第53讲　抛物线-高中数学教学资料

第53讲抛物线【备选理由】例1主要考查抛物线的定义及应用;例2考查抛物线的简单性质,考查转化的思想方法与运算求解能力;例3考查直线与抛物线的位置关系;例4考查直线与抛物线的位置关系,考查抛物线与圆的综合问题,综合性较强;例5考查抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系.例1[配例1使用](多选题)设抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,点M为C上一动点,E(3,1),则下列结论正确的有 (BC)A.准线l的方程是y=-2B.以线段MF为直径的圆与y轴相切C.|ME|+|MF|的最小值为5D.|ME|-|MF|的最大值为2[解析]对于A,抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线l的方程为x=-2,故A错误;对于B,设M(x0,y0),线段MF的中点为D,则|MF|=x0+2,D的坐标为x0+22,y02,所以xD=x0+22=|MF|2,即点D到点M,F和y轴的距离相等,所以以线段MF为直径的圆与y轴相切,故B正确;对于C,过M作准线l的垂线,垂足为N,连接NE,由抛物线的定义得|MF|=|MN|,所以|ME|+|MF|=|ME|+|MN|,易知当E,M,N三点共线且NE⊥l时,|ME|+|MN|有最小值,最小值为3+2=5,所以|ME|+|MF|的最小值为5,故C正确;对于D,连接EF,可得|ME|-|MF|≤|EF|,当E,F,M三点共线且F在线段ME上时,|ME|-|MF|有最大值,最大值为|EF|=(3-例2[配例3使用](多选题)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于A,B两点,以线段AB为直径的圆交y轴于M,N两点,设线段AB的中点为P,则下列说法正确的是 (BCD)A.若抛物线上的点E(2,t)到点F的距离为4,则抛物线的方程为y2=4xB.以线段AB为直径的圆与准线相切C.线段AB长度的最小值是2pD.sin∠PMN的取值范围为1[解析]由题意,抛物线y2=2px(p>0)的焦点为Fp2,0,准线方程为x=-p2,设A(x1,y1),B(x2,y2).对于A,由抛物线上的点E(2,t)到点F的距离为4,可得2+p2=4,解得p=4,所以抛物线的方程为y2=8x,所以A不正确.对于B,分别过点A,B,P作准线的垂线,垂足分别为A1,B1,Q,则线段AB的中点P到准线的距离为|PQ|=|AA1|+|BB1|2,根据抛物线的定义,可得|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,所以|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|,所以|PQ|=12|AB|,所以以线段AB为直径的圆与准线相切,所以B正确.对于C,由抛物线的定义,可得|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=p2,由x=p2,y2=2px,可得y=±p,不妨令y1=p,y2=-p,此时|AB|=2p;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx-p2,易知k≠0,由y=kx-p2,y2=2px,整理得k2x2-(k2p+2p)x+k2p24=0,可得x1+x2=k2p+2pk2,所以|AB|=x1+x2+p=k2p+2pk2+p=2p+2pk2>2p.综上可得,线段AB长度的最小值是2p,所以C正确.对于D,根据题意设直线l的方程为x=my+p2,由x=my+p2,y2=2px,整理得y2-2pmy-p2=0,可得y1+y2=2pm,则x1例3[配例4使用][2023·宁德模拟]已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,N为C上一点,且N在第一象限内,直线FN与C的准线交于点M,过点M且与x轴平行的直线与C交于点P,若|MN|=2|NF|,则△MPF的面积为 (C)A.8 B.12C.43 D.46[解析]设直线NF的倾斜角为θ,准线x=-1与x轴的交点为H,过N作NN'垂直于准线,交准线于N',则|NF|=|NN'|.由|MN|=2|NF|,得|MN|=2|NN'|.当0<θ<π2时,∠N'NF=π3,所以∠MFH=θ=π3.在Rt△MFH中,|HF|=2,∠MHF=π2,∠MFH=π3,所以|HM|=23,所以M(-1,-23).将y=-23代入y2=4x,得x=3,所以P(3,-23),此时△MPF的面积为12×[3-(-1)]×23=43.当π2<θ<π时,∠MNN'=π3,则∠MFH=π3,θ=2π3.在Rt△MFH中,|HF|=2,∠MHF=π2,∠MFH=π3,所以|MH|=23,所以M(-1,23).将y=23代入y2=4x,得x=3,所以P(3,23),此时△MPF的面积为12×[3-(-1)]×23=4例4[配例4使用](多选题)[2023·聊城二模]设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆C:(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M(x0,y0),且M为AB的中点,下列说法正确的是 (ABD)A.当y0=1时,直线l的斜率为2B.当y0=2时,|AB|=8C.当r=5时,符合条件的直线l有两条D.当r=3时,符合条件的直线l有四条[解析]设A(x1,y1),B(x2,y2),则y12=4x1,y22=4x2,两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).当直线l的斜率k存在时,x1≠x2,y0≠0,则y1+y22·y1-y2x1-x2=2,又y1+y2=2y0,所以y0k=2.当y0=1时,k=2,故A正确.由CM⊥AB,得k·y0-0x0-5=-1,即y0k=5-x0,故2=5-x0,解得x0=3,即M必在直线x=3上.当y0=2时,k=1,点M(3,2),直线l的方程为y=x-1,直线l恰好过抛物线的焦点(1,0),故|AB|=x1+x2+2=2x0+2=8,故B正确.将x=3代入y2=4x,得y2=12,由M在抛物线内部得y02<12.因为点M在圆C上,所以(x0-5)2+y02=r2,当r=5时,由(3-5)2+y02=25,解得y02=21,与y02<12矛盾,所以斜率存在的直线l不存在,当直线l的斜率不存在时,符合条件的直线l只有一条,故例5[配例2、例4使用]已知抛物线C:x2=2py(p>0),F为C的焦点,过点F的直线l与C交于H,I两点,且抛物线C在H,I两点处的切线交于点T,当l与y轴垂直时,|HI|=4.(1)求抛物线C的方程;(2)证明:|FH|·|FI|=|FT|2.解:(1)由题意知F0,p2,将y=p2代入x2=2py,解得x=±p,所以当l与y轴垂直时,|HI|=2p=4,所以p=2,所以抛物线C的方程为x(2)证明:方法一,根据题意知直线l的斜率存在,F(0,1).设直线l的方程为y=kx+1,H(x1,y1),I(x2,y2),由x2=4y,y=kx+1,所以Δ=(-4k)2+16>0,x1+x2=4k,x1x2=-4.对y=14x2求导,得y'=12所以kTH·kTI=12x1·12x2=14×(-所以TI⊥TH.直线HT的方程为y-y1=12x1(x-x1),又y1=14x12,所以直线HT的方程为y=1同理得直线IT的方程为y=12x2x-y2由y=1所以T(2k,-1).当k=0时,|FH|=|FI|=2,|FT|=2,所以|FH|·|FI|=|FT|2.当k≠0时,kFT·kHI=-1-1所以FT⊥HI,又TI⊥TH,所以△FTI∽△FHT,所以|FT||FH|=|FI|综上所述,|FH|·|FI|=|FT|2.方法二,根据题意知直线l的斜率存在,F(0,1).设直线l的方程为y=kx+1,H(x1,y1),I(x2,y2),由x2=4y,y=kx+1,所以Δ=(-4k)2+16>0,x1+x2=4k,x1x2=-4.对y=14x2求导,得y'=12直线HT的方程为y-y1=12x1(x-x1),又y1=14x12,所以直线HT的方程为y=1同理得直线IT的方程为y=12x2x-y2由y=1所以T(2k,-1).因为|FH|2=x12+(y1-1)2=