高中数学人教A版高中选修4-4第二讲参数方程-高中数学极坐标与参数方程

极坐标与参数方程

极坐标与参数方程在高考中常以选做题的形式出现,在知识上结合解析几何,考查学生曲线方程的转化能力，

以及解析几何的初步技能。题目难度不大，但需要学生能够快速熟练的解决问题

一、基础知识：

（-）极坐标：

1、极坐标系的建立：以平面上一点为中心（作为极点），由此点引出一条射线，称为极轴，这样就建立了一个极

坐标系

2、点坐标的刻画：用一组有序实数对（2,。）确定平面上点的位置，其中「代表该点到极点的距离，而。表示极

轴绕极点逆时针旋转至过该点时转过的角度，通常：夕＞0,6G[0,2%）

3、直角坐标系与极坐标系坐标的互化：如果将极坐标系的原点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴重合，则

x=pcos6

同一个点可具备极坐标（夕,夕）和直角坐标（x,y）,那么两种坐标间的转化公式为：＜y=0sin。，由点组成的

[p-9^x-2+y2

直角坐标方程与极坐标方程也可按照此法则进行转化，

例如：极坐标方程夕cos（9+Qsin（9=l=x+y=l（在转化成时要设法构造Qcose,/?sin9,然后进行

整体代换即可）

（-）参数方程:

X=/（/）

1、如果曲线R（x,y）=0中的变量x,y均可以写成关于参数/的函数，;就称为该曲线

[y=g（。

的参数方程，其中f称为参数

2、参数方程与一般方程的转化：消参法

x=t+3

（1）代入消参:=>y-2+3（x-3）

y=2+3r

1

x=t+-

一=/+1+2可得：/=>+2

整体消参：]由

（3）平方消参：利用sit?6+cos?6=1消去参数

x

—=cos0n2

x-3cos63x2

例如：«=><=>一Tb—==1

y=2sin62=sin。94

12

3、常见图形的参数方程：

,、2,、2,[x=a+rcos0、

（1）圆：（工一。）~+（y一人）一=/的参数方程为：J,。€r0,2万），其中。为参数

22x=acos0「、

（2）椭圆：2r+方=1（。>〃>0）的参数方程为<，0,2〃），其中。为参数,

y=bsin0

x=a+tcos0

（3）直线：过M（a,。）,倾斜角为6的直线参数方程为《teR,其中M代表该点与M的距离

y=b+tsin0

注：对于极坐标与参数方程等问题，通常的处理手段是将方程均转化为直角坐标系下的一般方程，然后利用传

统的解析几何知识求解

二、典型例题：

（1）转换为普通方程解答

x=/+3x—2cos0

例1：已知直线参数方程为1，圆C的参数方程为1,则圆心到直线的距离为_____________

y-3-t[y=2sin6+2

思路：将参数方程转化为一般方程：/:x+y=6,C:x2+（y—2）2=4

所以圆心为（0,2）,到直线的距离为：1=艮郭=2及

答案：272

例2：已知在平面直角坐标系xOy中圆C的参数方程为：1*=6+3COS。，以0r为极轴建立极坐标系，直线

y=l+3sin6

极坐标方程为°cos（e+・）=o,则圆c截直线所得弦长为

思路：圆。的方程为：（x—Gy+（y—1）2=9,对于直线方程0cos+.）=0,无法直接替换为x,y,需

构造/?COS。,/?sing再进行转换：+=0

（73A1.z11n61八

=>p——cos9——sinJ=0n——x——y=0

（22）22

再求出弦长即可：/=4近

答案：472

例3：以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极

坐标方程为。=一（夕ER）,它与曲线1—（a为参数）相交于两点AB,则|A@=—

4'[y=2+2sina

jr

思路：先将两个方程转化为直角坐标系下的普通方程。对于。=一，这种特殊的极坐标方程可以考虑数形结合

4

来确定直线：即/:y=x,曲线消参后可得：（％—1）2+（丁-2）2=4即圆心是0（1,2）,半径为2的圆，所以

%-/=+=乎,|阴=2"-

答案：V14

TT

小炼有话说：对于形如。=—的极坐标方程，可以作出图像并根据图像得到直角坐标方程，或者可以考虑对。赋

4

予三角函数，然后向直角坐标进行转化：

71sin。<psindy

0=—=>tan6=1=>---=1^>—----=l=>—=\^y=x

4cos。pcos。x

（2）利用普通方程和极坐标方程几何意义解答

7T

例4：已知曲线的极坐标方程分别为G：夕COS6=3，G：Q=4COS。，其中220,0«。<,，则曲线G，G交

点的极坐标为

思路一：按照传统思路，将6，。2转变为直角坐标系的普通方程，求出交点坐标后再转换为极坐标

解：G：夕cos6=3nx=3

122

C2:p=4cos。=>p=4/7COS。=>x+y=4x

x=3x=3x=3

*v—S<v

x2+y2=4xy=V3y=-y/3

将两个点转化为极坐标分别为-看），因为「20,0所以只有126总符合条件

思路二：观察到所给方程G：0cos6=3,C2：0=4cos6形式简单，且所求也为极坐标，所以考虑直接进行极

坐标方程联立求解

解：1代入消去?可得：4cos-。=3=cos。=±——

p=4cos6?2

0e0,->1/.cos0--=>3--

2J26

反思：（1）思路一中规中矩，但解题过程中要注意原极坐标方程对0,6的限制条件

（2）思路二有些学生会对联立方程不很适应，要了解到极坐标中的本身是实数，所以关于它们的方程与

方程一样，都是实数方程，所以可以用实数方程的方法去解根，只是由于其具备几何含义（尤其。）导致方程形

式有些特殊（数与三角函数）。但在本题中，通过代入消元还是容易解出的

例5：已知在极坐标系中，0为极点，圆C的极坐标方程为夕=4sin[e+,点P的极坐标为（4,，则,。CP

的面积为____________

思路一：将〉C转变为直角坐标系方程：

p=4sinl^+―I=>夕=2sin6+26cos。np~=2ps\n0+2\!?>pcos6

=>x2+y2=2\/3x+2y=>y-1）2=4,所以C（G』），再求出P的直角坐标为仅26），则

\GI-I2V3—65/3!

S0CP--|OC|-dp_oc,因为。C:y=—x=>yJ3x-3y=0,所以dp_oc=-------r=——-=2,且|OC|=2,

232A/3

所以S=--2-2=2

n0CrpP2

71

思路二：本题求出c（省,1）后，发现其极坐标为12,看），而P[4,,所以可结合图像利用极坐标的几何含义

jrjr-rrI

求解，可得NC0P=§—w=|OC|=2,3=4,所以S℃p=#C|・|0PkinC0P=—•2•4•sin—=2

26

答案：Socp=2

反思：（1）在思路一中面积的求法用向量求解还可以更为简单:

OC=（G1）,OP=（2,@,所以5"户=丫（|0。0尸『_（".0尸『，代人即可

（2）思路二体现了极坐标本身具备几何特点，即长度（0）与角（。），在解决一些与几何相关的问题时，灵活

运用极坐标的几何含义往往能达到出奇制胜的效果

（3）直线参数方程的几何意义解答

[°O

x=2------1

例6：在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为4「，（其中，为参数），以原点为极点，以x轴

V=-14-----1

V2

2

正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为夕=/，设点M（2,-l）,曲线G，G交于

Vl+3sin2^

A,B,求的值

2

思路'一：将G,G转化为直角坐标系下普通方程：G：y=—x+1,G:p=―/龙~+4,2=4,

Vl+3sin2^

联立方程，解出A,6坐标，再求出即可

0a

x=2----1/

2x-2

解：c,「n------------=-1=>y=-x4-1

।也y+i

y=-1+——t

.2

2I_________

G：夕=j——npVl+3sin2^=2=>p2（1+3sin2。）=4=>°?+3p2sin20=4x2+4y2=4

Vl+3sin26>''

x2+4y2=4

nf+4（T+I）2=4

y=-x+1

/.5x2-8x=0设4（工“1）,8（尤2，%）

8

Xj=08_3

:.<A（0,l）,6

35，-5

y1=1

：.\AM\^2>j2,\BM\=^y/2.-.|AM|•|BA/|=|

思路二：观察到恰好是直线G参数方程的定点，且所求恰好是A8到M的距离，所以联系到直线参

数方程中参数f的几何含义。只需求得对应参数4,L的乘积即可

C夜

玉=2--—tiX2=2~~Z2

2

解：设4（为,必），则有•「，B（x2,y2）,则有•

.V2.V2

M=-1+-11丫2=-1+—？2

代入到。2：/+4y2=1中可得:

[伍乌2]）"口[+2>）4

（72YrV2Y

2----1.+4-1+—L=4

2J2•

所以乙,％是方程2-」一『+4-1+—Z=4的两根，整理可得：

、2JI2,

2

-r-6V2r+4=0-|MB|=|r/2|=|

,..8

答案：一

5

反思：（1）思路一体现了处理线段模长乘积时，可观察涉及线段是否具备共线特点，如果具备可以将其转化为向

量的数量积，从而简化运算，但要注意与图像结合，看好向量是同向还是反向

（2）思路三体现了对直线参数方程中参数几何含义的巧用。在处理两条曲线（其中一条为参数方程）的交点问

题时，可以将参数代换掉另一曲线中的得到关于参数的方程。另外在使用直线参数方程时，要注意参数前面

的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值。否则参数不具备几何含义。例如本题中如果G参数方程为

X=2—>p2.t।।/、

\,则M并不代表点到M（2,—1）的距离。

y=-1+yJ2t

三、历年好题精选

1、已知直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为《x一-t~「~3。为参数），以直角坐标系中的原点。为极点,

y=J3f

x轴的非负半轴为极轴，圆C的极坐标方程为02-4/?cose+3=O,则圆心C到直线/的距离为

2、（2023,北京）在极坐标系中，点2,（到直线p（cose+J§sin6）=6的距离为

3、（2023,广东）己知直线/的极坐标方程为2psin（e—?卜J5,点A的极坐标为«2血,彳），则点A到

直线/的距离为

x=tcosa

4、（2023,新课标II）在直角坐标系xOy中，曲线（/为参数，iwO）,其中04&<乃，在以

[y=tsina

。为极点，X轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线。2：P=2sin6,C3：2=2gcos。

（1）求。2，。3交点的直角坐标

（2）若G，G相交于点A，6，。3相交于点3,求恒国的最大值

5、（2023,陕西）在直角坐标系，中，直线/的参数方程为•（f为参数）,以原点为极点，x轴正

半轴为极轴建立极坐标系，，。的极坐标方程为°=26sge

（1）写出C的直角坐标方程

（2）P为直线/上一动点，当尸到圆心C的距离最小时，求尸的直角坐标

习题答案：

573

1、答案:

解析：可知直线/的方程为：y=G（x+3）=JIr-y+36=0,圆的直角坐标方程为

x2+y1-4x+3=0=>(x-2)2+y21,所以圆心到直线的距离为d

2、答案：1

解析：点2,?化为直角坐标系坐标为直线方程为x+百y-6=0,从而该点到直线的距离为

八户3-6:

1+（可

3、答案：—

2

解析：直线/:②sin。一何cose=J^npsin。一夕cos6=l,转化为直角坐标方程为y—x=l,点4的

|2-(~2)+1|_5夜

直角坐标为（2,-2），则A到直线的距离为d

V2-2

1222

4、解析：（1）曲线。2，。3的直角坐标方程分别为: