寻找极值点时，若能求出的单调区间，则利用单调区间求极值点是可靠的例4：已知函数，在点处有极小值，试确定的值，并求出的单调区间。思路：，由极值点条件可得：，两个条件可解出，进而求出单调区间解：在点取得极小值，令，解得或的单调区间为：小炼有话说：关注“在点处有极小值”，一句话表达了两个条件，作为极值点导数等于零，作为曲线上的点，函数值为1，进而一句话两用，得到关于的两个方程。例5：若函数在时有极值，则_________思路：，依题意可得：，可解得：或，但是当时，所以尽管但不是极值点，所以舍去。经检验：符合，答案：小炼有话说：对于使用极值点条件求参数值时，求得结果一定要代回导函数进行检验，看导数值为0的点是否是极值点例6：在处有极小值，则实数为.思路：,为极小值点，，解得：或，考虑代入结果进行检验：时，，可得在单调递增，在单调递减。进而为极小值点符合题意，而当时，，可得在单调递增，在单调递减。进而为极大值点，故不符合题意舍去答案：小炼有话说：在已知极值点求参数范围时，考虑利用极值点导数值等于零的条件，但在解完参数的值后要进行检验，主要检验两个地方：①已知极值点是否仍为函数的极值点②参数的值能否保证极大值或极小值点满足题意。例7：（1）已知函数有两个极值点，则的取值范围是___________（2）已知函数存在极值点，则的取值范围是_________（1）思路：，若有两个极值点，则方程有两个不等实根，从而只需，即或答案：或（2）思路：存在极值点即有实数根，，但是当即时,，不存在极值点，所以方程依然要有两个不等实数根，的范围为或答案：或小炼有话说：本题有以下几个亮点（1）在考虑存在极值点和极值点个数时，可通过导数转化成为方程的根的问题，使得解决方法多样化，可与函数零点和两图象的交点找到关系（2）方程根的个数并不一定等于极值点的个数，所以要判断函数在通过该点时单调性是否发生了变化（3）本题两问结果相同，是由导函数方程为二次方程，其时，其根不能作为极值点所致。例8：设函数，其中为常数．若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；思路：，定义域为，若函数的有极值点，则有正根且无重根，进而转化为二次方程根分布问题，通过韦达定理刻画根的符号，进而确定的范围解：（1），令即有极值点有正的实数根，设方程的根为①有两个极值点，即,②有一个极值点，即综上所述：（2）思路：利用第（1）问的结论根据极值点的个数进行分类讨论方程的两根为：①当时，的单调区间为：的极大值点为，极小值点为②当时，的单调区间为：的极小值点为，无极大值点综上所述：当时，的极大值点为，极小值点为当时，的极小值点为，无极大值点小炼有话说：（1）导函数含有参数时，其极值点的个数与参数的取值有关，一方面体现在参数的取值能否保证导函数等于0时存在方程的解，另一方面体现在当方程的解与参数有关时，参数会影响到解是否在定义域内。只有符合这两个条件的解才有可能成为极值点。这两点也是含参函数中对参数分类讨论的入手点（2）对于二次方程而言，可利用韦达定理或者实根分布来处理极值存在问题。韦达定理主要应用于判定极值点的符号，而根分布的用途更为广泛，能够将实根分布区间与二次函数的判别式，对称轴，端点值符号联系起来。在本题中由于只需要判定根是否为正，从而使用韦达定理即可例9：若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围_______________思路：,令.函数在内不是单调函数，所以，又因为是定义域的子区间，所以，综上可得：答案：小炼有话说：本题虽然没有提到极值点，但是却体现了极值点的作用：连续函数单调区间的分界点。所以在连续函数中，“不单调”意味着极值点位于所给区间内。例10：设，若函数有大于零的极值点，则（）A.B.C.D.思路：，,，由此可得：，所解不等式化为：所以答案：C第18炼函数的最值一、基础知识：1、函数的最大值与最小值：（1）设函数的定义域为，若，使得对，均满足，那么称为函数的一个最大值点，称为函数的最大值（2）设函数的定义域为，若，使得对，均满足，那么称为函数的一个最小值点，称为函数的最小值（3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。例如：，由单调性可得有最小值，但由于取不到4，所以尽管函数值无限接近于,但就是达不到。没有最大值。（5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如，其最大值点为，有无穷多个。2．“最值”与“极值”的区别和联系右图为一个定义在闭区间上的函数的图象．图中与是极小值，是极大值．函数在上的最大值是，最小值是（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3、结论：一般地，在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么函数在上必有最大值与最小值．4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点5、利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求在内的极值；（2）将的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数在上的最值6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础7、在比较的过程中也可简化步骤：（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点（2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点8、最值点的作用（1）关系到函数的值域（2）由最值可构造恒成立的不等式：例如：，可通过导数求出，由此可得到对于任意的，均有，即不等式二、典型例题：例1：求函数的最值思路：首先判定定义域为,对函数进行求导，根据单调区间求出函数的最值解：，令,解得：的单调区间为：，无最小值小炼有话说：函数先增再减，其最大值即为它的极大值点，我们可以将这种先增再减，或者先减再增的函数成为“单峰函数”，在单峰函数中，极值点即为函数的某个最值点。例2：已知函数,是的一个极值点，求：（1）实数的值（2）判断在区间上是否存在最大值和最小值解：（1）是的一个极值点（2）思路，由第（1）问可得，进而求出单调区间得到最值解：,令,解得：或的单调区间为：计算小炼有话说：在本题中，最小值的求解尽管不在所给区间中，但也需要代入到中计算，此时计算出的是函数左边界的临界值，如果，则函数就不存在最小值了。所以在求定义域为开区间的函数最值时，也要关注边界处的临界值。例3：已知函数,是否存在实数，使得在上取得最大值，最小值若存在，求出的值，若不存在，请说明理由思路：利用求出函数的单调区间，在根据单调区间判断最大最小值点的可能位置，进而根据最大最小值解出解：，（1）当时，在单调递减（2）当时，在单调递增或小炼有话说：本题在求最值时由于函数带有参数，从而在解单调区间的过程中涉及到对参数的分类讨论。从而确定最值的选取（有关含参数单调区间的计算详见2.1）例4：求函数()的最值思路一：考虑去掉绝对值得到一个分段函数，在利用导数求出每段的最值，再进行比较解：恒成立当时，可得：在单调递增，在单调递减时,当时，在单调递减，当时，可得函数的最值为，思路二：考虑先求出绝对值里表达式的值域，然后在加上绝对值求出最值。解：令,令，解得:或的单调区间为：的值域为的值域为，小炼有话说：（1）第一种方法为处理含绝对值函数的常用方法，绝对值的函数中若绝对值内部比较简单，则通常先通过讨论绝对值内部的符号，将函数转化成为分段函数进行分析，而求分段函数的最值时可分别求出每一段的最值再进行比较（2）第二种方法用于当绝对值内部的符号不易确定时（例如绝对值为0的点不好确定），也可考虑先求出内部的取值范围，再取绝对值进而得到值域。例5：已知函数的定义域为，求在上的最值思路：的单调区间可通过导数来确定，,是的极值点，而极值点是否在会影响最值点的选取，从而要依次进行分类讨论解：，令解得在单调递减，在单调递增为的极小值点（1）当时，在单调递增（2）当时，在单调递减，在单调递增下面比较的大小若时，当时，当时，综上所述：时，时，，时，时，例6：已知函数在区间上取得最小值4，则___________．思路一：函数的定义域为，．当时，，当时，，为增函数，所以，，矛盾舍去；当时，若，，为减函数，若，，为增函数，所以为极小值，也是最小值；①当，即时，在上单调递增，所以，所以（矛盾）；②当，即时，在上单调递减，，所以．③当，即时，在上的最小值为，此时（矛盾）．综上．思路二：，令导数，考虑最小值点只有可能在边界点与极值点处取得，因此可假设分别为函数的最小值点,求出后再检验即可。答案：小炼有话说：（1）思路一为传统解法，即考虑函数是否有极值点，以及结合函数单调性分析最小值点的位置，但由于函数含有参数，导致解单调区间和极值点时要进行分类讨论，过程较为复杂（2）思路二的想法源于最值点的出处，即最值点只会在边界点与极值点处产生，而本题中的边界点与可能的极值点个数较少，故采取先算再验的手段，方法比较简便。例7：已知函数在上是增函数，函数.当时，函数的最大值与最小