2025千题百炼-高考数学100个热点问题（一）：第3炼 利用数轴解决集合运算问题含答案

2025千题百炼——高考数学100个热点问题（一）：第3炼利用数轴解决集合运算问题含答案第3炼利用数轴解决集合运算问题数形结合是解决高中数学问题的常用手段，其优点在于通过图形能够直观的观察到某些结果，与代数的精确性结合，能够快速解决一些较麻烦的问题。在集合的运算中，涉及到单变量的取值范围，数轴就是一个非常好用的工具，本文将以一些题目为例，来介绍如何使用数轴快速的进行集合的交并运算。一、基础知识：1、集合运算在数轴中的体现：在数轴上表示为表示区域的公共部分在数轴上表示为表示区域的总和在数轴上表示为中除去剩下的部分（要注意边界值能否取到）2、问题处理时的方法与技巧：（1）涉及到单变量的范围问题，均可考虑利用数轴来进行数形结合，尤其是对于含有参数的问题时，由于数轴左边小于右边，所以能够以此建立含参数的不等关系（2）在同一数轴上作多个集合表示的区间时，可用不同颜色或不同高度来区分各个集合的区域。（3）涉及到多个集合交并运算时，数轴也是得力的工具，从图上可清楚的看出公共部分和集合包含区域。交集即为公共部分，而并集为覆盖的所有区域（4）在解决含参数问题时，作图可先从常系数的集合（或表达式）入手，然后根据条件放置参数即可3、作图时要注意的问题：（1）在数轴上作图时，若边界点不能取到，则用空心点表示；若边界点能够取到，则用实心点进行表示，这些细节要在数轴上体现出来以便于观察（2）处理含参数的问题时，要检验参数与边界点重合时是否符合题意。二、例题精析：例1：（2009安徽）集合，则=_______思路：先解出的解集，，作出数轴，则即为它们的公共部分。答案：例2：设集合，则的取值范围是____思路：可解出，而集合含有参数，作出数轴，先从容易作图的集合做起，即画出的范围，由于，而数轴上有一部分区域没有被包含，那说明集合负责补空缺的部分，由于参数决定其端点位置，所以画出图像，有图像观察可得只需要：即可，解得：答案：小炼有话说：（1）含有参数的问题时，可考虑参数所起到的作用，在本题中参数决定区间的端点（2）含有参数的问题作图时可先考虑做出常系数集合的图像，再按要求放置含参的集合（3）注意考虑端点处是否可以重合，通常采取验证的方法，本题若或，则端点处既不在里，也不在里，不符题意。例3：对于任意的，满足恒成立的所有实数构成集合，使不等式的解集是空集的所有实数构成集合，则______思路：先利用已知条件求出，再利用数轴画出的范围即可解：由①恒成立，可得：当即时，①变为：恒成立当时，若要①恒成立，则解集为空等价于：设即小炼有话说：本题更多考察的地方在于集合的求解。集合要注意的情况，而不能默认为二次不等式，集合涉及解集与不等式恒成立问题之间的转化。在集合进行交并运算时，数轴将成为一个非常直观的工具，作图时要注意端点值的开闭。例4：已知集合，若，则实数的取值范围为思路：先解出的解集，意味着有公共部分，利用数轴可标注集合两端点的位置，进而求出的范围解：当时，当时，恒成立当时，且例5：已知，当“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是__________思路：为两个不等式的解集，因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集。考虑解出两个不等式的解集，然后利用数轴求出的范围即可解：由是的真子集可得：答案：小炼有话说：1、熟悉充分必要条件与集合的联系：是的充分不必要条件对应集合是对应集合的真子集2、处理含参问题时，秉承“先常数再参数”的顺序分析，往往可利用所得条件对参数范围加以限制，减少分类讨论的情况。例如在本题中，若先处理，则解不等式面临着分类讨论的问题。但先处理之后，结合数轴会发现只有图中一种情况符合，减掉了无谓的讨论。例6：已知函数，对，使得成立，则实数的取值范围是__________思路：任取，则取到值域中的每一个元素，依题意，存在使得，意味着值域中的每一个元素都在的值域中，即的值域为的值域的子集，分别求出两个函数值域，再利用子集关系求出的范围解：时，时，对于，分三种情况讨论当时，当时，，符合题意当时，综上所述：答案：例7：已知集合，若，则________思路：本题主要考察如何根据所给条件，在数轴上标好集合的范围。从而确定出的值，如图所示：可得，所以答案：例8：设，，求思路：集合的不等式解集为，集合为一元二次不等式的解集，由题意可知，设的两根为，则，在数轴上作图并分析后两个条件：说明将集合覆盖数轴的漏洞堵上了，说明与的公共部分仅有，左侧没有公共部分，从而的位置只能如此（如图），可得：，由韦达定理可得：例9：在上定义运算，若关于的不等式的解集是的子集，则实数a的取值范围是（）A．B．C．或D．思路：首先将变为传统不等式：，不等式含有参数，考虑根据条件对进行分类讨论。设解集为，因为，所以首先解集要分空集与非空两种情况：当时，则；当时，根据的取值分类讨论计算出解集后再根据数轴求出的范围即可解：设解集为当时，则当时：若时，若时，综上所述：答案：D例10：已知，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.解：所解不等式为，可以考虑两边平方后去掉绝对值，因式分解可得：，由题意中含3个整数解可得：解集应该为封闭区间，所以的系数均大于零，即，另一方面，解集区间内有3个整数，从端点作为突破口分析，两个端点为，因为，所以，进而结合数轴分析可得三个整数解为，所以另一个端点的取值范围为①，而②，所以只要①②有交集，则可找到符合条件的，结合数轴可得：，求出答案：三、近年模拟题题目精选：1、（2016四川高三第一次联考）已知集合，若，则的取值范围是（）A.B.C.D.2、（2014吉林九校二模，1）已知，则（）A.B.C.D.3、（重庆八中半月考，1）设全集为，集合，则（）A.B.C.D.4、已知函数的定义域为，的定义域为，则（）A.B.C.D.5、（2014，浙江）已知集合，则（）A.B.C.D.6、（2014，山东）设集合，则（）A.B.C.D.7、设集合，若，则实数的取值范围是_________8、已知全集，集合，那么集合（）A.B.C.D.9、若关于的不等式的解集中整数恰好有3个，则实数的取值范围是_______.习题答案：1、答案：B解析：若，则符合题意，若，则符合题意，当时，解得：，由可知：，综上可得：2、答案：D解析：，在数轴上标出的区域即可得出3、答案：C解析：分别解出中的不等式，，所以4、答案：A解析：的定义域：，的定义域：，所以，5、答案：C解析：解出中不等式：或，所以，则6、答案：D解析：集合为解不等式：，集合为函数的值域，由可知，所以7、答案：解析：集合为，由可知；当时，可得，当时，结合数轴可得：即，综上可得：的取值范围是8、答案：C解析：或9、答案：解析：因为不等式等价于，其中中的，且有，故，不等式的解集为，则一定有1，2，3为所求的整数解集。所以，解得的范围为第4炼求函数的值域作为函数三要素之一，函数的值域也是高考中的一个重要考点，并且值域问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分。所以掌握一些求值域的基本方法，当需要求函数的取值范围时便可抓住解析式的特点，寻找对应的方法从容解决。一、基础知识：1、求值域的步骤：（1）确定函数的定义域（2）分析解析式的特点，并寻找相对应的方法（此为关键步骤）（3）计算出函数的值域2、求值域的常用工具：尽管在有些时候，求值域就像神仙施法念口诀一样，一种解析式特点对应一个求值域的方法，只要掌握每种方法并将所求函数归好类即可操作，但也要掌握一些常用的思路与工具。（1）函数的单调性：决定函数图像的形状，同时对函数的值域起到决定性作用。若为单调函数，则在边界处取得最值（临界值）。（2）函数的图像（数形结合）：如果能作出函数的图像，那么值域便一目了然（3）换元法：的解析式中可将关于的表达式视为一个整体，通过换元可将函数解析式化归为可求值域的形式。（4）最值法：如果函数在连续，且可求出的最大最小值，则的值域为注：一定在连续的前提下，才可用最值来解得值域3、常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归。（1）一次函数（）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域（2）二次函数（）：二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解。（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）例：解：对称轴为：（3）反比例函数：（1）图像关于原点中心对称（2）当当（4）对勾函数：①解析式特点：的系数为1；注：因为此类函数的值域与相关，求的值时要先保证的系数为，再去确定的值例：，并不能直接确定，而是先要变形为，再求得②极值点：③极值点坐标：④定义域：⑤自然定义域下的值域：（5）函数：注意与对勾函数进行对比①解析式特点：的系数为1；②函数的零点：③值域：（5）指数函数（）：其函数图像分为与两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为（6）对数函数（）其函数图像分为与两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为（7）分式函数：分式函数的形式较多，所以在本节最后会对分式函数值域的求法进行详细说明（见附）二、典型例题：将介绍求值域的几种方法，并通过例题进行体现1、换元法：将函数解析式中关于的部分表达式视为一个整体，并用新元代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出值域（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围（2）换元的作用有两个：①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的②化归：可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理（3）换元的过程本质上是对研究对象进行重新选择的过程，在有些函数解析式中明显每一项都是与的某个表达式有关，那么自然将这个表达式视为研究对象。（4）换元也是将函数拆为两个函数复合的过程。在高中阶段，与指对数，三角函数相关的常见的复合函数分为两种①：此类问题通常以指对，三角作为主要结构，在求值域时可先确定的范围，再求出函数的范围②：此类函数的解析式会充斥的大量括号里的项，所以可利用换元将解析式转为的形式，然后求值域即可。当然要注意有些解析式中的项不是直接给出，而是可作转化：例如可转化为，从而可确定研究对象为例1：函数的值域是（）A.B.C.D.思路：解析式中只含一个根式，所以可将其视为一个整体换元，从而将解析式转为二次函数，求得值域即可。解：的定义域为令，则的值域为例2（1）函数的值域为（）A.B.C.D.（2）函数的值域为__________（3）函数的值域为__________思路：（1）本题可视为的形式，所以可将指数进行换元，从而转化为指数函数值域问题：令，则，所以可得（2）如前文所说，，将视为一个整体令，则可将其转化为二次函数求得值域解：令的值域为（3）所求函数为的形式，所以求得的范围，再取对数即可。对进行变形可得：，从而将视为一个整体，即可转为反比例函数，从而求得范围解：定义域：令答案：（1）B（2）（3）例3：已知函数，则的值域为（）A.B.C.D.思路：依题意可知，所以可将视为一个整体换元，从而将问题转化为求二次函数值域，但本题要注意的是的定义域，由已知的定义域为，则的定义域为：，解得：，而不是解：的定义域为，且，解得：令，则，即的值域为答案：C2、数形结合：即作出函数的图像，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域。（2）的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下（或靠上）的部分为该函数的图像，从而利用图像求得函数的值域（3）函数的解析式具备一定的几何含义，需作图并与解析几何中的相关知识进行联系，数形结合求得值域，如：分式→直线的斜率；被开方数为平方和的根式→两点间距离公式例4：（1）设函数定义域为，对给定正数，定义函数则称函数为的“孪生函数”，若给定函数，则的值域为（）A.B.C.D.（2）定义为中的最小值，设，则的最大值是__________思路：（1）根据“孪生函数”定义不难发现其图像特点，即以为分界线，图像在下方的图像不变，在上方的图像则变为，通过作图即可得到的值域为（2）本题若利用的定义将转为分段函数，则需要对三个式子两两比较，比较繁琐，故考虑进行数形结合，将三个解析式的图像作在同一坐标系下，则为三段函数图像中靠下的部分，从而通过数形结合可得的最大值点为与在第一象限的交点，即，所以答案：（1）A（2）2例5：已知函数，设，（其中表示中的较大值，表示中的较小值）记的值域为，的值域为，则______________思路：由的定义可想到其图像特点，即若将的图像作在同一坐标系中，那么为图像中位于上方的部分，而为图像中位于下方的部分。对配方可得：，其中，故的顶点在顶点的上方。由图像可得：褐色部分为的图像，红色部分为的图像，其值域与的交点有关，即各自的顶点，所以的值域，的值域。从而答案：例6：（1）函数的值域为__________（2）函数的值域为_________思路：（1）函数为分式，但无法用“变形+换元”的方式进行处理，虽然可以用导数，但求导后需对分子的符号进行进一步研究。那么换一个视角，从分式的特点可联想到直线的斜率，即是与定点连线的斜率，那么只需在坐标系中作出在的图像与定点，观察曲线上的点与定点连线斜率的取值范围即可解：所求函数是与定点连线的斜率设，当时，恒成立为增函数设曲线上两点定点（2）思路：，所以可视为点到点距离和的取值范围。结合图形可利用对称性求出其最小值，且当动点向轴两侧运动时，其距离和趋向无穷大，进而得到值域。解：为动点到点距离和，即作点关于轴的对称点（等号成立条件：共线）当或时，函数的值域为小炼有话说：本题在选择点时要尽量让更少的点参与进来简化问题，所以要抓住两个距离共同的特点（例如本题中都抓住含根式中的，所以找到了一个共同的动点）答案：（1）（2）

3、函数单调性：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性（增、减）即可快速求出函数的值域（1）判断函数单调性的方法与结论：①增增增减减减增减若函数的符号恒正或恒负，则减②复合函数单调性：复合函数可拆成，则若的单调性相同，则单调递增；若的单调性相反，则单调递减③利用导数：设图像不含水平线的函数的导数，则单增；单减（2）在利用单调性求值域时，若定义域有一侧趋近于或，则要估计当或时，函数值是向一个常数无限接近还是也趋近于或（即函数图象是否有水平渐近线），；同样若的定义域抠去了某点或有一侧取不到边界，如，则要确定当时，的值是接近与一个常数（即临界值）还是趋向或（即函数图象是否有竖直渐近线），这样可以使得值域更加准确例7：（1）函数的值域为（）A.B.C.D.（2）函数的值域为（）A.B.C.D.（3）函数的值域为________思路：（1）函数的定义域为，含有双根式，所以很难依靠传统的换元解决问题，但的导数较易分析出单调性，所以考虑利用导数求出的单调区间，从而求得最值令即解不等式：在单调减，在单调递增的值域为小炼有话说：本题还可以利用换元解决，但利用的是三角换元：观察到被开方数的和为常数，所以想到，从而可设，由可知，所以原函数的值域转化为求的值域，从而有，由可求得。由此题可知：含双根式的函数若通过变形可得到被开方数的和为常数，则可通过三角换元转为三角函数值域问题（2）思路：函数的定义域为，从而发现，所以函数的解析式为，观察可得为增函数，且时，，所以当时，的值域为小炼有话说：①本题中函数的定义域对解析式的化简有极大的促进作用。所以在求函数的值域时，若发现函数解析式较为特殊，则先确定其定义域②本题也可用换元法，设后即可将函数转为二次函数求值域，但不如观察单调性求解简便。（3）思路：先确定函数的定义域：，为分式且含有根式，求导则导函数较为复杂。观察分子分母可知：且关于单减，且关于单增，即单减，所以为减函数，由可知的值域为小炼有话说：在函数单调性的判断中有“增+增→增”，那么如果一个函数可表示为两个函数的乘法，例如，则当均为增（减）函数，且恒大于0，才能得到为增（减）函数答案：（1）D（2）B（3）4、方程思想：本方法是从等式的角度观察函数，将其视为一个含参数的关于的方程。由函数的对应关系可知，对于值域中的任一值，必能在定义域中找到与之对应的。这个特点反应在方程中，即为若在值域中，则关于的方程在时只要有一个根。从而将求值域问题转化为“取何值时，方程有解”的问题。利用方程的特点即可列出关于的条件，进而解出的范围即值域例8：（1）函数的值域为（）A.B.C.D.（2）函数的值域为_________思路：（1）观察分式特点可发现若将去掉分母后可构造为一个关于的二次方程（其中为参数）：，因为函数的定义域为，所以的取值要求只是让方程有解即可，首先对最高次数系数是否为0进行分类讨论：当，方程为，无解；当时，二次方程有解的条件为，即得到关于的不等式，求解即可解：由可得:函数的定义域为的取值只需让方程有解即可当时，不成立，故舍去当时，即：综上所述：函数的值域为小炼有话说：①对于二次分式，若函数的定义域为，则可像例8这样通过方程思想，将值域问题转化为“取何值时方程有解”，然后利用二次方程根的判定得到关于的不等式从而求解，这种方法也称为“判别式法”②若函数的定义域不是，而是一个限定区间（例如），那么如果也想按方程的思想处理，那么要解决的问题转化为：“取何值时，方程在有根”，对于二次方程就变为了根分布问题，但因为只要方程有根就行，会按根的个数进行比较复杂的分类讨论，所以此类问题通常利用分式的变形与换元进行解决（详见附）（2）本题不易将函数变为仅含或的形式，考虑去分母得：则的取值只要让方程有解即可。观察左侧式子特点可想到俯角公式，从而得到，可知方程有解的条件为：，解出的范围即为值域解：的定义域为且，即，其中因为该方程有解小炼有话说：本题除了用方程思想，也可用数形结合进行解决，把分式视为连线斜率的问题，从而将问题转化为定点与单位圆上点连线斜率的取值范围。作图求解即可。本类型运用方程思想处理的局限性在于辅角公式与的取值相关，不过因为，所以均能保证只要在中，则必有解。但如果本题对的范围有所限制，则用方程的思想不易列出的不等式，所以还是用数形结合比较方便答案：（1）D（2）以上为求值域的四种常见方法，与求函数的理念息息相关，有些函数也许有多种解法，或是在求值域的过程中需要多种手段综合在一起解决。希望你再遇到函数值域问题时，能迅速抓住解析式的特点，找到突破口，灵活运用各种方法处理问题。例9：已知函数的值域为，则的取值范围是（）A.B.C.D.思路：本题可视为的复合函数，函数的值域为，结合对数函数的性质可知应取遍所有的正数（定义域可不为），即若函数的值域为，则，由二次函数的图像可知，当时，可满足以上要求。所以解得答案：C例10：在计算机的算法语言中有一种函数叫做取整函数（也称高斯函数），表示不超过的最大整数，例如：，设函数，则函数的值域为（）A.B.C.D.思路：按的定义可知，若要求出，则要将确定里面的范围，所以若求的值域，则要知道的范围。观察到为偶函数，所以只需找到的值域即可，，，即成立，所以为奇函数，只需确定的范围即可。对中的分式进行分离常数可得：，当时，，从而，所以，由。即，可得，再利用偶函数性质可得时，。当时，，所以，综上所述：的值域为答案：B小炼有话说：（1）本题在处理值域时，函数奇偶性的运用大量简化了运算。首先判断出所求函数为偶函数，所以关于轴对称的两部分值域相同，进而只需考虑的情况。另外从解析式的特点判断出为奇函数，从而只需计算的范围，再利用奇函数的性质推出的范围。所以在求函数值域时，若能通过观察或简单的变形判断出函数具备奇偶的性质，则解题过程能够达到事半功倍的效果。（2）本题在判断的奇偶性时，由很难直接看出之间的联系，但通过“通分”即可得到，奇偶性立即可见；在求的范围时，利用的形式，分式较为复杂，分子分母均含变量，不易确定其范围。但通过“分离常数”得到则非常便于求其范围。由以上的对比可知，在判断奇偶性或者分式的符号时，通常一个大分式较为方便；在求得分式函数值域时，往往通过“分离常数”的手段简化分式中的分子，从而便于求得范围附：分式函数值域的求法：分式函数也是高中所学函数的一个重要分支，求解分式函数的值域也考查了学生分式变形的能力以及能否将分式化归为可求值域