2024-2025学年高中数学第一章常用逻辑用语测评含解析新人教A版选修1-11

PAGE1-第一章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知命题p:∀x>0,x+2,那么命题p为()A.∀x>0,x+<2 B.∀x≤0,x+<2C.∃x0>0,x0+<2 D.∃x0≤0,x0+<2答案C2.命题“若x<0,则ln(x+1)<0”的否命题是()A.若x≥0,则ln(x+1)<0B.若x<0,则ln(x+1)≥0C.若x≥0,则ln(x+1)≥0D.若ln(x+1)≥0,则x≥0答案C3.已知命题p:若(a-b)3b2>0,则a>b,则在命题p的逆命题、否命题和逆否命题中,假命题的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3解析原命题p为真,故其逆否命题为真;p的逆命题为假,故其否命题也为假,因此假命题个数为2.答案C4.(原创题)命题“∀x>0,>0”的否定是()A.∃x0<0,0 B.∃x0>0,0<x0≤1C.∀x>0,0 D.∀x<0,0<x≤1答案B5.对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析若a+b=0,则a=-b,所以a∥b.若a∥b,则a+b=0不肯定成立,所以“a+b=0”是“a∥b”的充分不必要条件.故选A.答案A6.已知命题p:函数y=loga(x-1)+1的图象恒过定点(2,2);命题q:若函数y=f(x-1)为偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,则下列命题为真命题的是()A.p∨q B.p∨(q)C.p∧q D.p∧q解析函数y=loga(x-1)+1的图象可看作把y=logax的图象先向右平移1个单位,再向上平移1个单位得到,而y=logax的图象恒过(1,0),所以函数y=loga(x-1)+1恒过(2,1)点,所以命题p假,则p真;函数f(x-1)为偶函数,则其对称轴为x=0,而函数f(x)的图象是把y=f(x-1)向左平移了1个单位,所以f(x)的图象关于直线x=-1对称,所以命题q假,则命题q真.综上可知,四个选项只有命题p∨(q)为真命题.故选B.答案B7.下列说法错误的是()A.“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件B.命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”C.若命题p:∃x0∈R,使得+x0+1<0,则p:∀x∈R,均有x2+x+1≥0D.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题解析对于A,x2-3x+2=0的解为x=1或x=2,所以“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件,A正确;对于B,命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”,B正确;对于C,特称命题的否定为全称命题,C正确;对于D,若p∧q为假命题,则p,q中至少有一个为假命题,D错误.故选D.答案D8.已知命题p:存在x∈(1,2)使得ex-a>0,若p是真命题,则实数a的取值范围为()A.(-∞,e) B.(-∞,e]C.(e2,+∞) D.[e2,+∞)解析因为p是真命题,所以p为假命题,所以∀x∈(1,2),有ex-a≤0,即a≥ex,又y=ex在(1,2)上的最大值为e2,所以a≥e2.答案D9.已知p:∃x0∈R,m+1≤0,q:∀x∈R,x2+mx+1>0,若p∨q为假命题,则实数m的取值范围为()A.{m|m≥2} B.{m|m≤-2}C.{m|m≤-2,或m≥2} D.{m|-2≤m≤2}解析由p:∃x0∈R,m+1≤0,可得m<0,由q:∀x∈R,x2+mx+1>0,可得Δ=m2-4<0,解得-2<m<2,因为p∨q为假命题,所以p与q都是假命题,若p是假命题,则有m≥0;若q是假命题,则有m≤-2或m≥2,故符合条件的实数m的取值范围为m≥2.答案A10.已知p:函数f(x)=(x-a)2在(-∞,1)上是减函数,q:∀x>0,a恒成立,则p是q的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析由p:函数f(x)=(x-a)2在(-∞,1)上是减函数,得a≥1.所以p:a<1;由q:∀x>0,a恒成立,得a≤2,所以p是q的充分不必要条件.答案A11.(原创题)已知函数f(x)=,设命题p:∀a∈R,函数f(x)的值域不行能是(0,+∞);命题q:∃a∈R,使函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-2].那么下列命题为真命题的是()A.p∧q B.p∨(q)C.(p)∧q D.(p)∧(q)解析当a=0时,f(x)=的值域为(0,+∞),故命题p为假命题;要使函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-2],只需y=ax2+2x-1的单调递减区间是(-∞,-2],这时只要满意解得a=,因此命题q为真命题,故(p)∧q为真.答案C12.(改编题)若“x>1”是“不等式2x>a-x成立”的必要不充分条件,则实数a的取值范围是()A.a>3 B.a<3 C.a>4 D.a<4解析若2x>a-x,则2x+x>a,设f(x)=2x+x,该函数为增函数.由题知2x+x>a成立,即f(x)>a成立能得到x>1,并且反之不成立.因为x>1时,f(x)>3,所以a>3.答案A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.命题“∃x0∈R,sinx0+2>cosx0”的否定为.

答案∀x∈R,sinx+2x2≤cosx14.已知命题p:若a,b∈R,则ab=0是a=0的充分条件,命题q:函数y=的定义域是[3,+∞),则“p∨q”“p∧q”“p”中是真命题的为.

解析依题意知p假,q真,所以“p∨q”,“p”是真命题.答案p∨q,p15.(原创题)函数f(x)=有且只有一个零点的充分必要条件是.

解析当x>0时,x=1是函数的一个零点,要使函数有且只有一个零点,应使函数f(x)在(-∞,0]上没有零点,即-2x+a=0无解,而当x≤0时,0<2x≤1,所以实数a应满意a≤0或a>1.答案a≤0或a>116.下列四个命题:①“∃x0∈R,-x0+1≤0”的否定;②“若x2+x-6≥0,则x>2”的否命题;③在△ABC中,“A>30°”是“sinA>的充分不必要条件;④“函数f(x)=tan(x+φ)为奇函数”的充要条件是“φ=kπ(k∈Z)”.其中真命题的序号是.

解析对于①,因为x2-x+1=x-2+>0,所以命题“∃x0∈R,-x0+1≤0”为假命题,所以命题“∃x0∈R,-x0+1≤0”的否定为真命题;对于②,由x2+x-6=(x+3)(x-2)≥0,解得x≥2或x≤-3,即命题“若x2+x-6≥0,则x>2”的逆命题为真命题,所以其否命题为真命题;对于③,例如A=160°,此时sinA<sin150°=,所以充分性不成立,反之,若sinA>且0°<A<180°,依据三角函数的性质,可得A>30°,即必要性成立,所以在△ABC中,“A>30°”是“sinA>的充分不必要条件是假命题;对于④,由函数f(x)=tan(x+φ)为奇函数可得φ=kπ或φ=+kπ(k∈Z),所以该命题为假命题.故答案为①②.答案①②三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)写出下列命题的逆命题、否命题以及逆否命题:(1)若α-β=,则sinα=cosβ;(2)已知a,b,c,d为实数,若a≠b,c≠d,则a+c≠b+d.解(1)逆命题:若sinα=cosβ,则α-β=;否命题:若α-,则sinα≠cosβ;逆否命题:若sinα≠cosβ,则α-(2)逆命题:已知a,b,c,d为实数,若a+c≠b+d,则a≠b,c≠d;否命题:已知a,b,c,d为实数,若a=b或c=d,则a+c=b+d;逆否命题:已知a,b,c,d为实数,若a+c=b+d,则a=b或c=d.18.(本小题满分12分)已知命题p:∃x0∈R,使得4+(a-2)x0+0,命题q:a2-7a+10≤0,若命题p为假,命题q为真,求a的取值范围.解因为命题p为假,所以其否定:∀x∈R,4x2+(a-2)x+>0恒成立为真,则Δ=(a-2)2-4×4=a2-4a<0,所以0<a<4,又由命题q为真得2≤a≤5,所以a∈[2,4).19.(本小题满分12分)已知命题:“∃x0∈(-1,1),使等式-x0-m=0成立”是真命题.(1)求实数m的取值集合M;(2)设不等式(x-a)(x+a-2)<0的解集为N,若x∈N是x∈M的必要条件,求a的取值范围.解(1)由题意知,方程x2-x-m=0在(-1,1)上有解,即m的取值范围为函数y=x2-x在(-1,1)上的值域,易得M=(2)因为x∈N是x∈M的必要条件,所以M⊆N.当a=1时,解集N为空集,不满意题意;当a>1时,a>2-a,此时集合N={x|2-a<x<a},则解得a>;当a<1时,a<2-a,此时集合N={x|a<x<2-a},则解得a<-综上,aa>,或a<-.20.(本小题满分12分)已知曲线C:x2+y2+Gx+Ey+F=0(G2+E2-4F>0),求曲线C在x轴上所截线段长度为1的充要条件,并证明.解所求的充要条件是G2-4F=1.(1)必要性:令y=0,则x2+Gx+F=0.设x1,x2为此方程的根,若|x1-x2|==1,则G2-4F=1.(2)充分性:若G2-4F=1,x2+Gx+F=0有两根为x1,x2,且x1+x2=-G,x1·x2=F,|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1·x2=G2-4F=1.21.(本小题满分12分)已知p:>2,q:x2-ax+5>0.(1)若p为真,求x的取值范围;(2)若q是p的充分不必要条件,求实数a的取值范围.解(1)因为p为真,所以>2,所以<0,所以(x-2)(x-5)<0,解得2<x<5,即x的取值范围是(2,5);(2)因为q是p的充分不必要条件,所以p是q的充分不必要条件,所以p对应的x取值集合是q对应的x取值集合的真子集,即对随意x∈(2,5),x2-ax+5>0恒成立,所以对随意x∈(2,5),a<x+,即a<x+min,x∈(2,5),又因为x+2=2,当且仅当x=时,等号成立,所以a∈(-∞,2).22.(本小题满分12分)已知m∈R,命题p:对∀x∈[0,8],不等式lo(x+1)≥m2-3m恒成立;命题q:对∀x∈(-∞,-1),不等式2x2+x>2+mx恒成立.(1)若命题p为真命题,求实数m的取值范围;(2)若p∧q为假,p∨q为真,求实数m的取值范围.解(1)令f(x)=lo(x+1),则f(x)在(-1,+∞)上为减函数,因为x∈[0,8],所以当x=8时,f(x)min=f(8)=-2,不等式lo(x+