2021-2022学年河北省石家庄市十五中高一下学期6月第三次月考数学试题解析版

2021-2022学年河北省石家庄市十五中高一下学期6月第三次月考数学试题一、单选题1．已知，则（

）A． B．13 C． D．【答案】A【分析】求得，由模的性质可得结果.【详解】依题意得，所以.故选：A.2．设平面向量，，若，则（

）A．1 B．2 C．-1 D．3【答案】C【分析】由可得结果.【详解】由得，解得.故选：C.3．下列抽取样本的方式是简单随机抽样的是（

）A．从无限多个个体中抽取100个个体作为样本B．盒子里共有80个零件，采用抽签法从中选出5个零件作为样本C．从20件玩具中一次性抽取4件形成样本D．从10个球（2个红球､8个白球）中依次取出2个红球【答案】B【分析】根据简单随机抽样的概念直接判断即可.【详解】简单随机抽样的总体个数是有限的，故A错误；简单随机抽样是从总体中逐个抽取，故C错误；简单随机抽样每次抽取时必须保证每个个体被抽到的概率相等，D选项中只抽取红球，个体被抽到的概率不相等，故D错误；根据简单随机抽样的概念可知B正确.故选：B4．给出下列四个命题：①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；②若直线平面，平面，则；③若平面外两点到平面的距离相等，则过两点的直线必平行于该平面；④异面直线a，b不垂直，则过a的任平面与b都不垂直．其中正确命题是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．③④【答案】C【分析】根据正棱柱的特征，可判断①的正误；由面面垂直的判定定理判断②的正误；找出反例否定③；由反证法判定④.【详解】①各侧面都是正方形的棱柱的底面边长都相等，但不一定是正多边形，故①错误；②由面面垂直的判定定理知：若直线平面，平面，则，故②正确；③若平面外两点到平面的距离相等，则过两点的直线必平行于该平面，如果两点在平面的两侧，则不成立，故③错误；④假设存在过的平面与垂直，则可知，所以假设不成立，故④正确.故选：C.5．一组数据中的每一个数据都乘以3，再减去50，得到一组新数据，若求得新的数据的平均数是1.6，方差是3.6，则原来数据的平均数和方差分别是（

）A．17.2，3.6 B．54.8，3.6 C．17.2，0.4 D．54.8，0.4【答案】C【解析】根据均值和方差的公式计算可结果.【详解】设一组数据为，平均数为，方差为，所得一组新数据为，平均数为，方差为，则，，所以，所以，所以，由题意得，所以，所以所以，所以，所以.故选：C.【点睛】关键点点睛：熟练掌握几个数据的均值和方差公式是解题关键.6．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则角A的大小为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正弦定理结合化简可得，再结合辅助角公式计算即可【详解】由正弦定理有，又，且，故，即，故，即，又，故，故选：C7．如图所示，平行四边形中，，点F为线段AE的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知可得，，，化简计算即可得出结果.【详解】.故选：C.8．已知三棱锥中，平面，，点E，F分别是线段的中点，直线相交于点G，则过点G的平面与截三棱锥的外接球O所得截面面积的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】可用补形法，补全为正方体，先计算三棱锥的外接球半径，由题意可计算，当截面垂直时，截面面积最小，截面过球心时面积最大.【详解】因为，故，将三棱锥补形成正方体，如图所示，已知三棱锥的外接球球的半径，取的中点，连接必过点，因为，即，所以，因为，所以，则过点的平面截球所得截面圆的最小半径，所以截面面积的最小值为，最大值为,故选：D.二、多选题9．已知i为虚数单位，下列说法正确的是（

）A．若复数，则B．若复数z满足，则复平面内z对应的点Z在一条直线上C．若是纯虚数，则实数D．复数的虚部为【答案】AB【分析】根据复数的运算直接计算可知A；由复数的模的公式化简可判断B；根据纯虚数的概念列方程直接求解可知C；由虚部概念可判断D.【详解】对于A：因为，所以，故A正确；对于B：设，代入，得，整理得，即点Z在直线上，故B正确；对于C：是纯虚数，则，即，故C错误；对于D：复数的虚部为，故D错误.故选：AB.10．下列命题中是真命题的有（

）A．一组数据2，1，4，3，5，3的平均数、众数、中位数相同；B．有A、B、C三种个体按3：1：2的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30；C．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲；D．一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的80%分位数为4.5．【答案】AD【分析】对于A，直接求出平均数，众数和中位数即可判断；对于B，利用分层抽样直接求样本容量即可判断；对于C，计算出乙组数据的方差为4.4，利用方差的意义即可判断；对于D，直接求出该组数据的分位数即可判断．【详解】A：数据的平均数为，众数和中位数都是3，故A正确；B：根据样本的抽样比等于各层的抽样比知，样本容量为，故B错误；C：乙组数据的平均数为，乙组数据的方差为，所以这两组数据中较稳定的是乙，故C错误；D：该组数据共10个数，由，则该组数据的分位数为4.5，故D正确．故选：AD11．在中，内角，，所对的边分别为，，.下列各组条件中使得恰有一个解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】BD【分析】根据正弦定理结合三角形自身性质，逐项分析判断即可得解.【详解】对于A，，所以，又，所以，这与矛盾，所以无解；对于B，由正弦定理可得，即，所以只有一解；对于C，由正弦定理可得，又，所以B有两解，即有两解；对于D，由正弦定理可得，又，所以B只有一解，即只有一解.故选：BD12．如图，已知平行四边形中，，，为边的中点，将沿直线翻折成，若为是的中点，则在的翻折过程中，下列命题正确的是（

）A．线段的长为定值B．异面直线与所成角为C．直线与平面所成角为定值D．二面角可以为直二面角【答案】ACD【分析】对于A，取的中点，连接，然后证明四边形为平行四边形即可；对于B，假设异面直线与所成角为，然后进行推理得出矛盾；对于C，由A可知直线与平面平行，所以所成角为定值；对于D，当时，计算为钝角，从而可得答案【详解】解：对于A，取的中点，连接，因为为是的中点，所以∥,，因为为边的中点，所以,因为∥，，所以∥，，所以四边形为平行四边形，所以，因为平行四边形中，，，所以为等边三角形，所以为定值，所以线段的长为定值，所以A正确，对于B，若异面直线与所成角为，则，因为行四边形中，，，所以为等边三角形，是顶角为的等腰三角形，所以，所以，所以，因为，所以平面，因为平面，所以，这与相矛盾，所以B错误，对于C，由A可知，四边形为平行四边形，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面，所以直线与平面所成角为定值，对于D，设，则，因为，所以，取的中点，连接，当向上折时，时，，所以此时，所以是二面角的平面角，因为，，所以，所以为钝角，而当沿直线开始折时，为锐角，所以二面角可以为直二面角，所以D正确，故选：ACD三、填空题13．欧立公式（为虚数单位，为自然底数）是瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥"，若将其中取作就得到了欧拉恒等式，它将两个超越数——自然底数，圆周率，两个单位一虚数单位，自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一0联系起来，数学家评价它是“上帝创造的公式”.由欧拉公式可知，若复数，则__________.【答案】【分析】本题可以根据复数乘法运算，也可以使用复数三角表示处理．【详解】解法一：则；解法二：∵∴故答案为：．14．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则的取值范围是___________.【答案】【分析】根据条件得，结合余弦定理求得，根据同角三角函数值的平方关系可得答案.【详解】由得：，故，当且仅当时取等号，由于,故，则，则，故答案为：15．已知三棱锥中，为中点，平面，，，则下列说法中正确的序号为______.①若为的外心，则；②若为等边三角形，则；③当时，与平面所成角的范围为；④当时，为平面内动点，若平面，则在内的轨迹长度为2.【答案】①③④【分析】对于①，利用外心的性质即可判断；对于②，利用反证法可判断；对于③，过作，连接，易知为与平面所成角，即可判断；对于④，利用面面平行可得轨迹长度.【详解】如图①，若为的外心，连接，则，又平面，故，故①正确；假设，则再根据，得平面，则，与为等边三角形矛盾，故②错误；当时，，，过作，连接，如图①，易知为与平面所成角，，故的范围为，故③正确；如图②，取，分别为，的中点，则平面平面，则线段为在内的轨迹，其长度为2，故①③④正确.故答案为：①③④四、双空题16．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图.由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数的比为，后6组的频数递减5，设最大频率为a，则a的值为___________，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则b的值为___________.【答案】

87【分析】由题意列方程求解【详解】设第1组的频数为，则前4组的频数分别为，后5组的频数为，由题意得，即，解得，故，故答案为：，87五、解答题17．已知复数，其中i为虚数单位．(1)若z是纯虚数，求实数m的值；(2)若，是关于x的实系数方程的一个复数根，求实数a，b的值．【答案】(1)1(2)【分析】（1）根据题意列方程组，即可求出m；（2）判断出和是方程的根，以根与系数的关系即可求解.【详解】(1)因为复数是纯虚数，所以，解得：m=1.(2)当时，.因为是关于x的实系数方程的一个复数根，所以的共轭复数也是实系数方程的根，所以，解得：.18．甲､乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为：甲乙(1)分别计算这两组数据的平均数和标准差；(2)由（1）的计算结果，分析哪台机床的性能更好.【答案】(1)甲：，，乙：，(2)乙机床性能更好【分析】（1）根据平均数和标准差公式直接计算可得；（2）比较两组数据的平均数和标准差可知.【详解】(1)记甲组数据的平均数和标准差分别为，乙组数据的平均数和标准差分别为则(2)由（1）知，所以甲机床生产出的次品数高于乙机床生产出的次品数；又，所以乙机床的性能比甲机床的性能更加稳定.综上，乙机床性能比甲机床稳定，且生产的次品数更低，所以乙机床的性能更好.19．已知，，且，的夹角为.（1）求；（2）若，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求得，进而可得结果；（2）根据共线向量定理可得结果.【详解】（1）由得，又，且，的夹角为，所以，∴.（2）因为，则存在非零实数，使，因为，不共线，所以，解得.20．2021年开始，甘肃省推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科满分100分，由于受疫情影响，多地推迟开学，开展线上教学．为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]，画出频率分布直方图如图所示．(1)求频率分布直方图中a的值；(2)根据频率分布直方图求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；(3)估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）【答案】(1)(2)224(3)225.6【分析】（1）利用所有小长方形的面积和为1可得答案；（2）设中位数为，由可得答案；（3）利用每个小长方形的高乘以底边区间中点值乘以组距再求和可得答案.【详解】(1)由，得.(2)因为，，所以中位数在，设中位数为，所以，解得，所以物理、化学、生物三科总分成绩的中位数为.(3)这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数为.21．请从下面的三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.①；②的面积为；③.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若___________.(1)求角C；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由三角恒等变换公式、正余弦定理化简求解（2）由正弦定理转换为三角函数求解【详解】(1)选①，，得得，而C为三角形内角，故，选②，，由正弦定理化简得，得，而C为三角形内角，故，选③，由，即，得，而C为三角形内角，故，(2)由（1）知，故，故，而，故，，，22．如图，在直三棱柱中，M为棱的中点，，，.(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)存在，.【分析】（1）连接与，两线交于点，连接，利用三角形中位线性质得到，再利用线面平行的判定即可证.（2）应用线面垂直的性质、判定可得平面，从而得到，根据和