2025千题百炼-高考数学100个热点问题（一）：第1炼 命题形式变化及真假判定含答案

2025千题百炼——高考数学100个热点问题（一）：第1炼命题形式变化及真假判定含答案第1炼命题形式变化及真假判定一、基础知识：（一）命题结构变换1、四类命题间的互化：设原命题为“若，则”的形式，则（1）否命题：“若，则”（2）逆命题：“若，则”（3）逆否命题：“若，则”2、，（1）用“或”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）中至少有一个成立即可，记为（2）用“且”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）要同时成立，记为3、命题的否定：命题的否定并不是简单地在某个地方加一个“不”字，对于不同形式的命题也有不同的方法（1）一些常用词的“否定”：是→不是全是→不全是至少一个→都没有至多个→至少个小于→大于等于（2）含有逻辑联结词的否定：逻辑联接词对应改变，同时均变为：或→且且→或（3）全称命题与存在性命题的否定全称命题：存在性命题：规律为：两变一不变①两变：量词对应发生变化（），条件要进行否定②一不变：所属的原集合的不变化（二）命题真假的判断：判断命题真假需要借助所学过的数学知识，但在一组有关系的命题中，真假性也存在一定的关联。1、四类命题：原命题与逆否命题真假性相同，同理，逆命题与否命题互为逆否命题，所以真假性也相同。而原命题与逆命题，原命题与否命题真假没有关联2、，，如下列真值表所示：或真真真真假真假真真假假假且真真真真假假假真假假假假简而言之“一真则真”简而言之“一假则假”3、：与命题真假相反。4、全称命题：真：要证明每一个中的元素均可使命题成立假：只需举出一个反例即可5、存在性命题：真：只需在举出一个使命题成立的元素即可假：要证明中所有的元素均不能使命题成立二、典型例题例1：命题“若方程的两根均大于，则”的逆否命题是（）A.“若，则方程的两根均大于”B.“若方程的两根均不大于，则”C.“若，则方程的两根均不大于”D.“若，则方程的两根不全大于”思路：所谓逆否命题是要将原命题的条件与结论否定后并进行调换，“”的对立面是“”，“均大于”的对立面是“不全大于0”（注意不是：都不大于0），再调换顺序即可，D选项正确答案：D例2：命题“存在”的否定是（）A．存在B．不存在C．对任意D．对任意思路：存在性命题的否定：要将量词变为“任意”，语句对应变化，但所在集合不变。所以变化后的命题为：“对任意”答案：D例3：给出下列三个结论（1）若命题为假命题，命题为假命题，则命题“”为假命题（2）命题“若，则或”的否命题为“若，则或”（3）命题“”的否定是“”，则以上结论正确的个数为（）A.3B.2C.1D.0思路：（1）中要判断的真假，则需要判断各自的真值情况，为假命题，则为真命题，所以一假一真，为真命题，（1）错误（2）“若……，则……”命题的否命题要将条件和结论均要否定，而（2）中对“或”的否定应该为“且”，所以（2）错误（3）全称命题的否定，要改变量词和语句，且的范围不变。而（3）的改写符合要求，所以（3）正确综上只有（3）是正确的答案：C例4：有下列四个命题①“若，则互为相反数”的逆命题②“全等三角形的面积相等”的否命题③“若，则有实根”的逆否命题④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题其中真命题为（）A.①②B.②③C.①③D.③④思路：①中的逆命题为“若互为相反数，则”，为真命题。②中的否命题为“如果两个三角形不是全等三角形，则它们的面积不相等”，为假命题（同底等高即可）。③中若要判断逆否命题的真假，则只需判断原命题即可。时，判别式，故方程有实根。所以原命题为真命题，进而其逆否命题也为真命题。④中的逆命题为“如果一个三角形三个内角相等，则它为不等边三角形”显然是假命题。综上，①③正确答案：C小炼有话说：在判断四类命题的真假时，如果在写命题或判断真假上不好处理，则可以考虑其对应的逆否命题，然后利用原命题与逆否命题同真同假的特点进行求解例5：下列命题中正确的是（）A.命题“，使得”的否定是“，均有”B.命题“若，则”的否命题是“若，则”C.命题“存在四边相等的四边形不是正方形”，该命题是假命题D.命题“若，则”的逆否命题是真命题思路：分别判断4个选项的情况，A选项命题的否定应为“，均有”，B选型否命题的形式是正确的，即条件结论均否定。C选项的命题是正确的，菱形即满足条件，D选项由原命题与逆否命题真假相同，从而可判断原命题的真假，原命题是假的，例如终边相同的角余弦值相同，所以逆否命题也为假命题。D错误答案：B例6：如果命题“且”是假命题，“”也是假命题，则（）A.命题“或”是假命题B.命题“或”是假命题C.命题“且”是真命题D.命题“且”是真命题思路：涉及到“或”命题与“且”命题的真假，在判断或利用条件时通常先判断每个命题的真假，再根据真值表进行判断。题目中以为入手点，可得是真命题，而因为且是假命题，所以只能是假命题。进而是真命题。由此可判断出各个选项的真假：只有C的判断是正确的答案：C例7：已知命题：若，则；命题：若，则，在命题①；②；③；④中，真命题是（）A.①③B.①④C.②③D.②④思路：可先判断出的真假，从而确定出复合命题的情况。命题符合不等式性质，正确，而命题是错的。所以①是假的，②是真的，③④中，因为为假，为真，所以③正确，④不正确。综上可确定选项D正确答案：D例8：下列4个命题中，其中的真命题是（）A.B.C.D.思路：为存在性命题，所以只要找到符合条件的即可。可作出的图像，通过观察发现找不到符合条件的；同样作图可得，所以正确；通过作图可发现图像中有一部分，所以错误；在中，可得当时，，所以，正确。综上可得：正确答案：D小炼有话说：（1）在判断存在性命题与全称命题的真假，可通过找例子（正例或反例）来进行简单的判断，如果找不到合适的例子，则要尝试利用常规方法证明或判定（2）本题考察了指对数比较大小，要选择正确的方法（中间桥梁，函数性质，数形结合）进行处理，例如本题中运用的数形结合，而通过选择中间量判断。例9：已知命题，命题，若为假命题，则实数的取值范围是（）A.B.或C.D.思路：因为为假命题，所以可得均为假命题。则为真命题。。解决这两个不等式能成立与恒成立问题即可。解：为假命题均为假命题为真命题对于当时，对于，设，由图像可知：若成立，则，解得：或所以综上所述：小炼有话说：因为我们平日做题都是以真命题为前提处理，所以在逻辑中遇到已知条件是假命题时，可以考虑先写出命题的否定，根据真值表得到命题的否定为真，从而就转化为熟悉的形式以便于求解例10：设命题函数的定义域为；命题，不等式恒成立，如果命题“”为真命题，且“”为假命题，求实数的取值范围思路：由“”为真命题可得至少有一个为真，由“”为假命题可得至少有一个为假。两种情况同时存在时，只能说明是一真一假。所以分为假真与真假进行讨论即可解：命题“”为真命题，且“”为假命题一真一假若假真，则函数的定义域不为恒成立或若真假，则函数的定义域为或，不等式解得综上所述：三、近年模拟题题目精选：1、（2014河南高三模拟，9）已知命题，命题，则下列命题中为真命题的是（）A.B.C.D.2、（2014，岳阳一中，3）下列有关命题的叙述:①若为真命题，则为真命题②“”是“”的充分不必要条件③命题，使得，则，使得④命题：“若，则或”的逆否命题为：“若或，则”其中错误命题的个数为（）A．1B．2C．3 D．43、（2014成都七中三月模拟，4）已知命题，命题，则（）A.命题是假命题B.命题是真命题C.命题是假命题D.命题是真命题4、（2014新津中学三月月考，6）已知命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.5、（2014新课标全国卷I）不等式组：的解集记为，有下面四个命题：其中真命题是（）A.B.C.D.习题答案：1、答案：C解析：分别判断真假，令，可得由零点存在性定理可知，使得，为真；通过作图可判断出当时，，故为假；结合选项可得：为真2、答案：B解析：判断每个命题：①若真假，则为真命题，为假命题，故①错误；②不等式的解为或，由命题所对应的集合关系可判断出②正确；③存在性命题的否定，形式上更改符合“两变一不变”，故③正确；④“或”的否定应为“且”，故④错误，所以选择B3、答案：B解析：对于：当时，，故正确；对于：因为，所以当时，，故错误，结合选项可知是真命题4、答案：C解析：命题的否定为：“，使得”，此为真命题，所以转为恒成立问题，利用二次函数图像可得：，解得5、答案：C解析：由已知条件作出可行域，并根据选项分别作出相应直线，观察图像可知：阴影部分恒在的上方，所以成立；且阴影区域中有在中的点，所以成立，综上可得：正确第2炼充分条件与必要条件一、基础知识1、定义：（1）对于两个条件，如果命题“若则”是真命题，则称条件能够推出条件，记为，（2）充分条件与必要条件：如果条件满足，则称条件是条件的充分条件；称条件是条件的必要条件2、对于两个条件而言，往往以其中一个条件为主角，考虑另一个条件与它的关系，这种关系既包含充分方面，也包含必要方面。所以在判断时既要判断“若则”的真假，也要判断“若则”真假3、两个条件之间可能的充分必要关系：（1）能推出，但推不出，则称是的充分不必要条件（2）推不出，但能推出，则称是的必要不充分条件（3）能推出，且能推出，记为，则称是的充要条件，也称等价（4）推不出，且推不出，则称是的既不充分也不必要条件4、如何判断两个条件的充分必要关系（1）通过命题手段，将两个条件用“若……，则……”组成命题，通过判断命题的真假来判断出条件能否相互推出，进而确定充分必要关系。例如，构造命题：“若，则”为真命题，所以，但“若，则”为假命题（还有可能为），所以不能推出；综上，是的充分不必要条件（2）理解“充分”，“必要”词语的含义并定性的判断关系①充分：可从日常用语中的“充分”来理解，比如“小明对明天的考试做了充分的准备”，何谓“充分”？这意味着小明不需要再做任何额外的工作，就可以直接考试了。在逻辑中充分也是类似的含义，是指仅由就可以得到结论，而不需要再添加任何说明与补充。以上题为例，对于条件，不需再做任何说明或添加任何条件，就可以得到所以可以说对是“充分的”，而反观对，由，要想得到，还要补充一个前提：不能取，那既然还要补充，则说明是“不充分的”②必要：也可从日常用语中的“必要”来理解，比如“心脏是人的一个必要器官”，何谓“必要”？没有心脏，人不可活，但是仅有心脏，没有其他器官，人也一定可活么？所以“必要”体现的就是“没它不行，但是仅有它也未必行”的含义。仍以上题为例：如果不成立，那么必然不为1，但是仅靠想得到也是远远不够的，还需要更多的补充条件，所以仅仅是“必要的”（3）运用集合作为工具先看一个问题：已知,那么条件“”是“”的什么条件？由可得到：，且推不出，所以“”是“”充分不必要条件。通过这个问题可以看出，如果两个集合存在包含关系，那么其对应条件之间也存在特定的充分必要关系。在求解时可以将满足条件的元素构成对应集合，判断出两个集合间的包含关系，进而就可确定条件间的关系了。相关结论如下：①：是的充分不必要条件，是的必要不充分条件②：是的充分条件③：是的充要条件此方法适用范围较广，尤其涉及到单变量取值范围的条件时，不管是判断充分必要关系还是利用关系解参数范围，都可将问题转化为集合的包含问题，进而快捷求解。例如在中，满足的取值集合为，而满足的取值集合为所以，进而判断出是的充分不必要条件5、关于“”的充分必要关系：可从命题的角度进行判断。例如：是的充分不必要条件，则命题“若，则”为真命题，根据四类命题的真假关系，可得其逆否命题“若，则”也为真命题。所以是的充分不必要条件二、典型例题：例1：已知，则是的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件思路：考虑利用集合求解：分别解不等式得到对应集合。，解得：，即；或，即。所以，进而是的充分不必要条件答案：C例2：已知，那么是的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件思路：本题若觉得不方便从条件中直接找到联系，可先从一个条件入手推出其等价条件，再进行判断，比如“”等价于，所以只需判断与的关系即可。根据的单调性可得：如果，则，但是若，在大于零的前提下，才有，而题目中仅说明。所以不能推出。综上可判断是的充分不必要条件答案：C小炼有话说：（1）如果所给条件不方便直接判断，那么可以寻找它们的等价条件（充要条件），再进行判断即可（2）在推中，因为是条件，表达式成立要求，但是在推中，是条件，且对取值没有特殊要求，所以，那么作为结论的就不一定有意义了。在涉及到变量取值时要首先分清谁是条件，谁是结论。作为条件的一方默认式子有意义，所以会对变量取值有一定的影响。例3：已知，如果是的充分不必要条件，则的取值范围是_____思路：设，因为是的充分不必要条件，所以，利用数轴可而判断出答案：例4：下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是（）A.B.C.D.思路：求的充分不必要条件，则这个条件能够推出，且不能被推出。可以考虑验证四个选项。A选项可以推出，而不一定能够得到（比如），所以A符合条件。对于B，C两个选项均不能推出A，所以直接否定。而D选项虽然可以得到，但是也能推出，所以D是A的充要条件，不符题意答案：A例5：（2015浙江温州中学高二期中考试）设集合，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 思路：先解出两个解集：，的解集与的取值有关：若，则；若，则，观察条件，若，则，所以成立；若，则通过数轴观察区间可得的取值为多个（比如），所以“”是“”的充分不必要条件答案：A例6：对于函数，“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 思路：如果是奇函数，图像关于原点对称，则中位于轴下方的部分沿轴对称翻上来，恰好图像关于轴对称，但的图象关于轴对称未必能得到是奇函数（例如），所以“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的必要不充分条件答案：B例7：已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 思路一：可以考虑利用特殊值来进行判断。比如考虑左右，可以举出反例，则不成立，所以左边无法得到右边。而右左能够成立，所以“”是“”的必要不充分条件思路二：本题也可以运用集合的思想，将视为一个点的坐标，则条件所对应的集合为，作出两个集合在坐标系中的区域，观察两个区域可得，所以“”是“”的必要不充分条件答案：B例8（2015菏泽高三期中考试）：设条件：实数满足；条件：实数满足且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是_________思路：本题如果先将，写出，再利用条件关系运算，尽管可行，但，容易书写错误。所以优先考虑使用原条件。“是的必要不充分条件”等价于“是的必要不充分条件”，而为两个不等式，所以考虑求出解集再利用集合关系求解。解：设，可解得：，设可解得：，是的必要不充分条件是的必要不充分条件答案：例9：数列满足，则“”是“数列成等差数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 思路：当时，可得，即成等差数列。所以“”是“数列成等差数列”的充分条件。另一方面，如果成等差数列，则成等差数列，所以有，代入可得：，解得或，经检验，时，，利用数学归纳法可证得，则也为等差数列（公差为0），所以符合题意。从而由“数列成等差数列”无法推出“”，所以“”是“数列成等差数列”的不必要条件答案:A例10：设，则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 思路：因为，所以。故由可得，即，对于能否推出，可考虑寻找各自等价条件：，，通过数形结合可以得到符合的的集合是的集合的子集。所以是的必要不充分条件答案：B三、近年模拟题题目精选1、（2014，江西赣州高三摸底考试）若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2、（2014南昌一模，3）设为向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3、若，则“成立”是“成立”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4、（2014，北京）设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5、（2014上海13校联考，15）集合，若“”是“”的充分条件，则的取值范围是（）A.B.C.D.6、（2015，福建）“对任意的，”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7、（2014北京朝阳一模，5）在中，，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件