初高中数学衔接教材18讲配答案(黄冈版)

初高中数学衔接教材

编者的话

现有初高中数学教材存在以下“脱节”：

1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用；

2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用；

3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的

涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用

到它，如解方程、不等式等；

4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函

数、不等式常用的解题技巧；

5初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。而高中则是贯穿整个数学教材

的始终的重要内容；配方、作简图、求值域（取值范围）、解二次不等式、判断单调区间、求

最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法；

6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不

作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的

相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节；

7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，则作为必备的基本

知识要领；

8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专题

内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一；

9、几何中很多概念（如三角形的五心：重心、内心、外心、垂心、旁心）和定理（平行

线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除，

大都没有去学习；

10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。高中则在使用。

另外，象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化,

甚至老师根本没有去延伸发掘，不利于高中数学的学习。

新的课程改革，难免会导致很多知识的脱节和漏洞。本书当然也没有详尽列举出来。我

们会不断的研究新课程及具体系。将不遗余力地找到新的初高中数学教材体系中存在的不足,

加以补充和完善。

欢迎广大读者提出宝贵意见，我们将不胜感激！

目录

第一章数与式

1.1数与式的运算

1.1.1绝对值

1.1.2乘法公式

1.1.3二次根式

1.1.4分式

1.2分解因式

第二章二次方程与二次不等式

2.1一元二次方程

2.1.1根的判别式

2.1.2根与系数的关系

2.2二次函数

2.2.1二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质

2.2.2二次函数的三种表达方式

2.2.3二次函数的应用

2.3方程与不等式

2.3.1二元二次方程组的解法

第三章相似形、三角形、圆

3.1相似形

3.1.1平行线分线段成比例定理

3.1.2相似三角形形的性质与判定

3.2三角形

3.2.1三角形的五心

3.2.2解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用

3.3圆

3.3.1直线与圆、圆与圆的位置关系：圆基定理

3.3.2点的轨迹

3.3.3四点共圆的性质与判定

3.3.4直线和圆的方程（选学）

1.1数与式的运算

1.1.1,绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对

值仍是零.即

a,a>Oy

0,a=0,

-a,a<0.

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离.

两个数的差的绝对值的几何意义：-4表示在数轴上，数。和数b之间的距离.

例1解不等式：|x-l|+|x-3|>4.

解法一：由x—1=0,得x=l；由x-3=0,得x=3；

①若xvl,不等式可变为-(x-1)-*一3)>4,

即一2x+4>4,解得xVO,

又冗VI,

：.x<0；

②若lKx<2,不等式可变为"-1)-(工-3)>4,

即1>4,

・・・不存在满足条件的心

③若XN3,不等式可变为。-1)+。一3)>4,

即2X一4>4,解得x>4.

又应3,

：.x>4.

综上所述，原不等式的解为

x<0,或x>4.

解法二：如图1.1—1,卜-1|表示x轴上坐标为x的点尸到坐标为1的点A之间的距离

|B4|,BP|M|=|x-l|；仇一3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|尸郎即甲用=以一

31.

所以，不等式卜-1|+卜-3|>4的几何意义即为“人।、

陷|+|P用>4.ff?

由|A8|=2,可知x0134x

v

点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点。(坐标一丫一'

为4)的右侧.L”

x<0,或x>4.图1.1—1

习

填空:

(1)若W=5,则尸；若凶=|一4|,则4.

(2)如果时+网=5,且a=—l,则b=；若|l-d=2,则。=.

2.选择题：

下列叙述正确的是

(A)若|同=例，则。=力(B)若同〉网，则

(C)若avb,则14VMi(D)若同=网,则a=±b

化简：|x—5|—|2x—13|(x>5).

1.1.2.乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:

（1）平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；

（2）完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2.

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:

（1）立方和公式(a4-b)(a2-ab+b2)=a3+b3；

（2）立方差公式(a-b){cr+ab+b2)=a3-b3；

（3）三数和平方公式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)；

（4）两数和立方公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；

（5）两数差立方公式(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-护.

对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明.

例1计算：(X+l)(x-l)(x2-X+l)(X2+X+1).

解法一：原式二。2-1)[&2+l)2_f]

=(x2-l)(x4+X2+1)

=x6-l.

解法二：原式二(x+l)(x2-X+l)(x-l)(x2+X+1)

=(x3+l)(x3-l)

=x6-l.

例2已知〃+〃+c=4,ab+bc+ac=41求/+/+(?的值.

解：a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+be+ac)=8.

练习

1.填空：

(1)—a2-—b2=(-b+-a)()；

9423

(2)(4m+)2=16w2+4w+()；

(3)(a+2b-c)2=A2+4Z?2+C2+().

2.选择题：

若炉+_皿+左是一个完全平方式，则％等于

(1)1)

2

(A)nr(B)—tn2(C)-m2(D)—m2

4316

(2)不论a,Z;为何实数，M+加—2。—46+8的值()

(A)总是正数(B)总是负数

（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数

1.1.3.二次根式

一般地，形如正（。之0）的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方

的式子称为无理式,例如3a+Ja2+b+2h,庐万等是无理式，V2x2+—x+1,

2

x2+\[2xy+y2,J?等是有理式.

1.分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化.为了进行分母（子）有理化，需

要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式,

我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如血与血，3&与6+瓜与也-瓜,

2石-3正与26+30,等等.一般地，〃五与4,a4x+b^ya4x-b^y,aG+b与

。五-〃互为有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；

而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运

用公式6赤=疯（〃20的20）；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通

过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括

号与合并同类二次根式.

2.二次根式的意义

"=同=・'

例1将下列式子化为最简二次根式：

(1)卮;(2)扇(心0)；(3)而7a<0).

解：(1)y/12b=2y/3b；

(2)=|a|\fh=a\[h(a>0)：

(3)\j^x6y=2|x3|5/y=-2^y[y(x<0).

例2计算：痒(3-®

解法一：6+(3-6)=士产

3-々3

_"(3+百)

(3-73)(3+73)

_3员3

9—3

_3(73+1)

6

_V3+1

2

解法二：百+（3-百）=速产

73(73-1)

1

V3-1

g+1

(x/3-1)(73+1)

_>/3+1

2

例3试比较下列各组数的大小：

2

(1)Vi2-VnftVTT-Vio；(2)和2&-6.

正+4

厄而_（巫旧）（巫+而）_1

解：(i)vVi2-Vn=

712+VHVii+Vn'

Vn-Vio=亚-M_(而-W)而+1

iVil+VioVFT+Vio，

又疝+而＞VTTT屈,

:./-旧＜旧一回.

2&-底(2夜-G)(2&+«)2

（2）・：2叵一瓜二

12岳戈-2&瓜'

又4>2也，

・,•加+4>黄+2、2,

•*--7=----V25/z~^6.

V6+4

例4化简：(百+血产.(6一&严.

解：(6+后产.(百-夜严

=(0+亚产•(6-应)20tM.(6-贬)

=[(G+&).(6-&)『-(x/3->/2)

=『叫(6-夜)

=&—夜.

例5化简：(1)的-4石；(2)2T—彳—2(0<x<1).

解：(1)原式=J5+4石+4

=7(>/5)2+2x2x75+22

=J(2-府

=|2一词

=45-2.

（2）原式二J（x-L）

V0<x<l,

**•—>1>x,

X

所以，原式

X

例6已知x=^—省,"干+省,求3/一5孙+3)/的值.

V3+V2V3-V2

・.・中=^^+^i^=(6一扬2+(国扬2.

解:

V3+V2V3-V2

V3-V2V3+V2,

所京&'万忑

222

A3JT2-5^+3y=3(x+y)-11xy=3x10-11=289.

练习

I.填空:

1-73_

(1)前一----------；

(2)若J(5二口P=(x—3)J=,则x的取值范围是

(3)45/24-6南+3x/96-25/150=

寸石.....y/x+1—y/x—ly/x+1+y/x—1

(4)若工=二一，则I----7^=4-.-7^==____

25/x+l+Jx—1Jx+1—>Jx—\

2.选择题:

等式成立的条件是()

(A)x^2(B)x>0(C)x>2(D)0<x<2

3.若人J求a+b的值.

a+\

4.比较大小：2—小______小一木（填“>”，或"V”）.

1.1.4.分式

1.分式的意义

AAA

形如一的式子，若8中含有字母，且8工0,则称一为分式.当A#0时，分式一具有下列性质:

BBB

AAxM

'BBxM'

AA^M

万一B・M•

上述性质被称为分式的基本性质.

2.繁分式

像后‘当詈这样,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式・

n+p

例1若簧T03'求常数AB的值.

..ABA(x+2)+Bx(A+B)x+2A5x+4

・—i-------=-----------------=-----------------=----------

xx+2x(x+2)x(x+2)x(x+2)

.A+8=5,

••«

2A=4,

解得A=2,5=3.

例2(1)试证：-^—=----(其中〃是正整数);

n(7?+l)nn+\

111

(2)计算:-----1-----,4------

1x22x39x10

111

(3)证明：对任意大于1的正整数〃,有++•••+---------<一•

2^33x4〃(〃+1)2

..11+1

(1)证明:•—―==，

n〃+1n(n+l)/?(/?+1)

--——(其中〃是正整数)成立.

〃(〃+1)n〃+1

(2)解：由(1)可知

111

----+•+-----

1x22x39x10

1

证明：V—+—+•«•+

2x33x4〃(〃+1)

11

2~~n+l

又论2,且〃是正整数,

，击一定为正数，

111

----+----+•••+-------

2x33x4〃(〃+1)

例3设e=£,且e>l,2^-5^+2d2=0,求e的值.

a

解：在2c5ac、+2a2=0两边同除以，，得

2e2—5e+2=0,

(2e—l)(e—2)=0,

<1,舍去；或e=2.

•・e=2.

练习

1.填空题：

对任意的正整数〃，一5—

〃(〃+2)

2.选择题:

若2z=2,则土=

)

x+y3y

54

(A)1(B)-(C)-(D)1

45

3.正数X,)，满足/一丁二2孙，求的值.

x+y

、-1111

4.计算---1-----1-----h...H-------.

1x22x33x499x100

习题1.1

A组

1.解不等式：

(1)|x-1|>3；(2)|x+3|+|x-2|<7；

(3)|x—1|+|%4-1|>6.

2.已知x+y=l,求d+y3+3.的值.

3.填空：

(1)(2+百尸(2-后9=；

(2)若J(j)2+J(l+a)2=2,则〃的取值范围是；

「、11111

B组

1.填空:

1,131-ab

(1)ci——»b=一,则—：----------

233/+5小26

(2)若孙-2y2=0,则二___________；

k+y-

2.已知：x=—,y=-1求r-^—r~^r~的值.

23*64+4

C组

1.选择题：____________

(1)若y]—ci—b—2.yfcib=y/—b—\J-a，则(

(A)a<b(B)a>b(C)a<b<0(D)b<a<0

（2）计算等于（

(A)\/-a(B)y/a(C)—yJ—Cl(D)—\fu

2.解方程2(fH—7)—3(XH—)—1=0.

X~X

1111

3.计算:---+----1---+-…+

1x32x43x59x11

4.试证：对任意的正整数〃,有--------------1-----------------F…H--------------------------V1

1x2x32x3x4〃(〃+1)(〃+2)4

1.2因式分解

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应

了解求根法及待定系数法.

1.十字相乘法

例1分解因式：

(1)f-3x+2；(2)f+4x-12；

(3)x2-(a+b)xy+aby2；(4)xy-i+x-y.

解：(1)如图1.1-1,将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成一1

与一2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一3x,就是f—3x+2中的一次项，所

以，有

x2—3X+2=(R—l)(x—2).

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1.1—1中的两个x用1

来表示(如图1.1—2所示).

(2)由图1.1-3,得

X2+4X—12=(X—2)(X+6).

(3)由图1.1-4,得

x2-(a+b)xy+aby2=(x-ay)(x-by)

(4)xy-\+x-y=xy-\-(x-y)—1:X二

=(x-l)Cv+l)(如图1.1—5所示).

图

课堂练习1.1-5

一、填空题：

1、把下列各式分解因式：

(1)X2+5X-6=

(2)x~-5x+6=©

(3)x2+5x+6=o

(4)x2-5x-6=o

(5)x2~(a+[)x+a=。

(6)X2-11X+18=o

(7)6x2+7x+2=<>

(8)4m2-12m+9=。

(9)5+7x-6x2=o

(10112x2+xy-6y2=_______________________________________

2>x2-4x+=(x+3)(x+)

3、若X2+4%+6=(1+2*1-4)则々=,b=o

二、选择题：(每小题四个答案中只有一个是正确的)

1、在多项式(1)x2+7x+6(2)x2+4x4-3(3)x2+6x+8(4)x2+7x+l0

(5)f+i5x+44中，有相同因式的是()

A、只有(1)(2)B、只有(3)(4)

C、只有(3)(5)D、(1)和(2)；(3)和(4)；(3)和(5)

2、分解因式々2+8〃6—3362得()

A、(«+H)(a-3)B、(a+\\b)(a-3b)C、(a-\\b)(a-3b)D、(a-11Z?)(«+3/?)

3、(。+»2+8(。+»-20分解因式得()

A、(a+b+10)(4+Z?-2)B、(a+b+5)(a+b-4)

C、(q+Z?+2)(a+Z?-10)D、(〃+Z?+4)(a+Z?-5)

4、若多项式V-3x+a可分解为(冗_51工_办则〃、力的值是()

A、tz=10,b=2B、a=10,b=-2C、a=—10,b=—2D、a=—10,b=2

5、若一+〃a-10=(x+〃)(x+b)其中〃、力为整数，则加的值为()

A、3或9B、±3C、±9D、±3或±9

三、把下列各式分解因式

1、6(2.-，一11(4一2〃)+32、a3-5a2b+6ab2

3、2y2-4y-64、b4-2b2-S

2.提取公因式法

例2分解因式：

(1)a2(h-5)+a(5-h)(2)x3+9+3x2+3x

解：(1).a2(/?-5)+a(5-b)=a(b-5)(a-1)

(2)x3+9+3x2+3x=(x3+3X2)+(3X+9)=X2(X+3)+3(X+3)

=(x+3)(x2+3).

或

V+9+3/+3x=(.r3+3.r24-3.r+l)+8=(.r+l)3+8=(.r+1)3+23

=[(X+1)4-2][(X+1)2-(X+1)X2+22]

—(x+3)(x2+3)

课堂练习：

一、填空题：

1、多项式6/y-2孙2+4；9z中各项的公因式是。

2、wt(x-y)+n(y-x)=(x-y)*。

3、m(x-y)2+心-x)2=(x-y)2•。

4、m(x-y-z)+n[y+z-x)=(x-y-z)9

5、阳(x-y-z)-x+y^-z=(x-y-z)^。

6、-13ab-39a3〃/分解因式得o

7.计算99?+99二

二、判断题：(正确的打上“J”，错误的打上"X”)

1、2a2b-4ab2=2ab(a-b).........................................()

2、am+bin+m=m(a+b)...........................................()

3、-3x3+6x2-15x=-3x(r2+2x-5l................................()

4、xn+x"_,=xn_,(x+l).............................................()

3:公式法

例3分解因式：⑴-/+16⑵(3x+2y)2-(6)，)2

解：(l)-a4+16=42-(tz2)2=(4+6t2i(4-6f2)=(4+«2)(2+67)(2-60

(2)(3x+-(尤一y)2=(3x+2y+x-y)(3x+2y-x+y)=(4x+y)(2x+3y)

课堂练习

一、a2-2ab+b2,a2-b2,^一从的公因式是

二、判断题：(正确的打上“J”，错误的打上"x”)

1、—0.01—(0.1)2=x+0.1X—0.1.....................()

2、9a2-8Z?2=(3a)2-(4Z?)2=(34r+4b)(3a-4/?)........................()

3、25a2-\6b=(5a+4b)(5a-4Z?)......................................()

4、—A2—y2=—(x2—J2)=—(A4-_y)(A->).............................()

5、iz2-(Z?+c)2=(tz+/?+c)(a-b+c)....................................()

五、把下列各式分解

1、-9(rn-nf+(m+n)22、3x2--

3

3、4-x2-4x4-24、X4-2X2+\

4.分组分解法

例4(1)x2-xy+3y-3x(2)2x2+xy-y2-4x+5y-6.

(2)2x2+xy^-y2-4x+5y-6=2x2+(y-4)x-y2+5y-6

=2x2+(y-4)x-(y-2)(y-3)=(2x-y+2)(x4-y-3).

或

2x2-\-xy-y2-4x+5y-6=(2x2+xy-y2)-(4x-5y)-6

=(2x-y)(x+y)-(4x-5y)-6

=(2x-y+2)(x+^-3).

课堂练习：用分组分解法分解多项式(1)x2-y2^a2-b2^2ax+2by

(2)/-4。〃+4/一6a+12Z?+9

5.关于x的二次三项式"2+加d以0加)的因式分解.

若关于x的方程o¥2+Z?x+c=0("0)的两个实数根是为、x2,则二次三项式底+法+或"。)

就可分解为a(x-X)(x-x2).

例5把下列关于”的二次多项式分解因式：

(1)X2+2X-1；(2)x2+4xy-4y2.

解：(1)令d+2x_l=0,则解得玉=_1+立，巧=T一行，

x2+2,x-1—[%-]-1+(-1->/2)J

=(x+l—应)(x+l+也).

(2)令f+4盯-4y2=0,则解得百=(-2+2及)y,玉二(一2-2嬷»,

2

/.x+4^-4y2=[X+2(1-y/2)y][x+2(l-i-y/2)y].

练习

1.选择题：

多项式2/一孙一15)/的一个因式为()

(A)2x-5y(B)x-3y(C)x+3y(D)x-5y

2.分解因式：

(1)f+6x+8；(2)Sa3~h3；

(3)(4)4(x-y+l)+y(y-2x).

习题1.2

1.分解因式：

(1)Y+i；(2)4X4-13X2+9；

(3)b2+c2+2ab+2ac+2bc；(4)3f+5孙-2y2+1+9y一4.

2.在实数范围内因式分解：

(1)x~-5x+3；(2)x"—2>/2x—3；

(3)3r+4-xy-y2；(4)(x~-2x)2—7(x?-2x)+12.

3.AABC三边〃，b,c满足。2+/+。2=。力+bc+ca,试判定zVlBC的形状.

4.分解因式：W+x—(国一a).

5.(尝试题)已知abc=l,a+b+c=2,a2+b2+c2=,求一-—+—-—+—5—的值.

ab+c-1be+a-1ca+b-1

2.1一元二次方程

2.1.1根的判别式

｛情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，

如求方程的根（1）x2+2x-3=0（2）A2+2x+1=0（3）x2+2x+3=01

我们知道，对于一元二次方程以2+bx+c=0（尔0）,用配方法可以将其变形为

b2-4ac

①

4a2

因为存0,所以，4a2>0.于是

（1）当序一4团>0时,方程①的右端是一个正数,因此，原方程有两个不相等的实数根

-b±y/b2-4ac

X|.2=-------------------；

2a

（2）当加一4加=0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根

b

X\=X2=——；

2a

（3）当〃一4wV0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边（冗+2）2一定大于或等于零，因

2a

此，原方程没有实数根.

由此可知，一元二次方程ad+力x+c=0（内0）的根的情况可以由tr—^ac来判定，我们把扶一4比

叫做一元二次方程ad+bx+cuO（存0）的根的判别式，通常用符号“△”来表示.

综上所述，对于一元二次方程”+取+°=0（W0）,有

（1）当A>0时，方程有两个不相等的实数根

-b±\l^-4ac

X1.2=-------------------;

2a

（2）当A=0时，方程有两个相等的实数根

b

X\=X2=——；

2a

（3）当AVO时，方程没有实数根.

例1判定下列关于工的方程的根的情况（其中。为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根.

（1）W-3x+3=0；（2）/一w一1=0；

（3）—1）=0;（4）2A十a=0.

解：⑴•・・A=32-4xlx3=-3V0,・••方程没有实数根.

（2）该方程的根的判别式四=判一4x1x（-1）=02+4>0,所以方程一定有两个不等的实数根

_a+da2+4_a-y/a2+4

（3）由于该方程的根的判别式为

△=4—4x1x（。-1）=/—4a+4=（a—2）2,

所以，

①当。=2时，A=0,所以方程有两个相等的实数根

X|=X2=1；

②当时2时，A>0,所以方程有两个不相等的实数根

X|=1,X2=Cl-1.

（3）由于该方程的根的判别式为

A=22—4xlxa=4—4a=4（l—a）,

所以

①当A〉。，即4（1一〃）>0,即时，方程有两个不相等的实数根

%）=1+J1—a，X2=1——ci：

②当A=0,即。=1时，方程有两个相等的实数根

-V1=X2=1；

③当AVO,即时，方程没有实数根.

说明：在第3,4小题中，方程的根的判别式的符号随着。的取值的变化而变化，于是，在解题过程

中，需要对。的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论.分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非

常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题.

2.1.2根与系数的关系（韦达定理）

若一元二次方程g?+bx+c=O有两个实数根

-b+yjb1-4ac-b-\/b2-4ac

x.=----------------------,Xj=-----------------------,

2ar2a

则有________________

-b+yjb2-4ac-b-y/b2-4ac-2bb

X.+X-j=-----------------------1-----------------------=-------=—;

2a2a2aa

-b+yjb2-4ac-b-\lb2-4acb2-（b2-4ac）4acc

x.x=----------------------------------------------=------------：--------=—.

72a2a4。~4a~a

所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

bc

如果。/+力木+。=0（＜#0）的两根分别是X1，X2，那么Xl+x2=----，X-X2=—.这一关系也被称为

aa

韦达定理.

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程f+px+q=O,若乃，12是其两根，由韦达定理可知

X]+12=-p,X[32=q,

即〃=—（»+工2），q=X\-X2^

所以，方程f+px+q=O可化为x2—（xi+x2）x+x「X2=0,由于汨，及是一元二次方程f+px+4=0

的两根，所以，Xl，X2也是一元二次方程/一（即+12）^+乐工2=0.因此有

以两个数不，X2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是

X2—（X14-X2）X4-X1«X2=O.

例2已知方程512+6-6=0的一个根是2,求它的另一个根及攵的值.

分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出女的值，再由方程解出另一个根.但

由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理米解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数

和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出2的值.

解法一：・・,2是方程的一个根，

.\5X22+AX2-6=0,

:・k=-7.

-3

所以，方程就为—7x—6=0,解得加=2,x2=--.

3

所以，方程的另一个根为一《，&的值为一7.

解法二：设方程的另一个根为汨，则2xi=-\,・・・.=一|.

3k

由（一一）4-2=——,得&=一7.

55

3

所以，方程的另一个根为一,，2的值为-7.

例3已知关于x的方程『+2(〃?-2就+加2+4=0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两

个根的积大21,求〃?的值.

分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解

得m的值.但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零.

解：设制，忿是方程的两根，由韦达定理，得

即+%2=-2(机—2),Ai-X2=/n2+4.

VX|2+^22~XVX2=2\»

(X1+%2)2—3XVX2=2\,

即-2)]2-3(/n2+4)=2l,

化简，得m2—16加-17=0,

解得m=-l,或m=17.

当〃?=—1时，方程为『+&+5=0,A>0,满足题意：

当机=17时，方程为r+30入+293=0,A=302-4xlx293<0,不合题意，舍去.

综上，加=17.

说明：(1)在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由

“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出”的值，取满足条件的〃?的值即可.

(1)在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式△是否大于或大于

零.因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根.

例4已知两个数的和为4,积为一12,求这两个数.

分析：我们可以设出这两个数分别为x,y,利用二元方程求解出这两个数.也可以利用韦达定理转化

出一元二次方程来求解.

解法一：设这两个数分别是x,y,

则x+y=4,©

xy=~l2.②

由①，得y=4—x,

代入②，得

x(4—x)=-12,

即/一叙一12=0,

*.x\=­2fX2=6.

.%=_2,f^=6,

・・〈或〈

-K=6,=-2.

因此，这两个数是一2和6.

解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程

?-4x-12=0

的两个根.

解这个方程，得

xi=-2,X2=6.

所以，这两个数是一2和6.

说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二(直接利用韦达定理来解题)要比解法一简捷.

例5若X,和X2分别是一元二次方程2^+5^-3=0的两根.

(1)求|的一刈的值;

(2)求一-H的值；

不X2

(3)X13+X23.

解：・・・为和M分别是一元二次方程2^+5^-3=0的两根,

,