第16讲　导数与函数的单调性

第16讲导数与函数的单调性【备选理由】例1考查导函数的图象与原函数图象的关系,从图象角度认识导数的符号与函数单调性的关系;例2考查含参函数的单调性问题,需要对参数进行分类讨论;例3考查根据函数的单调性求参数的取值范围,一般是通过参变分离转化为恒成立问题,但当函数比较复杂时,需要构造新函数,正向分类讨论,具有较强的综合性;例4考查根据函数的单调性求参数的取值范围;例5考查构造法解决f(x)与f'(x)共存不等式问题,解题的关键是根据题意构造函数,求导后判断函数的单调性,从而利用函数的单调性解不等式,考查数学转化思想,属于较难题.例1[配例1使用](多选题)设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则下列不可能是导函数y=f'(x)的图象的是 (ABC) A B C D[解析]由题图可知,当x<0时,函数f(x)单调递增,所以导函数f'(x)的值不为负数,故A,C不可能是导函数y=f'(x)的图象;当x>0时,函数f(x)先增、后减、再增,所以导函数f'(x)的值先正、后负、再正,故B不可能是导函数y=f'(x)的图象;D可能是导函数y=f'(x)的图象.故选ABC.例2[配例2使用]已知函数f(x)=(x-2)(aex-x).(1)当a=4时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)讨论f(x)的单调性.解:(1)由f(x)=(x-2)(aex-x),得f'(x)=aex-x+aex(x-2)-(x-2)=(x-1)(aex-2).当a=4时,f(0)=-8,f'(0)=-2,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y+8=-2x,即2x+y+8=0.(2)由(1)知,f'(x)=(x-1)(aex-2).①当a≤0时,aex-2<0,所以当x∈(-∞,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.②当a>0时,由f'(x)=(x-1)(aex-2)=0,得x1=1,x2=ln2a(i)若0<a<2e,则x1<x2所以当x∈(-∞,1)∪ln2a,+∞时,f'(x)>0,f(x)在(当x∈1,ln2a时,f'(x)<0,f(x)(ii)若a=2e,则x1=x2=1,f'(x)≥0,f(x)在R上单调递增(iii)若a>2e,则x1>x2所以当x∈-∞,ln2a∪(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在-∞,ln2当x∈ln2a,1时,f'(x)<0,f(x)综上可得,当a≤0时,f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减;当0<a<2e时,f(x)在(-∞,1),ln2a,+∞当a=2e时,f(x)在R上单调递增当a>2e时,f(x)在-∞,ln2a,(1,+∞)上单调递增,例3[配例3使用][2023·全国乙卷]已知函数f(x)=1x+aln(1(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,求a的取值范围.解:(1)当a=-1时,f(x)=1x-1ln(x+1),x>-1,则f'(x)=-1x2×ln(x+1)+1x据此可得f(1)=0,f'(1)=-ln2,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-0=-ln2(x-1),即xln2+y-ln2=0.(2)由函数f(x)的解析式可得f'(x)=-1x2ln(x+1)+1x+a×1因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立.令-1x2ln(x+1)+1x+a1x+1≥0,则-(令g(x)=ax2+x-(x+1)ln(x+1),x>0,则原问题等价于g(x)≥0在(0,+∞)上恒成立.易知g'(x)=2ax-ln(x+1),当a≤0时,2ax≤0,因为ln(x+1)>0,所以g'(x)<0,g(x)在(0,+∞)上单调递减,此时g(x)<g(0)=0,不符合题意,故a>0.令h(x)=g'(x)=2ax-ln(x+1),x>0,则h'(x)=2a-1x当2a≥1,即a≥12时,因为x∈(0,+∞),所以1x+1<1,故h'(x)>0,h(x)在(0,+∞即g'(x)在(0,+∞)上单调递增,所以g'(x)>g'(0)=0,则g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以g(x)>g(0)=0,符合题意.当0<a<12时,由h'(x)=0,得2a-1x+1=0,可得x=当x∈0,12a-1时,h'(x)<0,则h(x)在0,12a-因为g'(0)=0,所以当x∈0,12a-1时,g'(x)<g'(0)=0,此时因为g(0)=0,所以当x∈0,12a-1时,g(x)综上可知,实数a的取值范围是12例4[配例3使用][2024·沧州模拟]已知函数f(x)=lnx-ax2-x的定义域为1e,e,任取x1,x2∈1e,e(其中x1>x2)都有x1f(x2)-x2f(x1)<x1x2(x1-x2)成立,则实数a的取值范围为 (A)A.(-∞,1] B.[1,+∞)C.(-∞,e] D.[e,+∞)[解析]因为x1,x2∈1e,e,所以由x1f(x2)-x2f(x1)<x1x2(x1-x2),可得f(x2)x2+x2<f(x1)x1+x1,又x1>x2,所以函数h(x)=f(x)x+x在1e,e上单调递增.函数h(x)=f(x)x+x=lnxx-ax-1+x,则h'(x)=1-lnxx2-a+1≥0在1e,e上恒成立,所以1-lnxx2+1≥a对任意x∈1e,e恒成立.设函数g(x)=1-ln例5[配例5使用][2024·重庆一中模拟]已知函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,且满足当x>0时,lnx·f'(x)+1xf(x)<0,则不等式(x-985)f(x)>0的解集为A.(985,+∞) B.(-985,985)C.(-985,0) D.(0,985)[解析]令函数g(x)=lnx·f(x)(x>0),则g'(x)=1x·f(x)+lnx·f'(x)<0,所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递减,因为g(1)=0,所以当0<x<1时,g(x)>0,当x>1时,g(x)<0.因为当0<x<1时,lnx<0,当x>1时,ln