近世代数试题库

近世代数

一、单项选择题

1、若A={1,2,3,5},B={2,3,6,7},则Ac8=（）

A、{1,2,3,4}B、［2,3,6,7）

C、{2,3}D、{1,2,3,5,6,7）

答案：C

2、循环群与交换群关系正确的是（）

A、循环群是交换群B、交换群是循环群

C、循环群不一定是交换群D、以上都不对

答案：A

3、下列命题正确的是（）

A、n次对换群S"的阶为"！B、整环一定是域

C、交换环一定是域D、以上都不对

答案：A

4、关于陪集的命题中正确的是（）设H是G的子群，那么

A、对千PaH,bH,有aHcbH=</>或aH=bH

B、以上都对

答案：D

5、设A=R（实数域），B=R+（正实数域）f?:a-10a??aeA则f

是从A到B的（）

A、单射B、满射

C、一一映射D、既非单射也非满射

答案：D

6、有限群中的每一个元素的阶都（）

A、有限B、无限

C、为零D、为1

答案：A

7、整环（域）的特征为（）

A、素数B、无限

C、有限D、或素数或无限

答案：D

8、若S是半群，则（）

A、任意a，b，ceS,都有a（bc）=（ab）cB、任意口力eS,都有ab=ba

C、必有单位元D、任何元素必存在逆元

答案：A

9、在整环Z中，6的真因子是（）

A、±1,±6B、±2,±3

C、±1,±2D、±3,±6

答案：B

10、偶数环的单位元个数为（）

A、0个B、1个

C、2个D、无数个

答案：A

11、设A，4,…，4和。都是非空集合，而/是…X、到。的一个映射，那么（）

A、集合A，4,…,4，。中两两都不相同；

B、A，4,…,4的次序不能调换;

C、AXA?X3x4中不同的元对应的象必不相同;

D、一个元可）的象可以不唯一。

答案：B

12、指出下列那些运算是二元运算（）

A、在整数集Z上，aob=--,

ab

B、在有理数集。上，。。6=眄；

C、在正实数集7?+上，aob=alnb；

D、在集合｛〃eZ、NO｝上,aob=\a-t^o

答案：D

13、设。是整数集Z上的二元运算，其中a°"=max｛a，M（即取a与匕中的最大者），那么。

在Z中（）

A、不适合交换律；B、不适合结合律；

C、存在单位元；D、每个元都有逆元。

答案：C

14、设（G,。）为群，其中G是实数集，而乘法。：aob=a+b+k,这里k为G中固定的常数。

那么群（G,。）中的单位元e和元％的逆元分别是（）

A、0和一刀；B、1和0；C、左和x—2左；D、一左和一（x+2左）。

答案：D

15、设a,dc和x都是群G中的元素且x2a=bxcT,acx=xac,那么x=（）

A、bcxal；B、cxax；C、a^bc1；D、blca□

答案：A

16、设H是群G的子群，且G有左陪集分类如果6,那么G的阶［G|=（）

A、6；B、24；C、10；D、12。

答案：B

17、设了:G|fG?是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（）

A、/的同态核是G1的不变子群；

B、G2的不变子群的逆象是GI的不变子群；

C、G的子群的象是G2的子群；

D、G1的不变子群的象是G2的不变子群。

答案：D

18、设/:凡一&是环同态满射，于（a）=b，那么下列错误的结论为（）

A、若。是零元，则b是零元；B、若a是单位元，则。是单位元；

C、若a不是零因子，贝峰不是零因子；D、若&是不交换的，则国不交换。

答案：C

19、下列正确的命题是（）

A、欧氏环一定是唯一分解环；B、主理想环必是欧氏环；

C、唯一分解环必是主理想环；D、唯一分解环必是欧氏环。

答案：A

20、若/是域产的有限扩域，E是/的有限扩域，那么（）

A、（E:Z）=（E:ZXZ:F）；B、（F:E）=（I:F\E:1Y

C、（I-F）=（E:F\F:/）；D、（E:F）=（E:l\l:F）

答案：D

二、填空题

1、集合A的一个等价关系需满足自反性、对称性和（）。

答案：传递性

2、设A,B都为有限集,且网=也忸="，则|4*同=（）.

答：mn

3.设R是集合A=｛平面上所有直线｝上的关系：

/|吊20/1〃/2或4=4eA）,则尺（）等价关系。

答：是

4、设群G中的元素。的阶为m,则优=e的充要条件是（）。

答：〃机

5、群G的非空子集H作成G的一个子群的充要条件是（）。

答：Pa,beH,有GH

6、〃次对称群S〃的阶是（）。

答：加

7、设G是有限群，〃是G的子群，且〃在G中的指数为“，则同=（）。

答：

8、设G是一个群,e是G的单位元，若“€&且a=氏则（）

答：a=e

9、最小的数域是（）。

答：有理数域

10、设集合A={1,2},则AXA=（）,2A=（）o

答：{（1,1）,（1,2）,（2,1）,（2,2）},{①，⑴，⑵,{1,2}}

_1

11、设/是A的一个变换，则尸［/⑸］（）f［/（S）］o

答：口

12、设K，&是集合A上的等价关系，为「&（）等价关系。

答：是

13、若群G中每一个元素》都适合方程x〃=e,则G是（）群。

答：交换群

14、〃阶群G是循环群的充要条件是（）。

答：G中存在〃阶的元素

15、设G，G1是有限循环群，ia=〃|G|="，则G］是G的同态象的充要条件是

Cn\m）。

答：“帆

16、如果环R的乘法满足交换律，即V。力eR,有ab=ba,则称R为（）环

答：交换环

17、数集关于数的加法和乘法作成的环叫做（）环。

答：数环

18、设有限域产的阶为81,则的特征°=()。

答：3

19、已知群G中的元素a的阶等于50,则/的阶等于()。

答：25

20、一个有单位元的无零因子()称为整环。

答：交换环

。是一个国际标准书号，那么a=()。

答：6

22.剩余类加群乙有()个生成元.

答：6

23、设群G的元a的阶是n,则a11的阶是()

答：n/(k,n)((k,n)表示k和n的最大公约数)

24、6阶循环群有()个子群.

答：3

26、模8的剩余类环Z8的子环有()个.

答：6

27、设集合A={—1,0,1}；B={1,2},则有BxA=()。

答：{(1-1),(1,0),(1,1X2-1),(2,0),(2,1)}

28、如果/是A与•间的---映射，。是A的一个元，则广()o

答：a

29、设集合A有一个分类，其中a与4是A的两个类，如果a2A，那么ana=()。

答：。

31、凯莱定理说：任一个子群都同一个()同构。

答：变换群

32、给出一个5-循环置换乃=(31425，那么%T=()o

答：(1352©

33、若/是有单位元的环R的由。生成的主理想，那么/中的元素可以表达为（）0

答：^jxiayi,xi,yteR

34、若R是一个有单位元的交换环，/是R的一个理想，那么%是一个域当且仅当/是

（）o

答：一个最大理想

35^整环/的一个元p叫做一个素元，如果（）□

答：P既不是零元，也不是单位，且q只有平凡因子

36、若域产的一个扩域E叫做产的一个代数扩域，如果（）。

答：E的每一个元都是F上的一个代数元

三、判断题

1、设A与B都是非空集合，那么4。5=加兀€4出€3｝。（X）

2、设A、B、。都是非空集合，则Ax3到。的每个映射都叫作二元运算。（X）

3、只要/是A到•的一一映射，那么必有唯一的逆映射/t。（V）

4、如果循环群G=（a）中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。（V）

5、如果群G的子群”是循环群，那么G也是循环群。（X）

6、群G的子群”是不变子群的充要条件为X/geG,X//ze口。（V）

7、如果环R的阶22,那么R的单位元120。（V）

8、若环及满足左消去律，那么R必定没有右零因子。（V）

9、P（x）中满足条件p（a）=0的多项式叫做元a在域产上的极小多项式。（X）

10、若域E的特征是无限大，那么E含有一个与%夕）同构的子域，这里Z是整数环，（p）是

由素数P生成的主理想。（X）

四、解答题

1、A=｛数学系的全体学生｝,规定关系R：

a涉与方同在一个班级，证明R是A的一个等价关系。

答案：自反性：自己与自己显然在同一个班级

对称性：若a与b同在一个班级,显然b与a同在一个班级

传递性：若a与b同在一个班级，b与c同在一个班级，显然a与c同在一个班级.

2、在R中的代数运算。是否满足结合率和交换率？

aob=a+b+ab(等式右边指的是普通数的运算)

答：因为对于有(a。。。c=(a+Z?+aZ?)。c

=(a+b+ab)+c+(a+b+ab)c=a+/?+aZ?+c+«c+/?c+abc,

根据实数的加法与乘法的运算率得

(a0办c=a00°c)。

又aob=a+b+ab=b+a+ba=boci°

所以，R的代数运算。既满足结合率，又满足交换率。

3、设集合A={a也c,d},B={c,d,e},求AB,AB,A-B,(A-B)(B-A)o

生案.AB={c,d],AB=[a,b,c,d,e^,

4、设G=J={(11(12),(13)(23),(123),(132)},H={(1),(12)},求G关于子群”的左陪集分解。

答：(1)H=(12)H=H,

(13)H=(123)H={(13),(123)),

(23)H=(132)H={(23),(132))。

因而，G关于子群〃的左陪集分解为

G=HIJ(13)//U(23)H。

5、设半群6，・)既有左单位元e,又有右单位元/,证明e=/,而且是S的唯一单位元。

答：证明d=e(因/是右单位元)，ef=f(因e是左单位元)，得e=/；

若S还有单位元则0=6“=4，故e是S的唯一单位元。

6、对于下面给出的Z到Z的映射/名”

计算/g，gf，gh,hg,fgho

答案：

7、设”是G的不变子群，则VaeG,有aHG=H。

答：因"是G的不变子群，故对于VaeG,有aH=Ha,于是

aHax=（aH）a-=（Ha）a1=H（aa］）=He=H°

8、设0是环R的零元，则对于0-a=a-0=0o

答：因为"QR,有

O，a=（O+O）,a=O，a+O，a,

由于R关于加法作成群，即R对于加法满足消去律，在上式中两边同时消去0",得0"=0。

同理可得。-0=0。

9、如果半群G有一个左单位元e,并且对于VaeG,存在左逆元eG,使得/%=e,

则G是一个群。

答：VaeG,由条件知，有左逆元a-eG,使得=而对于在G中也存在左逆元

a,使得a4T=e,则有

所以，。的左逆元。一|也是。的右逆元，即。在G中有逆元

又由于四=。（。-%）=（初-6=60=%知e是G的单位元。故G是一个群。

10、证明R为无零因子环的充分必要条件是在环R中关于乘法左消去律成立。

答：设环R没有左零因子，如果有仍=。。，则有

ab-ac=a（Jb-c）=0,

当时，由于R没有左零因子，得8-。=0,即b=。，R中关于乘法左消去律成立。

反之，若在R中关于乘法左消去律成立，如果a*。，有曲=。，即

a-b=Q=a-G,左消去。得8=0,即R中非零元均不是左零因子，故R为无零因子。

11、若LA是R的两个理想，则

4+A=M+々忖e/p/el?｝也是R的一个理想。

答:Vx,yE/1+/2,Vre^>则有

%=%1+x2,y=y1+y2>(x1,y1&Il;x2,y2e/2)(从而

x—y=(七一%)+(%—%)w/I+A；

rx=r(%j+x2)=rxx+rx2e+/2.

xr-(%1+x2)r=xvr+x2reIx+/2o

所以，人+人是R的一个理想。

12、设G=S3=HD,(12),(13),(23),(123,(13或，H={(1),(12)},则口是G的一个子群,写出G

关于H的所有左陪集的分解.

答案：Q)H=Q2)H=H

(13)H={(13),(123}=(123〃，

(23)H={(23),(130}=(13PH,

因而，G关于H的左陪集的分解为.

13、在Q中的代数运算。是否满足结合率和交换率？

答.取a==2,c=3,则(1°2)。3=2?°3=3?=9,1。(2。3)=1。3?=9?=81

又1。2=2?=4,2°1=I2=1

所以，Q的代数运算。既不满足结合率，又不满足交换率。

14、设6=$3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)},X={(1),(12)},求G关于子群”的右陪集分解。

答：X⑴=小12)={(1),(12)},

H(13)=//(132)={(13),(132)},

H(23)=H(123)={(23),(123)}。

因而，G关于子群〃的右陪集分解为

G=HIJH(13)UH(23)o

15、设S是有单位元e的半群，aeS,若a有左逆元%,又有右逆元的，则。是可逆元,

且％二。2是。的唯一的逆元。

答：证明由条件知，ag==e,贝|有〃？-=(%。)〃2=%(〃出)==囚，

若。,C都是a的逆元，同理有3=如=Mac)=(ba)c=ec=c

故。有唯一的逆元。

16、设R是环，则Va力eR,有(―a)b=a(—b)=—(aZ?)。

答：由(-〃)/?+ab=(-a+a)b=0・Z?=0,得

-(ab)=(-d)b,

同理，由。(一力+ab=a(—〃+人)=々,。=。，得

-(ab)=a(-b)。

17、设”是G的子群，若对于VawG,飞heH,有ahcfZH,则"是G的不变子群。

答：任取定aeG,对于Va/zeaH,由于“自尸6〃，则存在"e”,使得

ahcf]=%=^>ah—\aeHa=aHoHa.

\/haGHa,由于a/uT】二〃一峭(。7)一1wH,故存在为㊂“，使得

cTxha—=ha=ah^eaH=HaoaH。

因此，对于有aH=Ha。故H是G的不变子群。

18、如果G是半群，则G是群的充分必要条件是：Va,beG,方程⑪=/，和ya=人在G中

有解。

答：必要性。因G是群，则VaeG在G中有逆元/，贝.一/，加wG,分别代入方程以=6

和W=b,有

a(a~'b)=(aa~l》=eb=b,(ba~'yi=b(a~'a)=be=b,

即alb,bal分别为方程⑪=ya=b的解。

充分性。因G是半群，则是非空集合，取定aeG,则方程当=。在G中有解e,即存在G

中的元素e,使得ea=a。

下证e是G的左单位元。Ya,bQG,方程or=b和在G中有解c,即呢="

于是eb=e(ac)=(ea)c=ac=b,则e是G的一个左单位元。

又VaeG,方程冲=«在6中有解。，即aa=e,得。是。的一个左逆元。从而得G中的

每一个元素。都有左逆元。故G是群。

19、证明R为无零因子环的充分必要条件是在环R中关于乘法右消去律成立。

答：设环R没有左零因子，则也无右左零因子。于是由加=约，得

ba-ca=(b-c)a?

当aA。时，由于R没有右零因子，得8-。=0,即b=c,R中关于乘法右消去律成立。

反之，若在R中关于乘法右消去律成立，如果a/。，有加=0,即

b-a=0=0-a,右消去。得8=0,即R中非零元均不是右零因子，故R为无零因子。

20、设R为交换环，aeR,/“=卜€4。％=°},证明：(是尺的理想。

答：(1)飞a,bwI0,则ax=0,Z?x=0,从而以_法=0,(a-b)x=Q

即加泰/〃。