辽宁省鞍山市19-20学年九年级(上)期末数学试卷 (含答案解析)

辽宁省鞍山市19-20学年九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

2,将抛物线y=-3/先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析

式是（）

A.y=-3（久—1产—2B.y=-3（%—I）2+2

C.y——3（x+l）2—2D.y=-3（x+l）2+2

3.如图，A、B、C、。在OO上，BC是O。的直径.若/。=36。，则的度数是（）

A.72°B,54°C.45°D.36°

4.如图，△ABC中，E是BC中点,AO是NB4C的平分线，EF〃4D交4c于F,若AB=11,AC=15,

则FC的长为（）

A.11B.12C.13D.14

5.已知关于x的方程/-2x+3k=0有两个不相等的实数根，则上的取值范围是（）

11

A.k—B.k<——C.fc<C3D.k>—3

6,关于反比例函数y的图象，下列说法不正确的是（）

A.经过点（-1,-2）B.图象位于一、三象限

C.当％<0时，y随X的增大而增大D.当久>1时，0<y<2

7.已知二次函数y=x2-2x+血（血为常数）的图象与％轴的一个交点为（一1,0）,则关于元的一元二

次方程%2一2%+m=0的两个实数根是（）

A.第1=1,冷=2B.%1=1,冷=3

C.%1=—1,冷=2D.久1=-1,%2=3

8.如图，在中，乙48c=90。，AB=3,BC=4,乙BAC,乙4cB的平分线相交于点E,

过点E作“7/ZC交3C于点尸，则斯的长为（）

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.抛物线y=2（尤一3）（*+2）的顶点坐标是.

10.如图，在横格作业纸（横线等距）上画了个“义”，与横格线交于A、B、C、。、O五点，若线段

AB=4cm,则线段CD=cm.

11.学校要组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场），计划安排21场比赛，应邀请多

少个球队参赛？设邀请尤个球队参赛.根据题意，可列方程为.

12.如图，AZBC中，Z.BCA=90°,Z.BAC=24°,将△力BC绕点C逆时针旋转a（0。<a<90。）得

ADEC,若CD交AB于点尸,当戊=时，AADF为等腰三角形.

13.如图，A8是。。的直径，。为。。的一条弦，CD1AB于点E,已知CD=4,AE=1,则。。

的半径为.

14.平面坐标系中，点P（3,4）是线段AB上一点，以原点为位似中心把ANOB扩大到原来的2倍，则

点尸对应的点的坐标是.

15.如图，在平面直角坐标系中，点。为原点，菱形。1BC的对角线。8在x轴上，顶点A在反比

例函数y=|的图象上，则菱形的面积为.

16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-/+7%-6与直线y=-2相交于点8、C,点尸

为直线上方的抛物线上的一动点，PQLx轴交BC于点Q,PG1BC于点、G,点M为线段

PQ的中点，则线段GM的最大值为.

三、解答题（本大题共10小题，共102.0分）

17.用适当的方法解下列一元二次方程：（1）/+4%-1=0

(2)(%—2)2—3x(%—2)=0

18.如图，在边长为1的正方形网格中，AA8C的顶点均在格点上，把△ABC绕点C逆时针旋转90。

后得到△&B1C.

(1)画出A4B1C；

(2)求在旋转过程中，CA所扫过的面积.

19.某超市2015年1月份的营业额为10000元，3月份的营业额为12100元，若该超市2015年前4

个月营业额的月增长率相同，求该超市2015年4月份的营业额.

20.已知关于x的一元二次方程X2一2刀+小一1=0有两个实数根久1，%2.

(1)求加的取值范围；

(2)当以+均=6%I%2时，求机的值.

21.如图，OE〃BC,EF//CG,AD:AB=1:3,AE=3.

(1)求EC的值;

⑵求证：AD-AG=AF-AB.

22.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-^乂+b的图象与x轴交于点A,与y轴交于点8,

与反比例函数y=£(kK0)的图象交于C、。两点，且点C的坐标为(一4,36),

(1)求一次函数和反比例函数的解析式;

(2)求4C。。的面积

23.如图，为半。。的直径，弦AC的延长线与过点B的切线交于点。，E为8。的中点，连接

CE.

(1)求证：CE是O。的切线；

(2)过点C作CF14B,垂足为点RAC=5,CF=3,求。。的半径.

24.某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市

场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价状元）满足一次函数关系，部分数据如下表：

售价x（元/千克）506070

销售量y（千克）1008060

（1）求y与x之间的函数表达式；

（2）设商品每天的总利润为W,求W与x之间的函数表达式（利润=收入-成本）；并求出售价为

多少元时获得最大利润，最大利润是多少？

25.将矩形ABC。绕点B顺时针旋转得到矩形4BC1A，点A、C、。的对应点分别为4、的、％

（1）当点4落在AC上时，

①如图1,若Z.C4B=60。，求证：四边形ABAC为平行四边形；

②如图2,AD1交CB于点。.若NC48力60。，求证：DO=AO-,

（2）如图3,当过点C时.若BC=5,CD=3,直接写出的长.

26.如图，在平面直角坐标系中，二次函数丫=a/+比c+c的图象经过矩形04BC的顶点A,B,

与x轴交于点E,F,且B,E两点的坐标分别为B(2,|),E(-1,O).

(1)求二次函数的解析式；

(2)若直线8E与抛物线的对称轴交点为尸,M是线段CB上的一个动点(点M与点8,C不重合)，

过点M作MN〃8E交x轴于点N,连接RW,PN,设CM的长为f,△PMN的面积为S,求S与

/的函数关系式，并求出S的最大值；

(3)在抛物线上是否存在点。，使AQBF为直角三角形？若存在，请直接写出点。的坐标；若不

存在，请说明理由.

答案与解析

1.答案：A

解析：解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；

不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；

C、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意；

。、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意.

故选：A.

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分

折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

2.答案：C

解析：解：将抛物线y=-3/向左平移1个单位所得直线解析式为：y=—3(x+i)2；

再向下平移2个单位为：y=—3(%+I)2-2,即y=-3(久+1产―2.

故选：C.

根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可.

此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减.

3.答案：B

解析：解：NB=乙0=36°,

・•・BC是。。的直径，

•••/.BAC=90°,

乙BCA=90°一乙B=54°,

故选：B.

根据圆周角定理求出NB的度数，根据直径所对的圆周角是直角，求出NB4C的度数，得到答案.

本题考查的是圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角相等和直径所对的圆周角是直角是解题的关键.

4.答案:C

解析：解：•••AD是NB力C的平分线，AB=11,AC=15,

.BD_AB_11

''CD~AC_15'

•••E是BC中点，

11+15

.CE__2__13

"CD~15-15,

・・•EF//AD,

.CF_CE_13

••CA~CD~15'

13

・•.CF=—CA=13.

15

故选C.

根据角平分线的性质即可得出黑=崂=当结合E是BC中点，即可得出第=.由EF〃/1。即可

得出m=震=.进而可得出6=苒。1=13,此题得解.

C/U_LbA.O

本题考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、线段的中点以及平行线的性质，根据角平

分线的性质结合线段的中点，找出霁=蓑是解题的关键.

5.答案：A

解析：解：,•・关于X的方程久2-2久+3k=0有两个不相等的实数根，

；.△=(-2)2-4xlx3/c>0,

解得：fc<|.

故选：A.

根据方程的系数结合根的判别式△>0,即可得出关于人的一元一次不等式，解之即可得出人的取值

范围.

本题考查了根的判别式，牢记“当△>()时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.

6.答案：C

解析：解:A、把％=-1代入y=|得了=一2,则点(一1,一2)在y=：的图象上，所以A选项的说法正

确;

B、k=2>0,则双曲线y=|的两支分别位于第一、第三象限，所以2选项的说法正确；

C、当x<0时，y随着x的增大而减小，所以C选项的说法错误；

D、把久=1代入y=|得y=2,贝卜>1时，0<y<2,所以。选项的说法正确.

故选：C.

根据反比例函数图象上点的坐标特征对A进行判断；根据反比例函数的性质对8、C、。进行判断.

本题考查了反比例函数的性质：反比例函数y=xk(k*0)的图象是双曲线；当k>0,双曲线的两支

分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k<0,双曲线的两支分别位于第

二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大.

7.答案：D

解析：

本题考查了二次函数与一元二次方程的解的关系，理解一元二次方程——2久+6=0的解就是抛物

线y=x2-2x+为常数)的图象与x轴的交点的横坐标是关键.

根据抛物线的对称轴，确定抛物线与x轴的两个交点的坐标，交点的横坐标就是方程的解.

解:二次函数y=/-2x+m(m为常数)的对称轴是久=1,

(―1,0)关于x=1的对称点是(3,0).

则一元二次方程/-2%+爪=0的两个实数根是/=-1,久2=3.

故选D

8.答案：D

解析：解：延长FE交AB于

设力D-x,CF=y,

•••AE平分NB4C,

Z.DAE=Z.CAE,

•・.FD//AC,

•••Z-AED=Z.CAE,

・•.Z.DAE=Z.AED,

DE=AD=x,

同理得：EF=CF=y.

RtLABC^,由勾股定理得：AC=5,

•・•DF//AC,

•••△BDF^ABAC,

.BD_BF_DF

••AB~BC~ACf

.3-x_4-y_x+y

••3-4・5，

3

.・.x=-y,20—5y=4%+4y,

5

•••y=-,

,3

.・.ELFL=5

3

故选：D.

作辅助线，设CF=y,证明△BDfsAB",列比例式器=整=器，可得方程组，解出即

可.

本题主要考查相似三角形的判定与性质、角平分线定义和平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义

和相似三角形的判定与性质是解题的关键.

9.答案：(|,—§)

解析：解：「y=2(x-3)(x+2)=2(x2-x-6)=2[(%-1)2-~]=2(x-1)2-y,

••・抛物线y=2(x-3)(x+2)的顶点坐标是G，-孑)；

故答案为：G,一§)•

先把抛物线y=2(%-3)(%+2)化成顶点式，再根据抛物线y=a(x-h)2+k的顶点坐标为(%,k),

写出顶点坐标即可.

本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线y=a(x-h)2+k的顶点坐标为(九次).

10.答案:6

解析：解：如图，过点。作。E148于点E,0F1C。于点尸，则E、0、尸三点共线,

•・・作业纸中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等,

.AB_0A_0E

,,CD-0DOF'

Rn42

CD3

CD=6cm.

故答案为：6.

过点。作。ElAB于点E,OF1CD于点凡则及0、/三点共线，根据平行线分线段成比例可得

普=黑=黑，代入计算即可解答.

本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键.

11.答案：|x(x-l)=21

解析:

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关

系.赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，尤个球队比赛总场数为与艾，即可列方程.

解：设有尤个队，每个队都要赛(X-1)场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：

lx(x-1)=21,

故答案为1x(x—1)=21.

12.答案：28。或44。

解析：

本题考查了旋转的性质、等边对等角的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的

性质，难点在于要分情况讨论.

根据旋转的性质可得4C=CD,根据等腰三角形的两底角相等求出N2DF=^DAC,再表示出

根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出乙4FD,然后分①N4DF=ADAF,

@/-ADF=^AFD,@/.DAF=NAFD三种情况讨论求解.

解：•・•△48c绕C点逆时针方向旋转得到4DEC,

AC=CD,

•••Z-ADF=^DAC=^(180°-a),

i

/-DAF=^.DAC-^.BAC=j(180°-a)-24°,

根据三角形的外角性质，^AFD=ABAC+ADCA=24°+a,

△4。尸是等腰三角形，分三种情况讨论，

①=时，|(180°-«)=|(180°-a)-24°,无解，

②乙2。尸=乙49。时，“180。—a)=24。+a,解得a=44。，

③NZMF=〃FD时,“180。—a)—24。=24。+a,解得a=28。，

综上所述，旋转角a度数为28。或44。.

故答案为：28。或44。.

13.答案：|

解析：解：连接。C,如图所示：

•••4B是。。的直径，CD14B,

1

CE=-CD=2,乙OEC=90°,

2

设0。=。4=比，贝l|OE=x-l,

根据勾股定理得：CE2+OE2=OC2,

即22+(%—1)2=/,

解得：%=|；

故答案为：|.

连接。C,由垂径定理得出CE=^C。=2,设0C=04=x,则。E=x—1,由勾股定理得出CE?+

。片=。。2,得出方程，解方程即可.

本题考查了垂径定理、勾股定理、解方程；熟练掌握垂径定理，并能进行推理计算是解决问题的关

键.

14.答案:(6,8)或(—6,—8)

解析：

本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似

中心，相似比为左,那么位似图形对应点的坐标的比等于左或―日

根据位似变换的性质计算即可.

解：点P(3,4)是线段42上一点，以原点。为位似中心把AAOB放大到原来的两倍，

则点P的对应点的坐标为(3X2,4X2)或(3X(-2),4X(一2)),即(6,8)或(一6,-8),

故答案为：(6,8)或(—6,—8).

15.答案：4

解析：

本题主要考查菱形的性质及反比例函数的比例系数%的几何意义.反比例函数图象上的点与原点所

连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=[|k].

连接AC交。8于，由菱形的性质可知AC108根据反比例函数丫=:中左的几何意义，得出△4。。

的面积=1,从而求出菱形OABC的面积=△4。。的面积的4倍.

解：连接AC交02于D

•.•四边形0A8C是菱形，

AC10B.

,点A在反比例函数y=|的图象上，

••.A2。。的面积=|x2=1,

二菱形OABC的面积=4XA4。。的面积=4.

16.答案：y

解析：解：由题意可得，

y——x2+7x—6

{y=^x-2

解得［二评票

•・•点P为直线8c上方的抛物线上的一动点，设点P的坐标为(a,—a?+7a—6),

2

<a<6,

3

•••PQ1x轴交BC于点PG1BC于点G,点M为线段尸。的中点，直线BC的解析式为y

•・•点。的坐标为(a,|a-2),GM=^PQ,

PQ=—a2+7a—6—(|a—2)=-a2+学—4=—(a—y)2+日，

2

v-<a<6,

3

.•.当a=g时，P。取得最大值，此时PQ=g,

•••GM的最大值是青

故答案为：学

根据题意可以求得尸点的横坐标的取值范围，可以用代数式表示出尸。的长度，然后求出PQ的最大

值，即可求得GM的最大值，本题得以解决.

本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明

确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答.

17.答案：解：(I)%2+4%-1=0

(x+2)2=5,

则x+2=±V5,

解得：=-2+V5>x2—2—V5；

(2)(%-2/-3x(x-2)=0

(x—2)Q—2—3x)=0,

解得：=2,x2=-1.

解析：此题主要考查了因式分解法解方程，正确分解因式是解题关键.

(1)直接利用配方法将原方程变形进而得出答案；

(2)直接利用提取公因式法分解因式进而得出答案.

18.答案：解：(1)则AaBiC为所求作的图形.

(2)-：AC=7AB2+BC2=V22+32=V13,^ACA1=90°,

・••在旋转过程中，CA所扫过的面积为：

_90TT(V13)2_137r

扇形CAA\—360—4.

解析：(1)根据要求画出图形即可.

(2)利用扇形的面积公式计算即可.

本题考查旋转变换，扇形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

19.答案：解：设该超市2015年前4个月营业额的月增长率为尤，

由题意，得10000(1+久)2=12100,

解得尤=0.1,或％=—2.1(舍去)，

则12100X(1+10%)=13310(%).

答：该超市2015年4月份的营业额为13310元.

解析:设该超市2015年前4个月营业额的月增长率为尤,根据3月份的销售额=1月份的销售额x(1+

增长率尸，列出关于x的一元二次方程，解方程即可求出x的值，再根据4月份的销售额=3月份的

销售额x(1+增长率)即可得出结论.

本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据数量关系列出关于x的一元二次方程.本题属

于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程(或方程组)是关键.

20.答案：解：(1)、•原方程有两个实数根，

(-2)2-4(m一1)>0,

整理得：4-4m+4>0,

解得：m<2；

(2)•.,久1+%2=2,-X2=m-1,+%2=6%1久2，

2

(%1+%2)—2久1•%2=6久1•%2，

即4=8(m—1),

解得:m=|.

•••m=-3<c2,

2

符合条件的m的值为|.

解析：本题考查了根与系数的关系以及根的判别式有关知识.

(1)根据一元二次方程%2-2%+771-1=0有两个实数根，可得△之0,据此求出机的取值范围；

(2)根据根与系数的关系求出％1+%2,•%2的值，代入好+好=6%1%2求解即可.

21.答案：(1)1?：-DE//BC,

AD_AE

,,—，

ABAC

又泊2,"，

.3_1

・•AC-3，

解得4C=9,

：.EC=AC-AE=9-3=6；

(2)证明：■■■DE//BC,EF//CG,

.AD_AE_AF

"AB~AC14G'

•••AD-AG=AF-AB.

解析：本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的

关键.

⑴由平行可得苦=祭，可求得AC,且EC=4C—HE,可求得EC；

(2)由平行可知喘=笠=笠，可得出结论.

/\,DAC»yiCi

22.答案：解：(1)将C(—4,3b)代入y=+b得

3b=—1X(—4)+b,

••・b=1,

二一次函数的解析式为y=-|x+1；

4,3),代入y==-12,

・♦•反比例函数的解析式为y=-工

'%i=—46

(2)联立%2=

.71=3?2=-2'

••・。(6,—2)

令y=—+1中，y=0得4(2,0),

S〉COD=S&AOC+S^AOD

=—X2X34—x2X2

22

=3+2=5.

解析：本题考查了待定系数法求函数的解析式及三角形面积的计算，求得c,A,。的坐标是关键.

(1)把C的坐标代入一次函数解析式则得到C的坐标，进而可求得一次函数及反比例函数的解析式;

(2)首先联立方程组求得D的坐标和A坐标，然后根据SMOD=S4Aoe+SM。。求解即可.

23.答案：(1)证明：连接C。、EO、BC,

•••BD是。。的切线，

AABD=90°,

•••4B是直径，

ABCA=乙BCD=90°,

；RtABCD中,E是8。的中点，

•••CE—BE—ED,

•・•OC=OB,OE=OE,

贝三△ECO(SSS),

・•・乙ECO=LEBO=90°,

・・•点。在圆上，

•・.CE是。。的切线；

(2)解：解法一：Rt^ACF^,■：AC=5,CF=3,

AF=4,

设圆。的半径为r,则。F=4-r,

由勾股定理得：。?2+。产=。。2,

即3?+(4—r)2=产，r=—；

8

解法二：RtAACF^,■：AC=5,CF=3,

AF=4,

设BF=x,

由勾股定理得：BC2=x2+32,

BC2+AC2=AB2,

x2+32+52=(x+4)2,

9

x=?

则r=[XG+4)=g,

则。。的半径为

o

解析：(1)证明AEB。三△ECO(SSS),得NEC。=NEB。=90。，所以CE是。。的切线；

(2)解法一：设圆。的半径为r,则0F=4-r,根据勾股定理列方程可得结论；

222222

解法二:设BF=久，根据勾股定理得:BC?=7+3,BC+AC=叱，得j+3+5=(x+4),

解出可得结论.

本题考查了切线的判定、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、三角形全等的性

质和判定等知识；熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解决问题的关键.

24.答案:解：(1)设丫=依+。

将(50,100)、(60,80)代入，得：SiA=in°)

ibU%十。=oU

解得：及=益，

3=200

y=-2x+200(40<x<80)；

(2)14/=(x-40)(-2x+200)

=-2x2+280%—8000

=-2(X-70)2+1800,

.・.当％=70时，W取得最大值为1800,

答：W与x之间的函数表达式为勿=-2/+280%-8000,售价为70元时获得最大利润，最大利

润是1800兀.

解析：(1)待定系数法求解可得；

(2)根据“总利润=每千克利润x销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况.

本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质.

25.答案:(1)证明:①如图1中,

图1

・

••^BAC=60°,BA=BAr,

・•.△是等边三角形，

•••/LAA1B=60°,

Z-A^BD^=60°,

・・

•Z.AArB=乙4/。1，

・

•.AC//BDlf

AC=BD],

四边形ABQC是平行四边形.

②如图2中，连接

图2

由矩形性质知,

Z-ArAB=Z-A1BD1,AC=BD1

由旋转知48=4B

・••Z-ArAB=z.AArB

・•・Z,A1BD1=Z-AArB

AC//BD1

・•・四边形ZBDiC是平行四边形

・•.OC=OB

在△DC。和△AB。中，

CD=AB

2DCO=Z.ABO=903

OC=OB

/.△DCO三△ABO(S/S),

DO=OA；

(2)如图3中，作AiEl/8于石，ArF1BC^F.

图3

在RtAA/C中，“AB=90。，BC=5,AB=3,

CAX=7s2-32=4.

11

9

BF=J//2_//2=

5

Z-ArFB=Z-ArEB=Z.EBF=90°,

••・四边形&EBF是矩形，

129

・・・EB=ArF=y,A1E=BF

123

：.AE=3-—

55’

在RtAA&E中，4&=］吟)2+(|)2=等.

解析：本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四

边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造

直角三角形解决问题.

(1)①首先证明是等边三角形，可得N441B=N&BDi=60。，即可解决问题.

②首先证明四边形48。也是平行四边形，得到。C=OB,再证明△OCDwxOBAMAS),推出。。=OA,

即可解决问题.

(2)作AiE14B于E,4iF1BC于尸.求出AE,再利用勾股定理即可解决问题.

26.答案：解：⑴由矩形性质可知，。力=BC=|,点4(0,1

二次函数丫=aM+》％+的图象经过A,8(2,鼻)，£(-1,0),

■伊

••A-=4a+2Z)+c,

(0=a—b+c

解得：\b=1，