3.3二项式定理与杨辉三角（第2课时二项式系数的性质与杨辉三角）课件高二上学期数学人教B版选择性

第三章排列、组合与二项式定理3.1.3二项式定理与杨辉三角第二课时二项式系数的性质与杨辉三角人教B版

数学

选择性必修第二册课程标准1.掌握二项式系数的有关性质,并应用性质解决简单问题.2.会应用杨辉三角求二项式次数不大时各项的二项式系数.基础落实·必备知识全过关知识点

杨辉三角与二项式系数的性质因为(a+b)0=1,所以可以把n=0对应的二项式系数看成1.把n=0,1,2,3,4,5,6对应的二项式系数逐个写出,并排成如下数表形式:上面的二项式系数表称为“杨辉三角”或“贾宪三角”,在欧洲称为“帕斯卡三角”.杨辉三角至少具有下面的性质:(1)每一行都是对称的,且两端的数都是1.(2)从第三行起,不在两端的任意一个数,都等于上一行中与这个数相邻的两数之和.事实上,设表中任一不为1的数为,那么它上一行中与这个数(3)对于给定的n来说,其二项式系数满足中间大、两边小的特点.利用二项式系数的对称性可知,二项式系数

是先逐渐变大,再逐渐变小的,当n是偶数时,中间一项的二项式系数最大,当n是奇数时,中间两项的二项式系数相等且最大.由二项式定理,对∀x∈R都成立,该方法通常称为“赋值法”(4)二项展开式的二项式系数的和等于2n.过关自诊1.判断正误.(正确的打√,错误的打×)(1)二项展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项).(

)(2)二项展开式项的系数是先增后减的.(

)(3)杨辉三角中每行两端的数都是1.(

)×二项展开式中项的系数与二项式系数是不同的,二项式系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项),但是项的系数的最大值与项其他数字因数的大小有关.×二项式系数是随n的增加先增后减的,项的系数与a,b的系数有关.√根据杨辉三角的特点可知.2.

的展开式中第8项是常数,则展开式中系数最大的项是(

)A.第8项

B.第9项C.第8项和第9项

D.第11项和第12项D3.(2-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a8=

.

180

4.(2x-1)6展开式中各项系数的和为

;各项的二项式系数和为

.

1

64解析

令展开式左、右两边x=1,得各项系数和为1;各二项式系数之和为26=64.重难探究·能力素养全提升探究点一“杨辉三角”的应用【例1】

(1)如图是著名的杨辉三角,则图中所有各数的和是(

)A.225 B.256

C.127 D.128C(2)杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算术》一书中,画了一张表示二项式展开后的二项式系数构成的三角形数阵,如图所示.现在称为“杨辉三角”,它是杨辉的一大重要研究成果.在这个数阵中从上往下数第100行,从左往右数第3列的那个数是(

)A.5050 B.4851 C.4950 D.5000B规律方法

解决与杨辉三角有关的问题的一般思路(1)观察:对题目进行多角度观察,找出每一行的数与数之间,行与行之间的数的规律.(2)表达:将发现的规律用数学式子表达.(3)结论:由数学表达式得出结论.变式训练1如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第

行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.

34探究点二求展开式的系数和【例2】

设(1-2x)2020=a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020(x∈R).(1)求a0+a1+a2+…+a2020的值;(2)求a1+a3+a5+…+a2019的值;(3)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2020|的值.解

(1)令x=1,得a0+a1+a2+…+a2

020=(-1)2

020=1.①(2)令x=-1,得a0-a1+a2-…-a2

019+a2

020=32

020.②①-②,得2(a1+a3+…+a2

019)=1-32

020,∴a1+a3+a5+…+a2

019=∴a2k-1<0(k∈N+),a2k>0(k∈N).∴|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2

019|+|a2

020|=a0-a1+a2-a3+…-a2

019+a2

020=32

020.变式探究

本例中设(1-2x)2020=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a2020(1+x)2020,x∈R,则a0+a1+a2+…+a2020=

.

1解析

设1+x=t,则x=t-1,1-2x=3-2t.原式即为(3-2t)2

020=a0+a1t+a2t2+…+a2

020t2

020.令t=1,得a0+a1+a2+…+a2

020=12

020=1.规律方法

1.解决二项式系数和问题的思维流程.2.对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N+)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1;对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N+)的式子求其展开式的各项系数之和,只需令x=y=1.3.一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),A.-2 B.-1 C.0 D.2B探究点三求展开式中系数或二项式系数的最大项【例3】

已知

展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项;(2)求展开式中系数最大的项.解

(1)令x=1,则二项展开式中各项系数的和为f(1)=(1+3)n=4n,又展开式中各项的二项式系数之和为2n,由题意知,4n-2n

=

992.∴(2n)2-2n-992=0,∴(2n+31)(2n-32)=0,∴2n=-31(舍),或2n=32,∴n=5.由于n=5为奇数,∴展开式中二项式系数最大的项为中间两项,它们分别是规律方法

二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项,根据二项式系数的性质对(a+b)n中的n进行讨论.(1)当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大.(2)当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大.(1)求二项式系数最大的项.(2)系数的绝对值最大的项是第几项?探究点四二项式定理的其他应用角度1.利用二项式定理解整除问题及求余数问题【例4】

(1)用二项式定理证明1110-1能被100整除.(2)求9192被100除所得的余数.规律方法

利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题,通常需将底数化成两数的和或差的形式,且这种转化形式与除数有密切的关系.变式训练4(1)若

能被7整除,则x,n的值可能为(

)A.x=4,n=3 B.x=4,n=4C.x=5,n=4 D.x=6,n=5C(2)0.996的计算结果精确到0.001的近似值是(

)A.0.940 B.0.941

C.0.942 D.0.943B角度2.利用二项式定理证明不等式【例5】

证明:3n>(n+2)·2n-1(n∈N+,且n>2).证明

因为n∈N+,且n>2,所以3n=(2+1)n展开后至少有四项.因为(2+1)n=2n+·2n-1+…+·2+1≥2n+n·2n-1+2n+1>2n+n·2n-1=(n+2)·2n-1,所以3n>(n+2)·2n-1.规律方法

将不等式左边3n变形为(2+1)n,将(2+1)n的二项展开式与不等式的右边对比,发现二项展开式与不等式的右边的联系.此外,决定二项式的展开式中项的取舍是证明的关键.成果验收·课堂达标检测123456789101112131415161718A级必备知识基础练1.[探究点二](多选题)满足

的偶数n可以为(

)A.8 B.10 C.12

D.14CD解析

2n-1>1

000,解得n≥11,n∈N+.故选CD.1234567891011121314151617182.[探究点二]二项展开式(2x-1)10中的奇次幂项的系数之和为(

)B解析

设(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10.令x=1得,1=a0+a1+a2+…+a10,①再令x=-1得,310=a0-a1+a2-a3+…-a9+a10,②由①-②可得a1+a3+a5+a7+a91234567891011121314151617183.[探究点一]将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,便可以得到如图的“0—1三角”.在“0—1三角”中,从第1行起,设第n(n∈N+)次出现全行为1时,1的个数为an,则a3等于(

)A.26 B.27

C.7 D.8D1234567891011121314151617184.[探究点二](1-ax+by)n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243,不含y的项的系数绝对值的和为32,则a,b,n的值可能为(

)A.a=2,b=-1,n=5 B.a=-1,b=2,n=6C.a=-1,b=2,n=5 D.a=-2,b=-1,n=6C解析

令x=0,得(1+by)n系数绝对值的和为243.令y=0,得(1-ax)n系数绝对值的和为32.经验证当a=-1,b=2,n=5时成立.1234567891011121314151617185.[探究点二]已知(1+2x)n的展开式的二项式系数之和为16,则n=

;各项系数之和为

.(用数字作答)

481解析

展开式中的二项式系数的和是2n=16,所以n=4,令x=1,则(1+2)4=81,即各项系数和为81.1234567891011121314151617186.[探究点二]若(2x-1)4=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,则-a0+a1-a2+a3-a4=

.

-81解析

令x=-1,得(-3)4=a0-a1+a2-a3+a4,所以-a0+a1-a2+a3-a4=-81.123456789101112131415161718解析

令x=-1得a0+a2+a4-(a1+a3+a5)=243.1234567891011121314151617188.[探究点一]杨辉三角在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书记载.在欧洲,这个表叫做帕斯卡三角形,它出现要比杨辉三角迟393年.那么,第15行第13个数是

.(用数字作答)

455123456789101112131415161718B级关键能力提升练9.在(x+)n的展开式中,只有第六项的二项式系数最大,且所有项的系数和为0,则含x6的项的系数为(

)A.45 B.-45 C.120

D.-120A123456789101112131415161718D12345678910111213141516171811.若1717+a(a∈Z,0≤a<4)能被3整除,则a=(

)A.0 B.1 C.2 D.3B12345678910111213141516171812.(多选题)设(2x-1)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7,则下列结论正确的是(

)A.a2+a5=588B.a1+a2+…+a7=1C.a1+a3+a5+a7=D.|a1|+|a2|+…+|a7|=37-1ACD123456789101112131415161718解析

因为(2x-1)7展开式的第k+1项为Tk+1=·(2x)7-k·(-1)k=·(-1)k·27-k·x7-k,又(2x-1)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7,所以a2=·(-1)5·27-5=-84,a5=·(-1)2·27-2=672,则a2+a5=588,故A正确;令x=1,则(2-1)7=a0+a1+a2+…+a6+a7=1,令x=0,则(0-1)7=a0=-1,令x=-1,则(-2-1)7=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=-37,故a1+a2+…+a7=1-a0=2,故B错误;故C正确;|a1|+|a2|+…+|a7|=a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=-(a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7)+a0=37-1,故D正确.故选ACD.12345678910111213141516171813.(多选题)已知二项式(2x-)n的展开式中共有8项,则下列说法正确的有(

)A.所有项的二项式系数和为128B.所有项的系数和为1C.二项式系数最大的项为第5项D.有理项共3项AB12345678910111213141516171812345678910111213141516171814.(多选题)已知(-ax2)n(a<2)的展开式中第3项的二项式系数为45,且展开式中各项系数和为1024,