高中数学1课时作业12

课时作业(十二)

A级基础达标

1.用长度为24(单位：米)的材料围成一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积

最大，则隔墙的长度为()

A.3米B.4米C.6米D.12米

24—4%

A[设隔墙的长为x(0<;rV6)米，矩形的面积为y平方米，则y=x-5=2x(6—x)=

-2(^-3)2+18,所以当x=3时，y取得最大值.]

2.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.

加油时间加油量/升加油时的累计量程/千米

2021年5月1日1235000

2021年5月15日4835600

注：“累计量程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.

在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为()

A.6升B.8升C.10升D.12升

B[因为第一次(即5月1日)把油加满，而第二次把油加满加了48升，即汽车行驶35600

—35000=600千米耗油48升，所以每100千米的耗油量为8升，选B.]

3.如图，烈士公园内有一直角墙角，两边的长度足够长，若尸处有一棵树与两墙的距离

分别是4m和am(0<a<12),不考虑树的粗细.现用16m长的篱笆，并借助墙角围成一个

矩形花圃ABCD,要求将这棵树围在矩形花圃内(包括边界).设此矩形花圃的最大面积为"(单

又点P在矩形ABC。内(包括边界)，所以aW尤且16-x》4,即

贝，I矩形ABCD的面积S=x(16—x)=—(x—8)2+64(aWxW12).

若0<aW8,当且仅当尤=8时，Smax=M=64;

若8<a<12,Smax="=a(16—u).

[64,0<aW8,

故M=/(a)=其图象从左至右，先有一段水平的线段(不包括左端

[<7(16—a),8<a<12,

点)，后接一段开口向下的抛物线的一部分，其形状与8中图象接近.故选B.]

4.小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点

C,共用时30s,他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间

为f(s),他与教练间的距离为y(m),表示y与f的函数关系的图象大致如图2所示，则这个

固定位置可能是图1中的()

•Q

A.点MD.点。

D[假设这个位置在点则从A至8这段时间，y不随时间的变化改变，与函数图

象不符，故A选项错误；假设这个位置在点N,则从A至C这段时间，A点与C点对应y

的大小应该相同，与函数图象不符，故B选项错误；假设这个位置在点P,则由函数图象可

得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小明的距离等于经过30s时教练到小明的

距离，而点P不符合这个条件，故C选项错误；经判断点0符合函数图象，故D选项正确，

故选D.］

5.在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表:

0.500.992.013.98

y-0.990.010.982.00

则对x,y最适合的拟合函数是（）

A.y=2xB.y:=/-1

C.y=2x—2D.y=log2%

D［根据x=0.50,y=-0.99,代入各选项计算，可以排除A;根据x=2.01,y=0.98,

代入各选项计算，可以排除B,C;将各数据代入函数y=log>,可知满足题意.故选D.］

6.某商场销售A型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的

关系如表所不：

销售单价/元45678910

日均销售量/件400360320280240200160

请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价（单位：元/件）

应为（）

A.4B.5.5C.8.5D.10

C［由题意可设定价为x元/件，利润为y元，则>=（尤一3）［400-40@—4）］=40（—苫2+

17%—42）,故当尤=8.5时，y有最大值，故选C.］

7.（2021.山东济南模拟）某种动物繁殖量y只与时间尤年的关系为y=Hog3（x+l）,设这

种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到（）

A.200只B.300只

C.400只D.500只

A•繁殖数量y只与时间x年的关系为y=alog3（x+l）,这种动物第2年有100只，

，100=alog3（2+1）,**.ci=100,

.,.y=1001og3（x+l）,

.•.当x=8时，y=1001og3（8+1）=100X2=200.故选A.］

8.某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤

过程中废气中的污染物数量P（单位：毫克/升）与过滤时间X单位：小时）之间的函数关系为P

kr

=PQe~（k,凡均为正常数）.如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%,那么排

放前至少还需要过滤的时间是（）

A.；小时B.1小时C.5小时D.10小时

C［由题意，前5个小时消除了90%的污染物.

kt

\'P=Poe~,

；.（1-9O%）Po=Poef,

.,.0,l=e-5\即一5左=In0.1,

.•«=一，0.1.

由1%20=尸0院3即0.01=屋%得一公=ln0.01,

/.（jin0.1^=ln0.01,.,"=10.

，排放前至少还需要过滤的时间为f—5=5（小时）.］

9.国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000

元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11.2%纳税，已知某人出

版一本书共纳皴420元，则这个人应得稿雪（扣税前）为（）

A.2800元B.3000元C.3800元D.3818元

C［由题意知，纳税额y与稿费x之间的函数关系式为

0,xW800,

y=<0.14(x—800),800<x^4000,

、0.112x,x>4000.

令(x-800)X0.14=420,

解得x=3800,

令0.112尤=420,得x=3750(舍去)，

故这个人应得稿费(扣税前)为3800元.故选C.]

10.将甲桶中的。L水缓慢注入空桶乙中，fmin后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲

线>=加匕假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过烧min甲桶中的水只有1L,则

m的值为()

A.5B.8C.9D.10

Amin后甲桶和乙桶的水量相等，

函数y=f(t)=ae,'n满足/(5)=ae5"=5，

可得n=|ln1,:.fit)=0(需，

因此，当kmin后甲桶中的水只有詈L时，

人发)=。•浅=：a,即自净=:,，京=10,

由题可知优=%—5=5,故选A.]

11.拟定甲、乙两地通话机分钟的电话费(单位：元)由式㈤=1.06(0.5]词+1)给出,其

中7>0,[词是不超过山的最大整数(如[3]=3,[3.7]=3,[3.1]=3),则甲、乙两地通话6.5

分钟的电话费为元.

[解析]Vm=6.5,A[m]=6,则八根)=1.06X(05*6+1)=424.

[答菊4.24

12.某种物质在时刻f(min)的浓度M(mg/L)与t的函数关系为M(r)="+24(a,r为常

数).在t=0min和t—1min时测得该物质的浓度分别为124mg/L和64mg/L,那么在t—4

min时，该物质的浓度为mg/L；若该物质的浓度小于24.001mg/L,则最小的

整数，的值为.(1g2«0.301)

[ar°+24=124,卜=100，

[解析]由题意得「一：.\2

〔〃厂+24=64,r=予

，MQ)=100|,+24,.\A/(4)=100|*+24=26.56.

2722

由10写+24<24.001得早<(0.1)5,二1呢<lg(0.1)5,紧一5,...小g2—(1Tg2)]<—5,

/./(21g2-1)<-5,将lg2,0.301代入得一0.398”-5,解得>12.6,二最小的整数f

的值是13.]

[答案]26.56；13

I?.在如图所系的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则

DFxADAF

[解析]如图，过A作4HUC于H,丈DE于F,易知至=而=屈=而=

A—尸"=40一工

则S=x(40—JC)W修>,当且仅当40—x=x,即x=20时取等号.所以满足题意的边长

x为20(m).

［答案］20

14.(2021・广西模拟)某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以。km/h的速度

直达灾区，已知某市到灾区公路线长为400km,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于(金

2km,那么这批物资全部到达灾区的最少时间是h(车身长度不计).

［解析］设全部物资到达灾区所需时间为fh,由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了

(36(£)2+4oo)km所用的时间，因此，f=36(20，+当且仅当黑=当，即。=竿

时取.

故这些汽车以当”m/h的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12h.

［答案］12

B级能力提升

15.(2019•北京卷)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白

梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对

这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网

上支付成功后，李明会得到支付款的80%.

(1)当尤=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x

的最大值为.

［解析］(1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒时，总价为60+80=140(元)，总价达到120

元，又无=10,即顾客少付10元，所以需要支付130元.

(2)设顾客买水果的总价为a元，当0Wa<120时，顾客支付a元，李明得到0.8a元，且

0.8a^0.7a,显然符合题意，此时x=0;当a2120时，则0.8(〃一元)20.7。恒成立，即无

恒成立，又心120,所以&)min=15所以XW15.综上可知，04W15,所以X

的最大值为15.

［答菊⑴130⑵15

16.某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，

七月份销售额比六月份递增x%,八月份销售额比七月份递增尤％,九、十月份销售总额与

七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则尤的最小值是

［解析］七月份的销售额为500(1+尤％),八月份的销售额为500(1+X%)2,则一月份到

十月份的销售总额是3860+500+2［500(1+%%)+500(1+x%)2］,根据题意有3860+500+

2［500(1+X%)+500(1+X%)2］^7000,即25(l+x%)+25(l+x%)2266,令7=1+尤％,则25户

+25/—6620,解得/2当或者/W一卷■(舍去)，故l+x%2?解得x220.

［答案］20

17.如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE=4米，CZ)=6米.为

了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM,使点、P在边QE上.

(1)设M尸=%米，PN=y米,将y表示成x的函数，并求该函数的解析式及定义域;

(2)求矩形BNPM面积的最大值.

解

(1)如图，作尸/于Q,所以尸Q=8—y,EQ=x~4,

EQ_EF

在△灰)尸中,

尸0=声

%—44

所以

8-y2,

所以y=-^x+lO,

定义域为{x|4W无W8}.

(2)设矩形BNPM的面积为S,

则5(犬)=g=入(10—4=一拼一10)2+50,

所以S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x=10,所以当xd[4,8]

时，S(x)单调递增，

所以当x=8时，矩形BNPM的面积即得最大值，最大值为48平方米。

18.为了调控过高的猪肉价格，在春节前，某市从2020年1月1日起一直从外地引进

生猪进入本市市场销售，过了一段时间，通过市场调查，发现近期猪肉的价格八。(单位：元

/kg)与时间t(t表示距春节的天数，单位：天，re(0,9])的数据如下表:

时间t941

价格式。704554

(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述猪肉价格加)与时间r的变化关系：

kI-,

J[t)=at+b,fit)=al2+bt+c,j[f)=a\]t+b,flf)=ae!-\-b,fif)=a\nt+b,其中a#0,

并求出此函数；

(2)为了控制猪肉的价格，不使猪肉的价格过高，经过市场调研，引入一控制函数h(t)

=e」(8—2a)f+60,t