湘豫名校联考2024-2025学年新高考适应性调研考试数学试题

姓名__________.准考证号__________.绝密★启用前湘豫名校联考2024—2025学年新高考适应性调研考试数学注意事项：1.本试卷共6页.时问120分钟，满分150分.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知双曲线的离心率为，则的值为（）A.18B.C.27D.3.数据的第60百分位数为（）A.14B.9.5C.8D.94.已知函数，则的图象大致是（）A.B.C.D.5.在等比数列中，记其前项和为，已知，则的值为（）A.2B.17C.2或8D.2或176.在一个不透明箱子中装有10个大小､质地完全相同的球，其中白球7个，黑球3个.现从中不放回地依次随机摸出两个球，已知第二次摸出的是黑球，则第一次摸出的是白球的概率为（）A.B.C.D.7.已知关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.8.在平面直角坐标系中，点的坐标为，圆，点为轴上一动点.现由点向点发射一道粗细不计的光线，光线经轴反射后与圆有交点，则的取值范围为（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，且，下列关于二项分布与超几何分布的说法中，错误的有（）A.若，则B.若，则C.若，则D.当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布10.一块正方体形木料如图所示，其棱长为3，点在线段上，且，过点将木料锯开，使得截面过，则（）A.B.截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱台C.截面的面积为D.以点为球心，长为半径的球面与截面的交线长为11.已知为全集，集合满足：为的非空子集，且.对所有满足上述条件的情形，下列说法一定错误的有（）A.B.C.D.不包含于三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设正实数满足，则__________.13.如图，函数的部分图象如图所示，已知点为的图象与轴的交点，点分别为图象的最高点和最低点，且，则函数的初相__________.14.已知方程有四个不同的实数根，满足，且在区间和上各存在唯一整数，则实数的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）在中，角所对的边分别为，已知.（1）求的值；（2）设的平分线交于点，若的面积为，求线段的长.16.（本小题满分15分）如图，已知三棱柱的所有棱长均为1，且.（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求点到平面的距离.17.（本小题满分15分）已知函数.（1）令，讨论函数的单调性；（2）若，且在上恒成立，求的最大值.18.（本小题满分17分）已知椭圆与抛物线有一个公共焦点，且的离心率为，设与交于两点.（1）求椭圆的标准方程及线段的长；（2）设为上一点（不与重合），满足直线均不与相切，设直线与的另一个交点分别为，证明：直线过定点.19.（本小题满分17分）如果一个严格单调递增数列的每一项都是正整数，且对任意正整数，恒成立，则称数列为“奇特数列”.（1）设等差数列的首项，公差为.若，求证：为“奇特数列”；（2）已知数列，其中为“奇特数列”，为大于的最小的的正整数倍，.（i）求证：为“奇特数列”；（ii）求证：当时，.湘豫名校联考2024—2025学年新高考适应性调研考试数学参考答案题号1234567891011答案CADCDBCABCACDAD一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C【解析】因为，又，所以“”是“”的充要条件.故选C.2.A【解析】由题可得实半轴长，所以半焦距，所以.故选A.3.D【解析】数据从小到大依次排列为：，共9个数据.第60百分位数对应为5.4，向上取整为6，所以第60百分位数为第6个数据，即为9.故选D.4.C【解析】令，则，所以.故选C.5.D【解析】由等比数列的通项公式可得，整理得，解得或.当1时，；当时，.所以的值为2或17.故选D.6.B【解析】设第一次摸出白球为事件，第二次摸出黑球为事件，则第一次摸出黑体为事件.因为，所以.故选B.7.C【解析】对于函数.今，即，满足恒成立，因此，只需，即，所以.今，即或.设方程的两根分别为，则.当时，方程有两个正根，存在，使得，不筹合题意，舍去；当时，方程有两个负根，因此，只需，即，所以，综上所述，的取值范围为.8.A【解析】方法一：作点关于轴的对称点，则直线与圆有交点.又，所以直线的方程为，即.由题知圆的虽心为，半径为1，直线与圆有交点即圆心到直线的距高小于等于1，所以，解得.方法二：作点关于轴的对称点，则直线与圆有交点，临界情况为直线与圆相切.设切点为，今，易得，所以.因为直线的斜率为，所以直线的斜率.易得直线的方程为.所以.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.BC【解析】若，则，所以，A正确.因为，所以，B错误.，C错误.由教材原文，知D正确.故选BC.10.ACD【解析】对于A，如图，连接，由平面平面，得.又平面平面，所以平面.又平面，所以正确.对于B，过点作直线平行于，分别交于两点，连接，显然，所以四边形为过点及直线的正方体的截面，截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱柱，B错误.对于C，由选项B，得，则，因此截面矩形的面积，C正确.对于D，过作于点，由平面平面，得.又平面平面，所以平面，所以点为以点为球心，长为半径的球面被平面所截小圆圆心，球面与截面的交线为以点为圆心，长为半径的半圆弧，显然，因此交线长为，D正确.故选ACD.11.AD【解析】由，知错误；当时，，满足条件，且，所以B不一定错误；当时，，又，所以此时，所以C不一定错误；因为，所以，所以错误.故选AD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.【解析】由，得.所以.13.【解题思路】结合正弦函数的周期及向童数量积公式计算可得，再由函数零点即可得.【解析】由题图可得，又，所以，所以.所以，化简得.又，所以，所以，解得.因为，所以.14.【解题思路】方法一可以化为.令，易得为偶函数，所以只需考虑时，有两个零点，且在区间上存在唯一的整数.若，则.令，根据导数得到的单调性，根据在区间上存在唯一的整数，列出不等式组即可.方法二：由，得.令，易得均为奇函数，所以只需考虑时，与的图象有两个交点（，且在区间上存在唯一的整数，通过求导得到的单调性，根据直线过特殊点时的值即可得到的取值范围.方法三：.令，作图象，利用数形结合可得的取值范围.【解析】方法一.令，则.所以为偶函数.所以只需考虑时，有两个零点，且在区间上存在唯一的整数即可.当时，令，得.令，则.当时，，所以在上单调递增；当时，0，所以在上单调递减.因为在区间上存在唯一的整数，所以，即.所以的取值范围为.方法二：.今，则，所以为奇函数.因为也是奇函数，所以只需考虑时，与的图象有两个交点，且在区间上存在唯一的整数.易知，当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减.当直线过点时，；当直线过点时，.因为与的图象有两个交点，且在区间上存在唯一的整数，所以，所以的取值范围为.方法三：由，得.令，两函数均为偶函数，所以只需考虑时，与的图象有两个交点，且在区间上存在唯一整数.如图，作的部分图象，根据图象易得，所以解得，所以的取值范围为.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）在中，由余弦定理得，代入已知条件，得.整理，得.所以.（2）方法一：由于.所以.又，所以或.由点在的平分线上，知点到边和边的距高相等.设这个距高为，则，所以.所以或.方法二：因为，所以.又，所以或.因为，所以.当时，，解得.当时，，解得.综上所述，或.16.【解析】（1）由题意，得四面体是正四面体.如图，过点作平面的垂线，交平面于点，连接.由对称性知，点为正三角形的中心.易得，所以.因为平面平面，所以.所以直线与平面所成的角为.因为，又平面平面，所以直线与平面所成角的正弦值为.（2）因为平面平面，所以.又，且，所以平面.又平面，所以.又，所以.所以四边形为矩形.所以.因为所以点到平面的距离为17.【解析】（1）因为，所以.当时，恒成立，在上单调递增.当时，令，则，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增.综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）结合（1）与题意可得，即，即.所以.令，则，今，则.当时，在上单调递增；当时，在上单调递减.所以.所以，即的最大值为.18.【解析】（1）易得抛物线的焦点为，所以半焦距.又的离心率为，所以.所以，所以.所以椭圆的标准方程为.联立解得或所以线段的长为.（2）由（1）知点的坐标分别为.（不妨设点在点上方）记，则.易知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则直线的方程为，与抛物线方程联立，得：解得.所以点的坐标为.同理，设直线的方程为.则点的坐标为.若，则点的坐标为或，所以或（均满足）.所以点的横坐标均为6，此时直线的方程为，过点.若，则直线的方程为.今，解得联立直线与直线的方程，解得.由