2024-2025学年北师版中学数学八年级上册第七章平行线的证明7.5三角形内角和定理第1课时 教案

第七章平行线的证明5三角形内角和定理第1课时三角形的内角和定理教学目标1.掌握三角形内角和定理的证明及简单应用.2.灵活运用三角形内角和定理解决相关问题.3.通过动手探究，使学生体验学习数学的乐趣，养成良好的学习习惯，寻找有效的学习方法.教学重难点重点：会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.难点：应用三角形的内角和定理解决相关问题.教学过程导入新课三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.直角三角形：我的形状最大，那我的内角和最大.钝角三角形：不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的.锐角三角形：我的形状最小，那我的内角和最小.我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°，与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的.思考除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢?探究新知探究:在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.首先让学生自己动手探究,体会数学研究的乐趣.然后老师通过多媒体动画演示，验证这个结论是不是正确的.我们通过观察与实验的方法猜想得到的结论不一定正确可靠，要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理、证明.这就是我们这节课所要研究的内容.验证:三角形三个内角的和等于180°.已知：△ABC，求证∠A+∠B+∠C＝180°.方法一：过A点作PQ∥BC，∵PQ∥BC，∴∠PAB=∠B，∠QAC=∠C（两直线平行，内错角相等）.∵∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°，∴∠BAC+∠B+∠C=180°.方法二：作BC的延长线CD，过点C作CE∥BA．∵CE∥BA，∴∠A=∠ACE,∠B=∠DCE.又∵∠ACE+∠DCE+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°.方法三：在BC边上任取一点P，作PF∥AB，PE∥AC.∴∠B=∠FPC,∠C=∠EPB(两直线平行，同位角相等)，∵∠A+∠AEP=180°,∠AEP+∠EPF=180°(两直线平行，同旁内角相补)，∴∠A=∠EPF.∵∠EPB+∠EPF+∠FPC=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°.想一想:同学们还有其他的方法吗？多种方法证明的核心是什么？借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.例1如图所示，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.【解】在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°（三角形内角和定理）.∵∠B=38°，∠C=62°（已知），∴∠BAC=180°-38°-62°=80°（等式的性质）.∵AD平分∠BAC（已知）,∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=×80°=40°（角平分线的定义）.在△ADB中，∠B+∠BAD+∠ADB=180°.∵∠B=38°（已知），∠BAD=40°（已证），∴∠ADB=180°-38°-40°=102°（等式的性质）.例2如图，在△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D的度数.【解】∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，∴∠AFE＝180°-∠FEA-∠A＝60°.又∵∠CFD＝∠AFE，∴∠CFD＝60°.∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，∠D＝180°-∠CFD-∠FCD＝40°.例3在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.【解】设∠B=x°，则∠A=(3x)°，∠C=(x+15)°，从而有3x+x+(x+15)＝180.解得x＝33.所以3x＝99，x+15＝48.则∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°.课堂练习1.已知△ABC中，∠A=20°，∠B=∠C，那么三角形△ABC是（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.正三角形2.一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（）A.75°B.65°C.165°D.155°3.如图，△ABC中，AE是∠BAC的平分线，AD是BC边上的高线，且∠B=50°，∠C=60°，则∠EAD的度数为（）A.35° B.5°C.15° D.25°4.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是（）A.100° B.110° C.115° D.120°5.如图所示，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，求∠ACB的度数.参考答案1.A2.C3.B4.B5.解：∵AE，DB是正南正北方向，∴BD∥AE.∵∠DBA=45°，∴∠BAE=∠DBA=45°.∵∠EAC=15°，∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°+15°=60°.又∵∠DBC=80°，∴∠ABC=80°﹣45°=35°,∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°﹣35°-60°=85°．课堂小结（学生总结，老师点评）三角形内角和定理布置作业习题7.6第2，3题板书设计第七章平行线的证