8.3.1棱柱棱锥棱台的表面积和体积课件高一下学期数学人教A版

第八章立体几何初步8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积人教A版

数学

必修第二册课程标准1.了解棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图,掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积公式及体积公式,能用公式解决简单的实际问题.2.能运用公式求棱柱、棱锥、棱台的表面积及体积,理解棱柱、棱锥、棱台的体积之间的关系.3.会求组合体的表面积及体积.基础落实·必备知识全过关知识点1

棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的

.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的

.

常常表示为侧面积+底面积和

和

过关自诊1.正三棱柱的底面边长为1,侧棱长为2,则它的侧面积为

,表面积为

.

62.[苏教版教材例题]设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶,高是1.0m,底面的边长是1.5m,制造这种塔顶需要多少平方米铁板(精确到0.1m2)?解

如图,S表示塔的顶点,O表示底面的中心,则SO是高.设点E是底面上一条边的中点,连接SE,则SE是斜高.在Rt△SOE中,知识点2

棱柱、棱锥、棱台的体积1.一般地,如果棱柱的底面积是S,高是h,那么这个棱柱的体积V棱柱=

.

2.一般地,如果棱锥的底面面积是S,高为h,那么该棱锥的体积V棱锥=

.

3.如果棱台的上、下底面面积分别为S',S,高是h,那么这个棱台的体积V棱台=

.

棱台两底面之间的距离Sh过关自诊

1.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A=2,AB=1,那么该正四棱柱的体积为(

)A.1 B.2

C.4 D.8B解析

正四棱柱的体积为V=S正方形ABCD×AA1=12×2=2.2.[北师大版教材例题]已知一正四棱台的上底边长为4cm,下底边长为8cm,高为3cm.求其体积.重难探究·能力素养全提升探究点一棱柱、棱锥、棱台的表面积【例1】

如图是一个搭建好的帐篷,它的下部是一个正六棱柱,上部是一个正六棱锥,其中帐篷的高为PO,正六棱锥的高为PO1,且PO=3PO1.当PO1=2m,PA1=4m时,求帐篷的表面积.变式探究若把题目条件中“帐篷”改为“用某种材料制成条件中所示组合体形状的封闭容器”,表面积为多少?规律方法

空间几何体表面积的求法技巧求解此类问题时,首先要注意题目要求侧面积还是表面积,其次观察几何体形状,是已知的棱柱、棱锥、棱台,还是由这些几何体组成的组合体,再利用公式准确计算相关的面积,从而求解.探究点二棱柱、棱锥、棱台的体积【例2】

(1)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.截面A1DB将正方体分成两部分,其体积分别为V1,V2,且V2>V1.求V1,V2以及V1∶V2.(2)已知正四棱台两底面边长分别为20cm和10cm,侧面面积为780cm2,求其体积.解

如图所示,在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,A1B1=10

cm,AB=20

cm,取A1B1的中点E1,AB的中点E,则E1E为斜高.设O1,O分别是上、下底面的中心,则四边形EOO1E1为直角梯形.变式探究在例2(1)中,求四棱锥A1-BDD1B1的体积.规律方法

求几何体体积的常用方法

探究点三与正棱柱、正棱锥有关的体积和表面积问题【例3】

一个正四棱锥的底面边长为3cm,侧棱长为5cm,则它的体积为

cm3,表面积为

cm2.

24解析

如图,∵正四棱锥P-ABCD的底面边长为3

cm,∴S正方形ABCD=18

cm2.规律方法

正棱锥的性质如下:(1)正棱锥的各侧棱都相等,各侧面都是全等的等腰三角形,侧面等腰三角形底边上的高叫做棱锥的斜高;(2)从顶点向底面作垂线,垂足为底面(正多边形)的中心;(3)棱锥的底面及平行于底面的截面为相似的多边形.变式训练正四棱台(由正棱锥截得的棱台叫做正棱台)的上、下底面边长分别是2cm和6cm,两底面之间的距离为2cm,则该四棱台的侧面积为

.

解析

如图,取上、下底面中心O1,O,B1C1和BC的中点E1,E.在直角梯形OEE1O1中,EE1为侧面等腰梯形的高,过E1作E1H垂直于OE,垂足为H,OO1=2

cm,O1E1=1

cm,OE=3

cm,∴HE=2

cm.本节要点归纳1.知识清单:(1)棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.(2)棱柱、棱锥、棱台的体积.(3)组合体的表面积与体积.(4)棱柱、棱锥、棱台体积公式之间的关系.2.方法归纳:等体积法、割补法.3.常见误区:平面图形与立体图形的切换不清楚.成果验收·课堂达标检测1234567891011121314151617A级必备知识基础练1.[探究点一]若六棱柱的底面是边长为3的正六边形,侧面为矩形,侧棱长为4,则其侧面积等于(

)A.12 B.48 C.64 D.72D解析

∵六棱柱的底面是边长为3的正六边形,∴底面周长C=6×3=18,又侧面是矩形,侧棱长为4,∴棱柱的高h=4,∴棱柱的侧面积S=Ch=72.故选D.12345678910111213141516172.[探究点二]如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则三棱锥D-ACD1的体积是(

)A12345678910111213141516173.[探究点一]一个正四棱锥的底面边长为2,高为,则该正四棱锥的表面积为(

)A.8 B.12 C.16 D.20B12345678910111213141516174.[探究点二]正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为(

)B12345678910111213141516175.[探究点二]棱台的上、下底面面积分别是2,4,高为3,则棱台的体积等于(

)C12345678910111213141516176.[探究点二]如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是

.

1012345678910111213141516177.[探究点三]已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成,如图所示,其中长方体的长、宽、高分别为4,3,3,三棱柱底面是直角边分别为4,3的直角三角形,侧棱长为3,则此几何体的体积是

,表面积是

.

90

13812345678910111213141516178.[探究点二]有一个正四棱台形状的油槽,可以装油190L,假如它的两底面边长分别等于60cm和40cm,则它的深度为

cm.

751234567891011121314151617B级关键能力提升练9.我国古代名著《张丘建算经》中记载:“今有方锥下广二丈,高三丈,欲斩末为方亭,令上方六尺,问亭方几何?”大致意思为“有一个正四棱锥下底面边长为二丈,高三丈,现从上面截去一段,使之成为正四棱台状方亭,且正四棱台的上底面边长为六尺,问该正四棱台的体积是多少立方尺?”(注:1丈=10尺)(

)A.1946立方尺 B.3892立方尺C.7784立方尺 D.11676立方尺B123456789101112131415161710.如图所示,在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中,过上底面的一边A1B1和AC,BC的中点F,E作一个平面A1B1EF,记平面分三棱台两部分的体积为V1(三棱柱A1B1C1-FEC),V2两部分,那么V1∶V2=

.

3∶4123456789101112131415161711.在三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,P-ABC的体积为V2,则

=

.

123456789101112131415161712.如图,AA1,BB1,CC1相交于点O,形成两个顶点相对、底面水平的三棱锥容器,AO=A1O,BO=B1O,CO=C1O.设三棱锥的高均为1,若上面三棱锥中装有高度为0.5的液体,且液体能流入下面的三棱锥,则液体流下去后液面的高度为

.

123456789101112131415161713.广场上的玩具石凳是由正方体截去八个全等的四面体得到的(如图).如果被截正方体的棱长为2,那么玩具石凳的表面积为

.

解析

根据题意可知,玩具石凳的表面由8个全等的以2为边长的等边三角形和6个以2为边长的全等的正方形构成,故玩具石凳的表面积为123456789101112131415161714.已知正四棱台的高是12cm,两底面边长之差为10cm,表面积为512cm2,则上、下底面边长分别为

cm,体积为

cm3.

2,12

688

123456789101112131415161715.如图所示,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E,F分别为AA1,CC1的中点,求四棱锥A1-EBFD1的体积.1234567891011121314151617123456789101112131415161716.(多选题)一个圆台的上、下底面半径分别是10和20,它的侧面展开图扇环的圆心角为180°,则圆台的(

)A.母线长是20 B.表面积是1100πABDC级学科素养创新练12345678910111213