上海市浦东新区上海立信会计金融学院附属高行中学2024-2025学年高三上学期第一次质量检测（9月）数学试题（解析版）

高行中学高三第一次质量检测一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知全集，集合，则______.【答案】##空集【解析】【分析】解得集合，结合补集的定义和运算即可求解.【详解】由题意知，，又，所以.故答案为：2.在复平面内，复数所对应的点的坐标为-1,1，则______.【答案】【解析】【分析】由已知求得，进一步得到，再根据复数的乘法运算法则计算可得．【详解】根据题意知，所以，所以.故答案为：3.函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是__________________.【答案】【解析】【详解】试题分析：先利用二倍角公式化简函数，再求函数的周期．考点：二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法4.记为等差数列的前项和.若，则公差__________.【答案】3【解析】【分析】由等差数列的性质，已知条件转化为，可求公差.【详解】为等差数列an的前项和，若公差为，且，则有，得，解得.故答案为：35.直线与直线的夹角大小为__________.【答案】##【解析】【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角.【详解】因为直线的斜率为，倾斜角为，直线的斜率为，倾斜角为，故直线与直线的夹角大小为.故答案为：.6.已知，若关于的方程解集为，则的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】由题意得无解，对分，和且讨论，再结合判别式即可求解.【详解】由，整理得，即，当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当且时，方程无解，即无解，，解得，又，的取值范围为.故答案为：.7.在一次射击训练中，某运动员5次射击环数依次是，则该组数据的方差__________.【答案】##【解析】【分析】根据平均数公式和方差公式计算可得.【详解】因为平均数，所以方差.故答案为：8.已知函数，则在点处的切线的倾斜角为__________.【答案】【解析】【分析】利用导数求出切线斜率，然后由反三角表示即可.【详解】因为，所以，记在点处的切线的倾斜角为，则，则，所以.故答案为：9.如图，对于直四棱柱，要使，则在四边形中，满足的条件可以是______．（只需写出一个正确的条件）【答案】（只要使得即可）.【解析】【分析】利用线面垂直的判定定理及线面垂直的定义可得出结论.【详解】连接，如下图所示：因为平面，平面，则，若，，、平面，平面，平面，.故答案为：（只要使得即可）.10.将半径为1的半圆形纸片卷成一个无盖的圆锥筒，则该圆锥简的高为______.【答案】【解析】【分析】根据圆锥展开图可知圆锥底面周长等于半圆形纸片弧长，母线为半圆形纸片的半径，进而利用圆锥的轴截面计算可得.【详解】如图所示，由题意可知圆锥的母线，设圆锥的半径为，高为，则圆锥底面周长等于半圆形纸片弧长，故得，故.故答案为：11.在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为______.【答案】【解析】【分析】根据题意，由投影向量的定义，代入计算，即可求解.【详解】由条件可得，，所以在方向上投影向量的坐标为.故答案为：12.已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点、，P是与在第一象限的交点，当时，双曲线的离心率等于______.【答案】【解析】【分析】根据P点是椭圆和双曲线的交点，结合椭圆双曲线的定义表示出，，在△中结合余弦定理即可列出方程求解．【详解】设椭圆标准方程为，椭圆离心率为，设双曲线标准方程为，双曲线离心率为，它们的左右焦点为、，由题可知，设，，则，由①②得，，，代入③整理得，，两边同时除以得，，即，所以，解得(舍去)，或，即.故答案为：.二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13.设，则“”是“”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件【答案】C【解析】【分析】由可推出同号，则根据分类讨论可得出，根据，两边同乘可得，即可选出选项.【详解】由题知，则同号，当时，有，当时，有，故能推出，当成立时，又，对不等式两边同时乘以可得，故“”是“”的充分必要条件.故选：C.14.下列函数中，既是奇函数又在区间上是严格减函数的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由奇函数的定义域可得A错误；由奇函数的性质和导数可得B正确；由奇函数的性质可得C错误；由正弦函数的单调性可得D错误；【详解】函数的定义域为，不关于原点对称，所以不是奇函数，故A错误；函数的定义域为，关于原点对称，且，所以函数为奇函数，又恒成立，所以在上为减函数，故B正确；定义域为不关于原点对称，所以不是奇函数，故C错误；由正弦函数的单调性可得在为增函数，又，所以在区间上是严格增函数，故D错误；故选：B.15.已知是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A.若不平行，则与可能垂直于同一平面B.若平行于同一平面，则与不可能异面C.若不平行，则在内存在与平行的直线D.若垂直于同一平面，则与一定平行【答案】C【解析】【分析】根据空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一判断即可得出答案.【详解】对于A，若与垂直于同一平面，则有，A选项错误；对于B，若平行于同一平面，则与可能相交可能平行也可能异面，B选项错误；对于C，若不平行，则与相交，在内平行于交线的直线与平行，C选项正确；对于D，若垂直于同一平面，则与可能平行可能相交，D选项错误.故选：C.16.设函数，若对于任意，在区间上总存在确定的，使得，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三角函数图象的单调性得,,根据，可得即可根据求解.【详解】因为，若，则，所以,，即,，由在区间上总存在确定的，使得，则在区间上总存在确定的，使得，当时，,故，故故的最大值为：，故选：C．三､解答题（本大题共有5题，满分78分）17.如图，在直三棱柱中，，交于点为的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据直三棱柱的性质可得，，进而根据线面垂直的判定与性质得到，即可证明；（2）由（1）知两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用坐标运算求得平面的一个法向量为，又，即可求得直线与平面所成角的大小.【小问1详解】因三棱柱为直三棱柱，所以平面，又平面，所以，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，，平面，所以平面.【小问2详解】由（1）知两两垂直，如图建立空间直角坐标系.由已知，则，，，，.设，所以，因为，所以，即，所以平面的一个法向量为.又，设直线与平面所成角的大小为，则所以直线与平面所成角的大小为.18.在三角形中，内角所对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若，三角形的面积为，求三角形的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由正弦定理进行边角互化可得，结合两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系可求出，即可求出.(2)由三角形的面积公式可得，结合及余弦定理即可求出，即可得出结果.【小问1详解】由正弦定理得，所以所以，整理得，因为，所以，因此，所以，所以.【小问2详解】由的面积为，得，解得，又,则，.由余弦定理得，解得，，所以的周长为.19.某高中随机抽取名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）.（1）求身高不低于170cm学生人数；（2）将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人．①求从这三个组分别抽取的学生人数；②若要从6名学生中抽取2人，求组中至少有1人被抽中的概率．【答案】（1）60人；（2）①30人，20人，10人；②【解析】【分析】（1）先求出,的频率可得结果．（2）①由分层抽样可得各组的人数;②分别列举各种情况可得概率．【小问1详解】由频率分布直方图可知,的频率为，故身高在以上的学生人数为（人．【小问2详解】①，，三组的人数分别为，，人．因此应该从，，三组中每组各抽取（人，（人，（人．②设组的3位同学为，，，组的2位同学为，，组的1位同学为，则从6名学生中抽取2人有15种可能：,，,，,．,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,．其中组的2位学生至少有1人被抽中有9种可能：,，,，,，,，,，,，,，,，,．所以组中至少有1人被抽中的概率为．20.近年来,为“加大城市公园绿地建设力度,形成布局合理的公园体系”,许多城市陆续建起众多“口袋公园”、现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”、如图所示,以中点A为圆心,为半径的扇形草坪区,点在弧BC上（不与端点重合）,AB、弧BC、CA、PQ、PR、RQ为步行道,其中PQ与AB垂直,PR与AC垂直.设.（1）如果点P位于弧BC的中点,求三条步行道PQ、PR、RQ的总长度;（2）“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用.为此街道允许在步行道PQ、PR、RQ开辟临时摊点,积极推进“地摊经济”发展,预计每年能产生的经济效益分别为每米5万元、5万元及5.9万元.则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少?（精确到1万元）【答案】（1）(米)（2）2022万元【解析】【分析】(1)根据图依次求出三条线段长度即可求出总长度;(2)将PQ、PR、RQ三边通过图中的关系用关于的等式表示,再记经济总效益,将进行表示,通过辅助角公式化简求出最值即可.小问1详解】解:由题,,同理,故,由于点P位于弧BC的中点,所以点P位于的角平分线上,则,,因为,,所以为等边三角形,则,因此三条街道的总长度为（米）.【小问2详解】由图可知,,,,在中由余弦定理可知:,则,设三条步行道每年能产生的经济总效益,则,当即时取最大值,最大值为.答:三条步行道每年能产生的经济总效益最高约为2022万元.21.如图，椭圆的上、下焦点分别为、，过上焦点与轴垂直的直线交椭圆于、两点，动点、分别在直线与椭圆上.（1）求线段的长；（2）若线段的中点在轴上，求的面积；（3）是否存在以、为邻边的矩形，使得点在椭圆上？若存在，求出所有满足条件的点的纵坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）（3）或.【解析】【分析】（1）根据已知求出点的横坐标，根据对称性可得线段的长；；（2）线段PQ的中点在轴上，得点纵坐标，代入椭圆方程得点横坐标，此时轴，易得其面积；（3）假设存在，为邻边的矩形，使得点E在椭圆C上，设，，，由平行四边形对角线互相平分把点坐标用点坐标表示，然后把坐标代入椭圆方程，利用垂直得向量的数量积为0，得出的关系，结合起来可得或，再分别代入求得，得结论．【小问1详解】由可得：，，从而，所以令，则，解得：，所以.【小问2详解】线段的中点在轴上，则，所以，即轴，所以令，则，解得：，所以；【小问3详解】，假设存在以，为邻边的矩形，使得点E在椭圆C上