清华大学2021自主招生冬令营数学试卷试题真题（含答案解析）

年清华大学自主招生数学试卷（文科营暨工科营冬令营）一、选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）1、已知全集U={1,2,3,4,5,6,7}，且A∩∁UB={1,3,4,6}A.{2,5,7}B.{1,3,4,6}C.{1,2,3,4,5,6,7}D.∅2、已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且m⊥α，n⊂β，则“m⊥A.充要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必要3、已知函数fx=asin⁡x−bcosA.奇函数，且关于点π,0中心对称B.偶函数，且关于点π,0中心对称C.奇函数，且关于点3π2D.偶函数，且关于点3π24、已知a→，b→，c→是非零向量，且a→−b→=4，(c→−A.1 B.23 C.12 5、已知随机变量X的分布列如下表所示：若4a，b，c成等比数列，则D(X)的最大值为（

）．A.16 B.13 C.12 6、已知P，Q，M是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上不同的三点，且原点O是△A.2B.3C.2D.37、已知数列an满足a1=12，an+1=eaA.aB.aC.TD.T二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）8、在△ABC中，D为边BC的中点，E为边BC上一点，且AE=AC=BE，DE=1，若cos⁡C=13，则9、已知双曲线x2a2−y2b2=1的左右焦点分别为F1，F2，过点F1作与一条渐近线垂直的直线10、已知函数fx=x2+a+x，当x∈[−1,1]时，记函数f三、解答题（本大题共4小题，共50分）11、已知an是公差d不等于0的等差数列，且akn是等比数列，其中k1=3(1)求k1(2)设bn=an+1a12、如图，在四棱柱ABCD−A′B′C′D′中，平面DCC′D′⊥平面ABCD(1)证明：A′M//(2)若∠D′DC=π313、已知抛物线x2=4y，点A在抛物线上，且在第一象限，以点A为切点作抛物线的切线l，并与x轴交于点B，过点B作垂直于l的直线l′交抛物线于C，D两点，其中点C在第一象限，设l′与(1)若点A的横坐标为2，求切线l的方程．(2)连接OC，OD，AK，AC，记△OKD，△OKC，△AKC的面积为S1，S214、已知函数fx=ln(1)证明：函数fx(2)设x0为函数f①11−a②3−10a+8a2−2a31、【答案】A;【解析】∵全集U=1,2,3,4,5,6,7且A∩∴∁U故选A．2、【答案】C;【解析】由已知有m⊥d，当m⊥n时，平面α与平面当α//∵m⊥∴m⊥∵n⊂β，∴m⊥故必要性满足，∴“m⊥n”是“故选C．3、【答案】D;【解析】将已知函数变形fx其中tan⁡φ=又fx=asin∴π4−φ=2kπ+π2（k∈Z∴fx∴函数y=fx+∴函数是偶函数且它的图象关于点3π2故选D．4、【答案】C;【解析】分别记a→=OA→，b→设线段AB的中点为D，由极化恒等式，得−==|=|=1即C是以点D为圆心，12则c→故选C．5、【答案】C;【解析】依题意，有b2则b2注意到E(X)=b+2c，E(X则D(X)=E(=(b+4c)−=(b+4c)−4c=b，由AM−GM不等式，得：ac⩽(a+c)从而D(X)的最大值为12当且仅当a=c=14，故选C．6、【答案】D;【解析】记线段PQ的中点为R．设直线MR与直线PQ的斜率分别为k1，k2，则k1又注意到k1⋅k从而离心率e=1−故选D．7、【答案】C;【解析】如图所示，作出曲线y=ex−1与直线设曲线y=ex−1与直线y=x相切于点借助蛛网工作法，得an单调递增，且a下面归纳证明an⩽n当n=1时，结论显然成立．假设结论对n成立．则当n+1时，由归纳假设只需要证明en又注意到ln⁡即当n+1时结论也成立．从而结论成立．又a2=1故选C．8、【答案】202【解析】设AE=AC=BE=x，则EC=x−2，在△AECcos⁡C=则△ABC的面积S=故答案为：2029、【答案】y=±(3【解析】依题意，有MF1=2a设直线l与渐近线交于点A，则AO=a，AF作F2B⊥直线l且交直线l于点B，则AO故BF2=2a又注意到BF则2b=2a+23从而该双曲线的渐近线方程为y=±(3故答案为：y=±(310、【答案】98【解析】注意到fx是偶函数，则M由绝对值三角不等式，得Ma上式当且仅当a=−7即Ma的最小值为9故答案为：9811、【答案】(1)2n+1;(2)证明见解析．;【解析】(1)设an则ak1=a3依题意，有a1则ak又akn是等比数列，且则kn−1是以k1故kn从而k1(2)方法一:原不等式等价于证明k=1n由（1）的结论，得bn由Cauchy不等式，得k=1⩽k=1一方面，有k=1n另一方面，有k=1<1+=1+=2−1从而k=1n即原不等式成立．(2)方法二:由（1）的结论，得2b则原不等式等价于证明k=1n又注意到n==k=1则只需要证明k+1−事实上，整理后即得∗⇔这即为Cauchy不等式．从而原不等式成立．12、【答案】(1)证明见解析．;(2)1510;【解析】(1)如图，连接B′依题意，有A′又A′B′故A′又A′M⊄平面B′BCC则A′M//(2)方法一:如图，连接D′M，则由平面DCC′D′⊥平面ABCD又AD⊂平面ABCD，则D′作MP⊥AD交AD于点P，连接PD又AD∩PM=P，则AD⊥平面PM作MN⊥PD′交PD′于点又AD∩PD则MN⊥平面DA即∠MA′N为设∠M又MP=32，则D′故MN=MP⋅M又A′则sin⁡θ=(2)方法二:以M为坐标原点，MN→为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系M−xyz则D(0,−1,0)，D′(0,0,3)，故DD′→=0,1,设n→=(a,b,c)是平面DD取a=c=1，b=−3即ncosM故A′M与平面DAA13、【答案】(1)x−y−1=0．;(2)8．;【解析】(1)x−y−1=0．(2)如图，设Ax0,联立直线l′与抛物线方程2x得x0设Cx1,则x1显然x1<0，则S1又注意到S1则S=1+=1+4易知S3则S=x最后一步即为AM−GM不等式．①式当且仅当x0从而S3S214、【答案】(1)证明见解析．;(2)①证明见解析．②证明见解析．;【解析】(1)f′则函数fx在区间−1,+又f0=−1<0，由零点存在定理，得函数fx在区间0,10(2)①引理1：ln⁡设gx=ln则g′函数gx在区间0,+故gx<g0一方面，设ℎa则ℎ′即函数ℎa在区间−则f=>≈0.693−0.61>0，另一方面，结合引理1，得：f<=0．